廣義積分的收斂判別法-廣義積分收斂判別法

1、第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算，在實際應用中，我們將發(fā)現大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件一積分收斂，否則其結果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的.定理9.1(Cauchy收斂原理)f(x)在a,+)上的廣義積分f(x)dxa收斂的充分必要條件是：V0,存在A0,使得b,bA時，恒有b/Ibf(x)dx卜；證明：對limff(x)dx=0使用柯西收斂原理立即得此結論.b二b

2、同樣對瑕積分ff(x)dx(b為瑕點)，我們有a定理9.2(瑕積分的Cauchy收斂原理)設函數f(x)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a,b-q上常義可積，則瑕積分，f(x)dx收斂的充要條件是：V名0,m30,只要0/6,就有b-/Ib_f(x)dx|定義9.5如果廣義積分廣|f(x)|dx收斂，我們稱廣義積分f(x)dxaa絕對收斂(也稱f(x)在a,+8)上絕對可積;如:f(x)dx收斂而非絕對收斂，則稱:f(x)dx條件收斂，也稱f(x)在田,+8)上條件可積.由于VA,Aa,均有AA/IAf(x)dx|E|f(x)|dx因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理.定理9.3

3、如果廣義積分(x)dx絕對收斂，則廣義積分Ef(x)dx必aa收斂.它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質.下面我們先介紹當被積函數非負時，廣義積分收斂的一些判別法.比較判別法：定理9.4(無限區(qū)間上的廣義積分)設在a,+8)上恒有0wf(x)wk中(x),(k為正常數)則當*(x)dx收斂時，1ff(x)dx也收斂；aa當楝f(x)dx發(fā)散時，中(x)dx也發(fā)散.aa證明：由Cauchy收斂原理馬上得結論成立.對瑕積分有類似的結論判別法定理9.5設f(x),g(x)均為a,b)上的非負函數，b為兩個函數的奇點，如存在一個

4、正常數k,使0Mf(x)Ekg(x),Vxwa,b),則，b，一-b,1)如gg(x)dx收斂,則ff(a)dx也收斂。aabb2)如ff(x)dx發(fā)放,則gg(x)dx也發(fā)放.aa比較判別法在實際應用時，我們常常用下列極限形式.定理9.6如果f(x)g(x)是a,+)上的非負函數，且lim工(x)=l,則-二g(x)(1)如果0wl+o0,且g(x)dx收斂，則積分J*f(x)dx也收斂.aaHoc*he如果0l0(l-80),存在A,x:g(x)當x2A時，0l-t(x)l+名g(x)即(l-s)g(x)f(x)b-g(x)(1)(2)一bb,且g(x)dx收斂時,則ff(x)dx也收斂.

5、aa，且fg(x)dx發(fā)散時,則fbf(x)dx也發(fā)散.aa對無限區(qū)間上的廣義積分中，取二11dx作比較標準，則得到下列axpCauchy判別法：設f(刈是a,+)的函數，在其任意閉區(qū)間上可積，那么:c定理9.8若0Mf(x)1,那么積分f(x)dx收斂，如f(x)-5x,p41,則積分1af(x)dx發(fā)散.其極限形式為定理9.9如limxpf(x)=l(0ml1),貝U積分Jaf(x)dx收斂.如limxpf(x)=l，而0lw+七，p0,n0)二x,(2) dx1 1xn11解：(1)因為0win(1+)x1x11112x1xx(1x)x-】dx收斂.1x,二11由2dx收政推出i|1n(

6、1+)-1x1ILxm(2)因為limxnm-=1,所以當n-m1時，積分.xm.j；dx發(fā)散.11xnX,；1xnxmfdx收斂.當nm0),p0),p之1,貝Uff(x)dx發(fā)散.(x-a)a瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為te理9.11設lim(x-a)pf(x)=kxa-如0k0,p1,則ff(x)dx收斂ab如01一dx(1-x2)(1-k2x2)二12(1-k2),1由p=知瑕積分收斂.2(2)0與乙都是被積函數的瑕點.2dx,.1先討論4,由limxp=1o-pqpqsinxcosxx。sinxcosx,三dx一一，,知：當p1時，瑕積分rp收斂；當p21時,瑕積分sinp

