福建省福州市屆高三上學(xué)期期末質(zhì)檢數(shù)學(xué)理試題(2024062733)

1、福建省福州市2022屆高三上學(xué)期期末質(zhì)檢試題理科數(shù)學(xué)第I卷共60分、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)1.集合符合題目要求的.0，那么 A B A.1,31,1,1,2.假設(shè)復(fù)數(shù)的模為，那么實(shí)數(shù)a2A. 1 B3.以下函數(shù)為偶函數(shù)的是A. y tan x 4ex|.y x cosxD . y In xsin x2sin x cos x2cos2xA.89_7_255.圓錐的高為3,它的底面半徑為3，假設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)球的體積等于A. 8332316D . 326.函數(shù)fx22x,x1,x 0,x0,那么函

2、數(shù)3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A. 0 B，圖中的 Mod N ,mn表示正整數(shù) N7.如圖的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代著名的“孫子剩余定理除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，例如Mod 10,31 .執(zhí)行該程序框圖，那么輸出的i等于-H.Mod 怙 7)=是/輪出f fA. 23 B . 38 C . 44.581,粗線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為21 4.222C : x 51y 28 ,拋物線E : x22py P0上兩點(diǎn)的一條直線和C與E都相切，那么E的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.1xBy 1C.yD22xy 1,的解集記為D.有以下四個(gè)命題x2y 2Pl:x,y

3、D,x2y2P2 :x,yD,x2y3P3 :x, yD,x2y2P4 :x, yD,x2y22A其中真命題的是2,yi與B 4,y2，假設(shè)存在與直線AB平行A P2, P3B Pl，P4C Pl, P2D Pl, P32 211. 雙曲線E:冷 爲(wèi) 1 a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi,F2，點(diǎn)M,N在E上，a b2 MN /FiF2,MN| -|FiF2，線段F?M交E于點(diǎn)Q，且F?Q QM，那么E的離心率為A.5 B 15 C 2 3 D 1012. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , an 1 an 2n 1，且& 1350.假設(shè)a? 2，那么n的最大值為A 51B 52 C

4、 53 D 54第U卷共90分二、填空題每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上13. 單位向量a,b滿足a a 2b 2，那么a,b的夾角為 .nn為正整數(shù)，x彳展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為x15. 將函數(shù)y 2sinx cosx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) y 2sinx cosx的圖象，貝U sin的值為16. 如圖，一塊半徑為 1的殘缺的半圓形材料 MNQ，O為半圓的圓心，MN 8 .現(xiàn)要在這塊材料上裁5出一個(gè)直角三角形.假設(shè)該三角形一條邊在 MN上，那么裁出三角形面積的最大值為 三、解答題本大題共6小題，共70分.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

5、算步驟.17. 數(shù)列an 中，a11,a22,an 13an2an1 n 2,n N* .設(shè) bnan 1an.1證明：數(shù)列 bn是等比數(shù)列；2設(shè)CnM n，求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)的和Sn.4n21 2n18. 菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為2， DAB 60 . E是邊BC上一點(diǎn)，線段 DE交AC于點(diǎn)F .1假設(shè) CDE的面積為，求DE的長(zhǎng)；22假設(shè).7CF 4DF，求 sin DFC .19. 如圖，在四棱錐 E ABCD 中，AB/CD, ABC 90 ,CD 2AB 2CE 4 , BCE 120 ,DE 2 5 .2假設(shè)BC 4，求二面角E AD B的余弦值2 220. F為橢圓C:- 乞1的右

6、焦點(diǎn)，M為C上的任意一點(diǎn)431求MF的取值范圍；32P,N是C上異于M的兩點(diǎn)，假設(shè)直線 PM與直線PN的斜率之積為 -，證明：M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之4和為常數(shù). 2 221. 函數(shù) f x 1 In x ax ax a R .1討論函數(shù)f x的單調(diào)性；2假設(shè) a 0 且 x 0,1，求證：x2- 1.ex請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.22. 選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x t cos在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C :'為參數(shù)，t 0丨.在以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐y sin標(biāo)系中，直線I : cos2 .41假設(shè)I與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，求t

