線性代數(shù)習(xí)題集

1、全國(guó)2007年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，R（A）表示矩陣 A的秩。、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。二階行列式k -12z0的充分必要條件是k 一 1C.kz -1 且 kz 3D. kz -1 或工 3C.設(shè)A為三階矩陣,|A|=a z 0，則其伴隨矩陣A的行列式|A |=（2 a4aB.1#設(shè)A、B為同階可逆矩陣，則以下結(jié)論正確的是C.|A

2、B|=|BA|-1 -1 -1（AB ） =A B設(shè)A可逆，則下列說法錯(cuò)誤 的是（B.|A+B|=|A|+|B|2 2(A+B ) =A +2AB+BA .存在B使AB=EB.|A| z 0C. A相似于對(duì)角陣D. A的n個(gè)列向量線性無關(guān)5 .矩陣A= ¥1 I的逆矩陣的()1 0A. f MJ -2c. 0 1_1 26.設(shè) a 1 =1 , 2, 1, a 2=0 , 5, 3 , a 3=2 , 4,A. 0C. 22,則向量組a 1, a 2 , a 3的秩是()B. 1D. 3#7 .設(shè)a 1 , a 2是非齊次方程組 Ax=b的解，B是對(duì)應(yīng)的齊次方程組 Ax=0的解，則A

3、x=b必 有一個(gè)解是（）B. a 1- a 2#123411P 十一：'1222200200&若A=001與B=01001X100-1相似，則A.-1x=B.#1234C.#1234#1234A相似于-1-1，則 |A-E|=(B.#1234C.10.設(shè)有實(shí)二次型f(X1,X2,X3)=x； - x2，則 f (#1234#1234A .正定B.負(fù)定C.不定D .半正定二、填空題(本大題共 10小題，每小題2 分,20分)#1234請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。-1 211.設(shè)A , B均為三階可逆陣，|A|=2，則|2B A B|=_12.在五階行列式中，

4、項(xiàng)a21 a32 a45 a14 a53的符號(hào)為#1234#123413. 設(shè) A=b，則 A*=d#1234#123414.設(shè)三階方陣15.設(shè) a 1=1 ,#1234#12341116.矩陣1 -11的秩為31234#123417.設(shè)入0是可逆陣A的一個(gè)特征值，則A-2必有一個(gè)特征值是18. 已知齊次方程組 A4x 5 x =0的基礎(chǔ)解系含有3個(gè)向量，貝U R (A)=19. 已知三階矩陣 A的三個(gè)特征值是-1 , 1 , 2,則|A|=.20. 二次型 f(x 1,X2,X3)=X：-2 X1X2+X2X3 的矩陣是 三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題8分，共48 分)21.求行列式2

5、 3413 4124 123|1 0 022.設(shè) A= 1_10I 11-1求(1) (A+2E) -1 ( A , x, a 2=-2 , -4 , 1線性相關(guān)，則 x=-4E)-1(2) (A+2E )( A-2E)23. 求向量組 a 1=1 , -1 , 2, 4, a 2=0 , 3, 1 , 2, a 3=3 , 0, 7, 14, a 4=1 , -1 , 2, 0的秩，并求出向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。x 1 2x 3 x 4 =224.設(shè)有非齊次線性方程組+x2 +x3 +4x4=a問a為何值時(shí)方程組無解？有無窮解？并在有解時(shí)求其通解X -1125. 設(shè)A= 0 3 -1的特

6、征值是 入1=入2=2,入3=4.? 1 3 一(1 )求 x;(2) A是否相似于對(duì)角陣，為什么?26. 設(shè)二次型f(x 1,X2,X3)=2 x；亠3x：亠3x；亠2ax2x3 (其中a>0)可通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型y；2y： - 5y3，求參數(shù)a及所用的正交變換四、證明題(本大題共2小題，每小題6分，共12分)27. 設(shè)向量組a 1 , a 2, a 3線性無關(guān)，證明 a 1 + a 2, a 1 - a 2 , a 3也無關(guān) 設(shè)A為n階正定矩陣，B為n階半正定矩陣，證明 A+B為正定矩陣4全國(guó)2006年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明:AT表示矩陣A

