第三章第九講：燕尾定理.例題精講(20220216031525)

1、燕尾定理：在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一點 0，那么S abo : S aco BD : DC .上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D是BC上任意一點，請你說明：S：S4 S2 :8, BD : DC【解析】三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有S : S4 BD:DC ;三角形 ABE與三角

2、形EBD同高，S ： Sa ED : EA ;三角形ACE與三角形CED 同高，S4 : S3 ED : EA，所以 S ： & Sa : S3 ；綜上可得 S : S4 Sa : S3 BD : DC .【例1】2022年第七屆希望杯五年級一試試題如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且BD : DC 1:2，AD與BE交于點F 那么四邊形DFEC的面積等于 .【例2】如下列圖，在四邊形 ABCD中，AB 3BE , AD 3AF，四邊形AEOF的面積是12，那么平行四邊形BODC的面積為 .【例3】ABCD是邊長為12厘米的正方形，E、F分別是AB、BC邊的中

3、點，AF與CE交于G，那么四邊形AGCD的面積是 平方厘米.【例4】如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點, 面積是平方厘米.F是BC的中點，四邊形 BGHF的【例5】 如下列圖，在 ABC中，BE : EC 3:1 , D是AE的中點，那么 AF : FC【例6】2022年清華附中入學(xué)測試題如圖，四邊形 ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點，且11AE AB , CF BC , AF與CE相交于G，假設(shè)矩形 ABCD的面積為120 ,貝U AEG與 CGF的 34面積之和為.【例7】如右圖，三角形 ABC中，BD:DC4:9 , CE : EA 4:3，求 AF

4、 : FB .【例8】2022年“學(xué)而思杯六年級數(shù)學(xué)試題如右圖，三角形ABC中，AF : FB BD : DC CE : AE 3: 2 ,且三角形ABC的面積是1，那么三角形 ABE的面積為 形GHI的面積為，三角形AGE的面積為，三角AAEFG/H JBDC三個三角形的面積 分別是3，7，7，【例9】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如下列圖, 那么陰影四邊形的面積是多少？【例10】如圖，三角形ABC被分成6個三角形，其中 4個三角形的面積，問三角形ABC的面積是多少？【例11】三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F(xiàn)為BC中點，求陰影局部的面積.【例12

5、】如右圖， ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點， AD與BG交于M ,AF與BG交于N , ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米，那么 ABC的面積是 多少平方厘米？【例13】如圖，三角形 ABC的面積是1, BD DE EC , CF FG GA，三角形ABC被分成9局部,請寫出這9局部的面積各是多少？【例 14】如右圖，面積為 1 的厶 ABC 中，BD:DE:EC 1:2:1 , CF : FG : GA 1: 2:1，AH : HI : IB 1:2:1，求陰影局部面積.【例15】如圖，面積為I的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點，求陰影局部面積【例16】如圖，面積為I的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點，求中心六邊形面積FG【例17】2022年數(shù)學(xué)解題能力大賽六年級初試試題正六邊形A , A , A , A4, A5, A的面積是2022平方厘米，Bi , B2, B3 , B4，&，Be分別是正六邊形各邊