第四章-大數(shù)定律與中心極限定理答案(2024080653)

1、第四章 大數(shù)定律與中心極限定理答案、單項選擇1.設(shè) (x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Xi1,事件A發(fā)生；0,事件A不發(fā)生,1,2,100，且100P(A) 0.8，X1,X2, ,X1oo相互獨(dú)立。令Y Xi，那么由中心極限定理知 Y的分i 1布函數(shù)F(y)近似于A(y) B(y 巴)C(16y 80)D(4y 80)4答案：D二、填空1. 設(shè)X的期望和方差分別為 和 2 ,那么由切比雪夫不等式可估計P(X 2 )。答案：342. 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的數(shù)學(xué)期望分別為一2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5,貝肪根據(jù)切比雪夫不等式，有P| X Y| 6.3. 隨機(jī)變量 的均值卩=12,標(biāo)準(zhǔn)差c =

2、3,試用切比雪夫不等式估計落在6到18之間的概率為.與3到21之間解由題意得，E 12, D 232,由切比雪夫不等式得P618 P 12632D62P618344. 隨機(jī)變量 的均值卩=12,標(biāo)準(zhǔn)差c =3,試用切比雪夫不等式估計落在3到21之間的概率為.解由題意得，E12, D232,由切比雪夫不等式得P321329P 129898P32195假定生男孩、生女孩的概率均為0.5，用切比雪夫不等式估計 200個新生嬰兒中男孩在80個到120個之間的概率為 .解 設(shè) 表示在200個新生嬰兒中男孩的個數(shù)，那么 B(n,p),其中 n 200, p 0.5 ,那么E( ) np 200 0.510

3、0,D( ) np(1 p) 2000.5 (1 0.5) 50.由切比雪夫不等式得P801201空202P 10020786. 用切比雪夫不等式估計下題的概率：廢品率為0.03,求1000個產(chǎn)品中廢品多 于20個且少于40個的概率為.答案：0.7097. 用切比雪夫不等式估計下題的概率：求200個新生嬰兒中,男孩多于80個且少于120個的概率為(假定生女孩和生男孩的概率均為0.5.)答案：&設(shè)隨機(jī)變量X U 0,1，由切比雪夫不等式可得p(X -1)答案：1三、計算題1 11 現(xiàn)有一批種子，其中良種占石6的差是多少?相應(yīng)的良種數(shù)在哪個范圍內(nèi)？解 用隨機(jī)變量Xk表示第k粒種子,用Xk 1表示第

4、k粒種子為良種,用Xk 0表示第k粒種子不是良種,k 1,2,6000那么E(X156，D(Xi)36，Xk(k 12，6000)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序6000列，Xkk 16000表示這6000粒種子中良種的粒數(shù)，記XXkk 1那么 EX 6OOOEX11000/DX,6000DX1,6000 ,那么由獨(dú)立同分布的中心極限定理得P(16000 k 16000Xkk 16000Xk60006000P.6000 1 5. 6000 16 6Y6(207.85 )( 207.85 )2 (207.85 ) 1-56根據(jù)題意，令2 (207.85 )0.99 .即有(207.85)0.995,

5、查正態(tài)分布表得207.852.85,0.0124并由P(60006000 k 1 Xk 60.0124)0.996000P(925 Xk 1075)0.99k 11的差是0.0124這時，相應(yīng)的良種粒數(shù)在925粒到1015粒之間.2. 某單位有120個 分機(jī)，每個分機(jī)有 5%的時間使用外線，假設(shè)各分機(jī)使用外線與否是 相互獨(dú)立的，試用中心極限定理計算，使用外線的分機(jī)個數(shù)在6個到12個之間的概率(2.51)0.994,(0)0.5.)8 分解：B(n,p),其中 n=120, p=5%E =6, D =5.7,由中心極限定理，得P 60.25n0.5門)0.25 n0. n) 2 (0.2- n)

6、 10.9由此得 (02、, A) 0.95,查正態(tài)分布表得0.2 n 1.645, n 67.65, 因此取n 68.6設(shè)某保險公司的老年人壽保險一年有 10000人參加，每人每年交40元.假設(shè)老 人死亡，公司付給家屬2000元.設(shè)老人死亡率為0.017,試求保險公司在這次保 險中虧本的概率.解 設(shè)X為老人死亡人數(shù)，那么X B(n, p),其中 n 10000, p 0.017由題意，得保險公司在這次保險中虧本當(dāng)且僅當(dāng)2000X 40 10000,即X 200.由De Movire-Laplace中心極限定理，得保險公司虧本的概率P(X 200)P X nP200 np .n p(1 p)“