7、的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣的行列式。、單項(xiàng)選擇題(本大題共 10小題，每小題2分，共20 分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。設(shè)A是4階矩陣，則|-A|=(-4|A|B.-|A|C.|A|4|A|5#設(shè)A為n階可逆矩陣，下列運(yùn)算中正確的是C.C.(2A) T=2AT(AT) T-1= (A-1)設(shè)2階方陣A可逆,12 -3設(shè)向量組B.(3A )-1 -1=3A-1T=-31且A-17-2，則A=B.a 3線性無關(guān),-1=A27則下列向量組線性無關(guān)的是(#B.a 1 , a 2, a

8、 1+ a 2C.D . a 1+ a 2, a 2+ a 3 , a 3+ a 1向量組a 1=( 1 , 0 , 0) , a 2=( 0 , 0 , 1),下列向量中可以由a 1, a 2線性表出的是C.(2, 0, 0)B.(-3 , 2, 4)(1,1 , 0)(0,-1 , 0)設(shè)A, B均為3階矩陣，若A可逆，秩(B) =2，那么秩(AB)=(#B.C.A .無解C.有無窮多解設(shè)A為n階矩陣，若A與n階單位矩陣等價(jià)，那么方程組 Ax=b (B.有唯一解D .解的情況不能確定&在R3中，與向量a 1= (1 , 1, 1) , a 2= (1 , 2, 1)都正交的單位向量

9、是(#A (-1 , 0, 1)C. (1, 0, -1)1B.'(-1 , 0, 1)21D.'(1 , 0, 1)29.下列矩陣中,為正定矩陣的是()013、111)A.12 0B.121.30 0111J7-10、110C.-120D.120,0k09.00-110.二次型2 2 2f(x 1,X2,X3)=X !亠 4x2 亠 3x3-4x<!X2 亠 2x<,X3 亠8x2 x 3 的秩等于(A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11.行列式000100200

10、300400012設(shè)矩陣4 ,則行列式|A2|=13設(shè)矩陣A=14. 設(shè)向量組 a 1= (1 , -3, a ), a 2= (1,0,0), a 3= (1 , 3, -2)線性相關(guān)，則 a=15. 若3元齊次線性方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量，則矩陣 A的秩等于 .1 -1 -1 '16矩陣 0-1-1的秩等于.芒01丿17 .設(shè)a 1, a 2是非齊次線性方程組Ax=b的解，又已知 k1 a什k2 a 2也是Ax=b的解，則k1 +k2='118.已知 P-1AP=2廣1,其中P= 1 一1 丿<0一10111 ，則矩陣A的屬于特征值& =-1的特

11、征向量2丿19. 設(shè)A為n階方陣，已知矩陣E-A不可逆，那么矩陣 A必有一個(gè)特征值為20. 實(shí)對(duì)稱矩陣 A= 22 003所對(duì)應(yīng)的二次型3 5xTAx=6三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題8分，共48 分)10 0 221 計(jì)算行列式D=0120的值03403004纟022.設(shè)矩陣A= 01芒302，求矩陣方程XA=B的解X.23.設(shè) t1,t2,t3為互不相等的常數(shù)，討論向量組a 1 = ( 1, t1,t； ) , a 2= ( 1,) , a 3= (1 ,t3,t；)的線性相關(guān)性24.求線性方程組-.-2x 2 x3 2x 4 =12x! 4x2 :x3 x45的通解(要求用它的一個(gè)特