7、xcosqxO4.pdXq發(fā)散0sinxcosx三dx再討論總1因lim(x)p-p=12sinpxcosqxdx所以當q1時，瑕積分像一13dx收斂,4sinpxcosqxdx,山當q之1時，瑕積分2dx發(fā)散.pq4sinxcosxdx人，八一綜上所述，當p1且q0,360(S1),V0x6有xxf(t)dt二；,2從而xx0-f(x)三xf(t)dt22或00),當九V1時收斂0x(1-cosx)3,1當兒上1時發(fā)散.3x33/1-cosx證明：:lim=limx0x(1-cosx)xHx1.=lim二231-COSx2xJ所以當3人1時，即九1時，瑕積分收斂.當3九之1,即九之1時,33

8、瑕積分發(fā)散.前面討論的是非負函數的反常積分的收斂性，為了能對一般函數的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結果.定理9.12(積分第二中值定理)設g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調，則存在七a,b使bf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dxg(b)f(x)dxaaa為了證明定理9.12,我們先討論下列特殊情況.引理9.1設f(x)在a,b上單調下降并且非負，函數g(x)在a,b上可積，則存在ca,b,使bcf(x)g(x)dx=f(a)g(x)dxaax證明：作輔助函數(x)=f(a)fg(t)dt,對a,b的任一分法P:a=Mx1x2xn=b我們有brJX,f(x)g

9、(x)dx=1f(x)g(x)dxaxi-Li1由此得到bnxi1Lf(x)g(x)dx-zf(Xi/)(g(x)dx1a.4xi1i=1一1nxi=rxf(x)-f(Xi_i)g(x)dx|xi1nzi1:|f(x)-f(Xi_i)|g(X)|dXXi1n刈x)dmaxG(x)我們證明了不等式nx3f(xi一比g(x)dxEfmax)nxmin(x)f(xi.1)g(x)dxmax(x)xa,bi1xi1xa,b現令|P|T0,取極限，就得到min(x)0,設|g(x)|MM,Vxa產)，因廣f(x)dx收斂，由Cauchy收斂原理，m/Aa,使vA,A之A時，有A1Af(x)dx|：2M由

10、積分第二中值定理，我們得到A,-Ai|：f(x)g(x)dx|*g(A)11f(x)dx|g(AJ11f(x)dx|AA一rA，三M|f(x)dx|M|f(x)dx|Azz一一+一二=.再由Cauchy收斂原理知f(x)g(x)dx收斂a(2)設M為F(A)在a,+g)上的一個上界，則vA,Aa,顯然有Ai|Af(x)dx卜2MA同時，因為limg(x尸0,所以存在A0左a,當xAo時，有xg(x)|b-證明：(1)只須用第二中值定理估計bb_f(x)g(x)dx讀者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的證明.(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明.1(0pw

11、2)的斂散性1sin-例9.14討論積分x-xdx0xp解：對于0Vp1,因為.1sinxxpdx1-xpinX絕對收斂斂對于0Wp2,因為函數f(x)=x2T當xt0時單調趨于0,而函數.1sing(x)=x滿足所以積分.1三|cos1-cos|三21s1n1sin一-xdx=lx2/dx收斂.0xp0x2但在這種情況下，.1sinxxpdx是發(fā)散的事實上.1sinxxp.21sin一Xxp12xp2cosx2xp一11，因7dx發(fā)散,02xp2cos-1fxdx收斂,02xp.1sin-xxpdx發(fā)散從而當0Mp,F求證：Ef(x)dx收斂ujxf/(x)dx收斂.aa5,證明：若函數f(x)在a,+)上一致連續(xù)，且無窮積分Jf(x)dx收斂，則limf(x)=0.ax6,求證：若無窮積分廣f(x)dx收斂，函數f(x)在a,)內單a1調，則f(x)=o(-).x7.計算下列廣