7、的取值范圍；2假設(shè)曲線C上存在點(diǎn)到I距離的最大值為1 62，求t的值.223. 選修4-5 :不等式選講設(shè)函數(shù)f x x 1 ,x R.1求不等式f X 3 f x 1的解集;2關(guān)于X的不等式f X3f X 1 X a的解集為M，假設(shè)1,一2M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍、選擇題試卷答案二、填空題13. 12014. 11215.416.3 358三、解答題17.解：1證明：因?yàn)閍n13an2an1 n 2,n N,bnan 1 a所以bn 13n2an 13 an 12anan 12 an 1 an2，bnan 1anan1 anan 1 an1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12

8、: BA又因?yàn)閎a2a2 1 1，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.2由1知 bn1 2n12n1因?yàn)镃nbn4n2 12 2 2 1 13.2依題意，得ACD 30 , BDC 60，設(shè) CDE，貝U 060 ,1 2n ，所以Cnbn11 1 14n21 2n 2 2n12n 14 2n 1 2n 1 '所以S.GC2111 1 11 1Cn43352n 1 2n 11 1-1 -4 2n 1n4n 218.解：解法一：1依題意，得 BCD DAB 60 ,因?yàn)镃DE的面積S52所以1-CD CE sinBCD_322所以1-2CE sin 6022解得CE 1，根據(jù)

9、余弦定理，得 DE CD2 CE2 2CD CE cos BCD-7CF4DF ,CF2sin2DF7，cos37在CDE中，由正弦定理得因?yàn)樗运訡FsinDF sin所以sinDFC sin 303 2114解法二:1同解法2依題意，得ACD30 ,BDC60CDE，貝U 060 ,在CDF中，設(shè)CF 4x，因?yàn)?CF4DF，貝U DF , 7x，由余弦定理，得2 2DF CD CF2CD CFcosACD，得7x24 16x28 3x，2 3，或x91CF AC2所以df 整1 ,9解得x又因?yàn)樗?，所以x42.39在CDF中，由正弦定理,CD得2si n30彳得 sin CFD 2

10、如9sin CFD3.2114.DFsin ACD19. 解軍：1證明：因?yàn)锳B/CD,ABC 90 ,所以CDBC.因?yàn)镃D4, CE2,DE2 .5，所以2 2CD2 CE2所以CDCE ,因?yàn)锽CCEC ,所以CD平面BCE .因?yàn)镃D平面CDE ,DE2 ,所以平面 BCE 平面CDE .建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系C xyz.y所以 A 4,0,2 ,B 4,0,0 ,E 1, .3,0 ,D 0,0,4所以 AD 4,0,2 ,AE 5, 3, 2， 設(shè)平面ADE的法向量為n x, y,z ， 那么 AD n 0，AE n 04x 2z 0所以，5x . 3y 2z 0取 x 1，

11、那么 n 1,3、3,2 ，又因?yàn)槠矫鍭BD的一個(gè)法向量為m 0,1,0，所以cos n,m3巧113343、68所以二面角E AD B的余弦值為出820.解：解法一：1依題意得a 2,b3所 c . a2b21，所以C的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為1,0， 設(shè)C上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM , yM2yM3那么xM_4所以 MF 2 Xm 1 2 yM2 Xm 1 2 3 扌 Xm '1 2 12Xm 2xm 4Xm 4 ,442又因?yàn)? Xm 2，所以1|MF|9 , 所以1 MF 3,所以MF的取值范圍為1,3 .2設(shè) p、M、N 三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 xP,yP , xm , yM , xn , y

12、N ,ypk1 x Xp ，設(shè)直線PM、PN斜率分別為匕、k2，那么直線PM方程為y2 2xy消去y，得一 1由方程組 43'yypk1 x xp2 23 4k1 x 8k, k1xP yP x2 24k1 xp 8k1xPyP4yp212由根與系數(shù)關(guān)系可得8k1 k1xP yP2 ，3 4k1故Xm8k1 k1xP yP3 4k12Xp24k1 xp 8k1 yP 3xp同理可得XnXp8k2 k2 Xp yp3 4k22k18k2 k2XpXnXpyp34k13Xp4k1yp6xpXn3 4k2223 44k18k1 yp2 ，4k1 36xp 8kypXp4k12324k Xp