12、解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)-x ! - 2x 2 -2x3 x4 -4解系表示).25.設(shè)矩陣A= -14 .I-1 4 丿(1) 求矩陣A的特征值和特征向量；(2) 問A能否對(duì)角化？若能，求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣D，使P-1AP=D.26.設(shè) f2=X12 24x2 4x3亠 2aX1X22x 1X34x 2X3,7三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題8分，共48 分)#三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題8分，共48 分)(1) 確定a的取值范圍，使f為正定二次型；(2) 當(dāng)a=0時(shí)，求f的正慣性指數(shù)p和負(fù)慣性指數(shù)q.四、證明題(本大題共 2小題，每小題6分，共12分)27. 設(shè)A , B為同階對(duì)稱矩陣，

13、證明AB+BA也為對(duì)稱矩陣.28. 若向量組a 1 , a 2, a 3可用向量組3 1 , 3 2線性表出，證明向量組 a 1, a 2 , a 3線性 相關(guān).全國(guó)2006年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198T*試卷說明：A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A表示A的伴隨矩陣；R ( A)表示矩陣 A的秩;|A|表示方陣A的行列式；E表示單位矩陣。、單項(xiàng)選擇題(本大題共 10小題，每小題2分，共20 分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的#括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1設(shè)A、B均為n階方陣，則必有（A . |A| |B|=|B| |A|C.

14、(A+B ) T=A+BB.| ( A+B ) |=|A|+|B| (AB ) T=A TBT2 .設(shè) A=200-1，則 A-1=(8#_1100002211010B .0122011I200-i20A.2100一 1 "2001201D .0102111000I22-2C.若4階方陣A的行列式等于零，則必有（)A. A中至少有一行向量是其余向量的線性組合B. A中每一行向量都是其余行向量的線性組合C. A中必有一行為零行D . A的列向量組線性無關(guān)#4.設(shè)A為mxn矩陣，且非齊次線性方程組AX=b有唯一解，則必有（A. m=nB.R(A)=m#R(A)<nC. R(A)=n

15、X1 亠 x 2 亠2x 3 =05 .若方程組x1 2x2 x3 =0存在基礎(chǔ)解系，則 入等于（2x1 x2 亠；x3 =0B.C. 46 .設(shè)A為n階方陣，則（A. A的特征值一定都是實(shí)數(shù)B . A必有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量#C. A可能有n+1個(gè)線性無關(guān)的特征向量A最多有n個(gè)互不相同的特征值9B.若可逆方陣A有一個(gè)特征值為 2,142 _1則方陣（A ）必有一個(gè)特征值為（14#C.12正交矩陣的是（F列矩陣中不是#-1B.cos n sin 日sin vcos T0【0-1C.1一 .10込一1 1-V-1若方陣A與方陣B等價(jià)，則（#R（ A）=R（ B）B.| （入 E-A） |=|（

16、入 E-B） |C.|A|=|B|D.存在可逆矩陣P,使 P-1AP=B10.若矩陣A=012正定，則t的取值范圍是（0<t<2B.0<t w 2C.t>2t> 2二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分）#C=E+2A TA （E為3階單位矩陣），貝U BC=請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。1 1 T11. A= （ 一,0, - ）, B=E-A A,2 210#112.已知 |A|=2，且 A-114-3，則A =13.設(shè) A=201A*為A的伴隨矩陣，貝U | A*|=#14.已知A=0 ，則(A+3E) -1 (A2-9E)

17、=15.向量組 a 1 =(1,2, 3, 4) , a 2= (2, 3, 4, 5), a 3= (3, 4, 5, 6) , a 4= (4, 5, 6,16.7),則向量組方程組_21, a 2,X1a 3 , a 4的秩是=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)是0 J11'200、'200、17.若 A=001與B =0y001x00一1相似，則x+y=.100X318.如果方陣A與對(duì)角陣D=相似，則A10-119.二次型f(X 1,X2,X3)=X；-2x 3x； 4x<,x 2 XtX3 -4x2x 3 的對(duì)稱矩陣為#20.二次型f(X1,X2)=2x2 +2x2 -2

