專題五：均值不等式與最值、放縮法

1、專題五：均值不等式與最值、放縮法基礎(chǔ)梳理1 常用的基本不等式和重要的不等式：（ 1） a R,a2 0, a 0 當(dāng)且僅當(dāng) a 0取“ ”號(hào)； （ 2） a,b R,則 a2 b2 2ab；（ 3） a, b,c R，則a2 b2 c2ab bc ca 。2均值不等式：兩個(gè)正數(shù)的均值不等式：a b ab ； 三個(gè)正數(shù)的均值不等式：a b c 3 abc ；23a1 a2 an 個(gè)正數(shù)的均值不等式：12nn a1 a2 an 。n3四種均值的關(guān)系：（ 1）兩個(gè)正數(shù)a、 b 的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)之間的關(guān)系是：2）三個(gè)正數(shù)a、b、 c的調(diào)和平均數(shù)211abab a ba2

2、 b2幾何平均數(shù)3111abc3 abc算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)：3222 abcabc3小結(jié)： “算數(shù)平均數(shù) 幾何平均數(shù)”的多種表達(dá)形式：整式形式根式形式分式形式倒數(shù)形式a2 b2 2aba b 2 a,b R ab (a2b)2a b ab2(a,b R )ba2 ab (a,b同號(hào))1a2(a 0)a1a2(a 0)aa3 b3 c3 3abca b c 3 a,b, c R abc ()3a b c 3abc 3(a,b,c R )ba2 ab (a, b異號(hào))11(a b)() 4(a,b R )ab111(a b c)() 9abc(a,b,c R )4. 均值不等式求最值：（ 1）如

3、果 x,y R ,xy P （定值） ，由 ，當(dāng) x y 時(shí)， x y 有 ；如果 x,y, z R ,xyz P（定值）， 由 ， 當(dāng) x y z 時(shí)， x y z有 ；（ 2）如果x, y R ,x y S （定值） ，由 ，當(dāng) x y 時(shí)， xy有 ；如 果 x, y, z R, x y z （ S定 值 ） ， 由 ， 當(dāng) x yz時(shí) ， xyz 有利用均值不等式求最值必須注意：“ 一正、二定、三相等”。三者缺一不可！第3頁能力鞏固 考點(diǎn)一：均值不等式與最值21.已知 x, y, z R ， x 2y 3z 0，則 y 的最小值 xz2設(shè)x 0, y 0, x y 1 ， x y 最大

4、值是(A. 1B.C.D.3. 已知 a 0,b 0 ，且 a b 2，若S a2 b2 2 ab ，則 S 的最大值為4. 已知 x, y都在區(qū)間( 2, 2) 內(nèi)，且xy 1 ，則函數(shù)uu224x 9yA8524111271255. 若 a是 2 b與 2 b的等比中項(xiàng)，則2ab2ab 的最大值為(A.2B. 1C.|a| |b|24D.6 設(shè) M 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn) ,且 AB AC 2 3, BAC 30 ,定義f(M ) (m,n, p), 其第 2 頁114m、 n、 p分別是 MBC , MCA, MAB 的面積，若 f (M ) ( , x, y), 則 的最小值是2xy7若a

5、,b 均為正實(shí)數(shù)，且a b a m b 恒成立，則m的最小值是。變式： （ 1）若不等式b2a b 2 a2 對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、 b 都成立，則的最大值是（）2A 1B 2C 3D 52）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a 1 且 b 1 ，不等式a2 b2 t（a b 2） 恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是8. 設(shè) x, y 都是整數(shù)，且滿足xy 2 2 x y ，則x2y2 的最大可能值為（）A. 32B. 25C. 18D. 169. 函數(shù) f x 2 x 4 x 的值域?yàn)?)A. 2,4B. 0,2 5C. 4,2 5 D. 2,2 5練習(xí)：使關(guān)于x的不等式x 36 x k有解的實(shí)數(shù)k的最大值是（）A63 B

6、 3 C 63 D 610已知a,b,c R 且 a(3a 4b 2c) 4 8bc，則3a 2b c的最小值為()A. 3 2B. 2 2 C. 2 3D. 4 3練習(xí)：若 a, b,c 0 且 a(a b c) bc 4 2 3，則2a b c 的最小值為考點(diǎn)二：放縮法與不等式例 1. （ 1）求證：22222 ；變式：2222。122232n2122232n23第9頁1112232 52172(2n 1)2612(2n 1)(n 2,n N )；2n 12( n 1 1)；11232 1 22 123 115 n； 213111122！3！n!n! n (n 1) (n 2)3 2 1

7、。6 求證：11(1+1)(1+3)(1+5) (1+ 2n-1) 2n 1(n N )；n 11117)證明：當(dāng)n 1,n N 時(shí)， 1n。22 3 42n 1例 2設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列an 滿足：a1 1, nan 1 (n 1)an 1,令anan 12111b1a1, bnn a122 2(n 2).a2a3an 1( ) 求 an;111( ) 求證：4(n 1).(1b11)(1 b12) (1 b1n)例 3. 在數(shù)列an 中，已知a1 2， an 1an 2an an 1 ， n N 。11）證明數(shù)列2）求證：1 為等比數(shù)列，并求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；annai （ai1） 3，n N 。i1例4在數(shù)列an 中，a11,3anan1anan10（n 2），設(shè)數(shù)列bnan，bn的前n項(xiàng)和為Tn 。（ 1）若 an an 10對(duì)任意的正整數(shù)n 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2（ 2）求證：對(duì)任意n 2的整數(shù)，b2 b3 . bn（ 3n 2 1）；3（ 3）是否存在實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任何的n N * ， TnM 恒成立，如果存在求出最小的M ，如果不存在請(qǐng)說明理由。例 5.已知數(shù)列an 滿足a1=-1， an1（3n 3）an 4n