13、8k y p 3xpXm3 4k12從而Xn Xm0.即M、 N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)解法二：1依題意得a 2,b3，所c a2 b2 1，所以C的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為1,0 ,設(shè)C上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為xm,yM ，設(shè)C上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為2cos那么MF2coscos又因?yàn)? cos 1，所1以 1所以1MF3，所以MF的取值范圍為1,3 .2設(shè)P、M1兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為Xee，直線PM、PN、OE 的2! 2Xpyp1,2由方程組4322得yp 彳得 2Xm'yM1,Xp43所以介yMypyM3XPXmXpXm4所以ypyM2yE3XpXm2xe4所以k1 F<334又因?yàn)閗i k

14、234所以k2k3，所以MF2yM2XMXp,yp , xM ,yM ，線段PM、PN的中點(diǎn)分別為E、匕、k2、k3，所以PN/OE，MN的中點(diǎn)在OE上,同理可證：MN的中點(diǎn)在OF上,所以點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，所以M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為2 22a x ax 1 2ax 1 ax 1假設(shè)0時(shí),在0,上單調(diào)遞減;假設(shè)0時(shí),時(shí),故在0丄上，fx單調(diào)遞減；在1, 上,f x單調(diào)遞増；aa假設(shè)殳a0時(shí)，當(dāng)1x-時(shí)，fx0 ；2a當(dāng)x1-時(shí)，f1x 0 ；當(dāng)x1時(shí)，fx 0.2a2a故在0,上，f x單-調(diào)遞減；在1上，f x單調(diào)遞増2a2a2假設(shè)a 0且x 0,1欲證

15、f xx2 1x1,ex只需證正1In x 2 xx11,ex即證x 1In x 13x xx e .設(shè)函數(shù)gx x 1In x x0,1,那么g xIn x.當(dāng)x0,1時(shí)，gx 0 .故函數(shù)g x在0,1上單調(diào)遞增.所以g(x)g 11.設(shè)函數(shù)x x3 ex，那么 h (x)2 x 3x2 x3 ex.h(x) 1設(shè)函數(shù)p(x) 21 6x 3x2.0,1 時(shí),故存在Xo0,1，使得P xo0，從而函數(shù)p x在0,Xo上單調(diào)遞增；在xd ,1上單調(diào)遞減即當(dāng)x0,為時(shí)，p x0，當(dāng)xX1,1時(shí),p x 0從而函數(shù)h x在10*上單調(diào)遞增；在X1,1上單調(diào)遞減因?yàn)閔 01,h1 1e,故當(dāng)x0,

16、1時(shí)寸，h xh 01所以x 1In x1x3xx e ,x 0,1 ,即f xx2 x11,x0,1 .ex解法二：1冋解法一2假設(shè)a0且x0,1 ,欲證-x2;11,ex只需證1In xx2 x11 ,ex即證x 1In x1x3 xx e .設(shè)函數(shù)gxx 1In xx 0,1,那么gxIn x.當(dāng)x 0,1時(shí)，g x 0 .故函數(shù)g x在0,1上單調(diào)遞增 所以 g(x) g 11.設(shè)函數(shù) h x 1 x x3 ex,x0,1 ,因?yàn)閤 0,1 ,所以x x3，所以1 x x31 ,又1 ex e，所以h x 1 ,所以 g(x) 1 h x ,即原不等式成立.解法三：1同解法一.2假設(shè)

17、a 0 且 x 0,1，欲證羋x2 1 1，ex只需證1加ex1由于1 In x 0,exe0 1，那么只需證明1 In x x21,sin 2，x只需證明In xx21-0 ，令g x2 1In x xx 0,1x3x那么g x1-2x1 x1 2xx 12 0，22xxxx那么函數(shù)gx 在 0,1上單調(diào)遞減，那么g x g 10，所以In x2 1x0成立，x即原不等式成立22.解：1因?yàn)橹本€I的極坐標(biāo)方程為cos2，即cos4所以直線1的直角坐標(biāo)方程為xy2 ； xt cos ,因?yàn)?#39;參數(shù)，t0ysin2所以曲線C的普通方程為二2y1tx y2,由x22消去x得，1t22y24y 4 t20，72"y 1,t所以2 216 4 1 t 4 t0，解得o t 3，故t的取值范圍為 0, 32由1知直線I的直角坐標(biāo)方程為 x y 20，故曲線C上的點(diǎn)t cos ,sin到I的距離dtcos sinTT故d的最大值為 t2 122由題設(shè)得t2122解得t .2.又因?yàn)閠 0,所以t2