18、x1x2經(jīng)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形是 三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題8分，共48分)21.計(jì)算行列式a a +b D=a 2a +ba 3a 亠 bcdb - c c d3b - c 4c -d6b - c 8c - d#22.用克萊姆規(guī)則解方程組2X!+X 2X 3=285X1+2x 2亠2x3=6610x15x 24X3= 13723.設(shè)向量組a 1= (1, -1 , 2, 4); a 2= (0,3,1 , 2); a 3=(3,0, 7,14);a4=(1 ,-1 , 2 , 0); a 5= (2, 1, 5, 6).問 a 1, a 2, a 4是否是其一個(gè)最大線性無關(guān)組？說 明

19、理由。2x<! 4x2 +5x3 +3x4 =024.求齊次線性方程組丿3x<, 6x2 +4x3 +2x4 =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。4x! -8x 2 ' 17 x 3 11x 4 =042-525求矩陣A= k 4_9的特征值與全部特征向量。153_726 化二次型（用配方法）f= x；亠2x：亠5x3亠2xt x 2亠2x低3亠6x 2x 3為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣。四、證明題（本大題共 2小題，每小題6分，共12 分）27.若向量a 1, a 2, a 3線性無關(guān)，冋a 1+ a 2, a 2+ a 3, a 3+ a 1的線性相關(guān)性，并證明之。28. 設(shè)A , B

20、為n階方陣，滿足 A+B=AB廣1(2)若 B= 2,0（1）證明A-E為可逆矩陣。-3010，求矩陣A。0 .設(shè)n階方陣A, B, C滿足ABC=E，則必有（）A. ACB=EB. CBA=EC. BAC=ED. BCA=E3.設(shè)n階方陣A中有n2-n個(gè)以上元素為零，則|a|的值（）A .大于零B.等于零 C.小于零D .不能確定 .設(shè) 3 階矩階 A= ( a 1, 3 , Y ), B=( a 2, 3 , Y ),且 |A|=2 , | B =-1 ,則 |A +B| =()全國(guó)2006年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198T*試卷說明：A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩

21、陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣， A表示方陣A的行列式。、單項(xiàng)選擇題（本大題共 10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的 括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1231.行列式234的值為（)345A. 2B. 1C. 0D. -113A. 4B. 2C. 1D. -4X 2 =:-5線性方程組 x2 _x3 =2：.有解的充分必要條件是 a =（）x 3 -X1 =1A. -1B.-丄31C.D. 136設(shè)A為mx n矩陣，則非齊次線性方程組 Ax=b有惟一解的充分必要條件是（A. m=nB. Ax=0只有零解C. 向量b可由A的列向

22、量組線性表出D . A的列向量組線性無關(guān)，而增廣矩陣A的列向量組線性相關(guān)設(shè)A為3階矩陣，A的特征值為0,1,2,那么齊次線性方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為設(shè)矩陣A=1220二2A為（對(duì)稱矩陣B.反對(duì)稱矩陣正交矩陣D.正定矩陣F列二次型中為規(guī)范形的是（2 2-y1 -y 2-y12 - y22 2-y1 -y 32 2 2y1'3y 2 -5y310 .已知A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣,2TA =A，秩(A) =n，貝U x Ax 是(A.正定二次型C.半正定二次型B.負(fù)定二次型D.不定二次型、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案錯(cuò)填、不填

23、均無分。141511.12.13.14.15.16.17.18.19.20.三、21.22.23.123行列式 012中（2, 3）元素的代數(shù)余子式A23的值為_42_5設(shè)A是4階方陣，A =-2，貝U _A設(shè)矩陣A=丿0 0 00020300010 1.則 A-1=00向量組 a 1=(1,2,-1,1),a 2=(2,0,3,0), a 3=(-1,2,-4,1)的秩為設(shè)向量組a 1 , a 2,a s線性無關(guān)，且可以由向量組3 1, 3 2，3則s與t的大小關(guān)系為若a 1, a 2, a 3都是齊次線性方程組Ax=0的解向量，則A (3 a 1-5 a 2+2設(shè)a , 3是n元非齊次線性