7、n p(1 p)1(200 10000 0.017)0000 0.017 (1 0.017)1(2.321) 0.010177. 設(shè)某交換臺的呼叫次數(shù)服從泊松分布且每秒鐘平均被呼叫兩次，試求在100秒內(nèi)被呼叫次數(shù)在180至220次之間的概率.解 設(shè)第i秒鐘內(nèi)被呼叫的次數(shù)為Xi,i 1,2，,100,由Xi為服從參數(shù)為2的泊松分布，且,X10o獨(dú)立同分布，100100有E(Xi) 2,D(Xi) 2,Xi為100秒鐘被呼叫的總次數(shù)，記X Xi ,i 1i 1那么 EX 100EX1 200,DX 100DX1 200,DX 10、2,由獨(dú)立同分布的中心極限定理，得100P(180 Xi 220)

8、i 1100Xi 200p180200i 122020010.210 邁 10.2(1.41)( 1.41)(1.41) 10.8414所以在100秒內(nèi)被呼叫次數(shù)在180至220次之間的概率為0.8414.8. 拋擲一枚硬幣，以表示n次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，問要拋擲多少次，才能以0.99的概率保證出現(xiàn)正面的頻率與概率的偏差小于0.01 ?試分別用切比雪夫不等式及中心極限定理求出結(jié)果.解 設(shè) 表示在n次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，那么 B(n, p),其中 p 0.5,那么 E( ) np 0.5n, D( ) np(1 p) 0.25n(1)由切比雪夫不等式得P_ 0.01P| E | 0.01nn

9、 nD(0.01n)20.25 n(0.01 n)20.99En0.01n.D0.01n1n 0.25 106250000利用中心極限定理求解由De Movire-Laplace中心極限定理得,近似服從正態(tài)N(np, np(1 p).即 N(0.5n,0.25n).所以,P- nP0.99由此得(0.02 歸)0.995,查正態(tài)分布表得0.02歸 2.58, n 12916641.9. 設(shè)某廠的金屬加工車間有80臺機(jī)床，它們的工作是相互獨(dú)立的，設(shè)每臺機(jī)床 的電動機(jī)都是2KW的，由于資料檢修等原因，每臺機(jī)床平均只有 70%勺時間在工 作，試求要供應(yīng)這個車間多少 KW電才能以0.99的概率保證此車

10、間生產(chǎn)用電？解 設(shè) 表示在80臺機(jī)床中正在工作的機(jī)床臺數(shù)，那么 B(n, p),其中 n=80,p=0.7,那么 E( ) np 56, D( ) np(1 p) 16.8設(shè)應(yīng)供應(yīng)這個車間x KW電才能以0.99的概率保證此車間生產(chǎn)用電 由中心極限定理得，2.33，解得 x 131.1，-56為)0.9910.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，該檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為因此至少應(yīng)供應(yīng)這個車間132 KW電才能以0.99的概率保證此車間生產(chǎn)用電如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，那么認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.應(yīng)10%勺一批產(chǎn)品不被接受的概率到達(dá) 0.9 ?解 設(shè)應(yīng)該檢查n個產(chǎn)品.設(shè)表示在被檢查的n個產(chǎn)品中次品的個數(shù)，那么

11、B(n, p),其中 p=0.1,那么 E()np 0.1 n, D()np(1 p) 0.09n.由中10_0.1 ri-0.09n10 1 ( v0.09n%)0.9心極限定理得,P 10 P吵v0.09 n1 p0.1 n 10_0.1 n&.09門J0.09n100.1 門一 0.09 n0.10.1 n 100.09n100.1 門0.09 n1 0.10.90.1n 10.0.09n1.28n 3.841000 .解得 n 146.5,因此至少應(yīng)檢查147個產(chǎn)品，才可使次品率為10%勺一批產(chǎn)品不被接受的概率到 達(dá) 0.9.四、證明題1 .設(shè)隨機(jī)變量1, 2相互獨(dú)立，且每一隨機(jī)變量有

12、有限的方差，設(shè)D i c ,試證，對0，有l(wèi)im Pn或lim P1 n1證eCi-n i 1nnE ii 11ni相互獨(dú)立，D-n i1由切比雪夫不等式，對01 n0Pin i 11 n1兩邊夾，lim Pinn i 1n2 .試描述同分布的中心極限定理1 n1ni-E i0n i 1n i 11 n1nLi-E i1n i 1n i 11 nci2D i -ni 1n，有1 n1c門E i2n0n i 1nnE i0。1并應(yīng)用同分布的中心極限定理證明De Moivre - Laplace 定理，即設(shè)n是n次貝努利試驗中成功的次數(shù)，在每次試驗中成功的概率為p(0 p 1)，試證，對 x R，一致地有l(wèi)im Pn npt22dt同一分布，且有E i那么標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量之1、n i)的分布函數(shù)Fn(X)，R，一致地有l(wèi)imnFn(X)lim P( nnx) X 1 edt42(x)DeMoivre-Laplace定理的證明第i次試驗成功 第i次試驗不成功，i1,2,，幾相互獨(dú)立，p(1 p)，且致地有12n而 i B(1,p)，E i p，D i 由同分布中心極限定理可知，lim P(ni npi 1npqX)lim P( 一 n . npqn np X)X 1 edt2該定理