24、方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，秩（A） =n-1 ,t線性表出，a 3） =那么方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的全部解為已知方程組1和)3 I x 2UX3JoA0有非零解，則0t=I1設(shè)矩陣A= <_20一2 0| |2-2 0 與 B= *00化 b0 0y 0 相似，貝y y=04計(jì)算題1設(shè)矩陣A= 24（本大題共6小題，每小題8分，共48 分）計(jì)算行列式4設(shè)A= 111的值.1231 0卜且矩陣X滿足AX=A+2X，求X.2 3x 1-x 2- x 3 -x 4=024求線性方程組x1 _x2 x3 -3x4 =0的通解，并用其基礎(chǔ)解系表示.x1 _x2 _2x3

25、亠3x4 =0Cl _20 '25求矩陣A= 230的所有特征值，指出A能否與對(duì)角矩陣相似，并說明理由2 0 2<J26已知二次型f(x I,x2,x3)=2x2 ：；-2x2ax 232x 2x 3的矩陣A的一個(gè)特征值為 1,求a并寫出該二次型的標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題(本大題共 2小題，每小題6分，共12分)27. 已知向量組a 1, a 2, a 3線性無關(guān)，證明向量組 a i+2 a2 , 2 a 2+3 a3 , 3a 3+ a 1線性無 關(guān)28. 設(shè)A , B都是正交矩陣，證明 AB也是正交矩陣全國(guó)2006年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題課程代碼：02198試卷說明：A表示

26、矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A| 表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1 設(shè)A是3階方陣，且|A|=2,則卜A|=()B. -2D. 6A. -602 .設(shè) A= 04C. 2 2 003，則A的伴隨矩陣A*=(0 0-006-012A.1200B.008080 一600-0-120 1-00-IC.00-8D.-1200 1-600 一10-80 J3秩A是n階方陣，且A的第一行可由其余 n-

27、1個(gè)行向量線性表示， 則下列結(jié)論中錯(cuò) 誤的是（）A. r(A) < n-1B. A有一個(gè)列向量可由其余列向量線性表示17#C. |A|=0D. A的n-1階余子式全為零4.設(shè)A為n階方陣，AB=0 ,且BM 0,則（）A. A的列向量組線性無關(guān)B. A=0C. A的列向量組線性相關(guān)D . A的行向量組線性無關(guān)#Ax=b的解，3是對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0的解，則5.設(shè)a 1、a 2是非齊次線性方程組Ax=b必有一個(gè)解是（）A. r 亠：:£212C.卜 '、心亠：©D.12336.設(shè)齊次線性方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量，當(dāng)A是3階方陣時(shí)，（A. r(

28、A)=0B. r(A)=1C. r(A)=2D. r(A)=37 .設(shè)A與B等價(jià)，則( )A. A與B合同B. A與B相似C. |A|=|B|D. r(A)=r(B)8.已知A相似于人=(1 o -i,則 |A|=()2丿A. -2B. -1C. 0D. 229 .設(shè)扎。是可逆陣A的一個(gè)特征值，則 A必有一個(gè)特征值是（）A.歸B.122o亠 12C.2D.扎Q10 .設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A的特征值分別為1, 0, -1，則（#A. |A|M 0B. |A|=0D. A正定C. A負(fù)定二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案.錯(cuò)填、不填均無分。11.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列54123的逆序數(shù)=-212.*21-1_=-1 018A. |A|M 0B. |A|=0#A. |A|M 0B. |A|=0'彳 4、13.設(shè) A= 一 )，貝U A-1=芒3丿14. 設(shè) a! = (1, 2, 4), ot2 =(-1,-2,y)且 a勺與 ot 2 線性相關(guān)，則 y=。15. 設(shè) 8= (1 , 1, 1), a2=