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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上重積分 1·二重積分(1) 二重積分定義設(shè)二元在有界閉區(qū)域上,將區(qū)域任意分成個子域,并以表示第個子域的面積。在上任取一點作和。如果當(dāng)各個子域的直徑中的最大值趨于零時,此和式的存在,則稱此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重,記為,即這時,稱在上可積,其中稱被積函數(shù),稱為被積表達式,稱為面積元素,稱為積分域,稱為二重積分號。(2) 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 (積分可加性) 函數(shù)和(差)的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和(差),即f(x,y)±g(x,y)d=f(x,y)d±g(x,y)d性質(zhì)2 (積分滿足數(shù)乘) 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號外,即kf(
2、x,y)d=kf(x,y)d (k為常數(shù))性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)g(x,y),則f(x,y)dg(x,y)d推論 f(x,y)dg(x,y)d性質(zhì)4 設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值,為區(qū)域D的面積,則mf(x,y)dM性質(zhì)5 如果在有界閉區(qū)域D上f(x,y)=1, 為D的面積,則S=d性質(zhì)6二重積分中值定理設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上連續(xù),為區(qū)域的面積,則在D上至少存在一點(,),使得f(x,y)d=f(,)(3)二重積分計算2·三重積分(1) 三重積分的定義設(shè)三元z=f(x,y,z)定義在有界閉上
3、將區(qū)域任意分成n個子域vi(i=123,n)并以vi表示第i個子域的.在vi上任取一點(iii)作和(n/i=1 (iii)vi).如果當(dāng)各個子域的直徑中的最大值趨于零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域上的三重積分,記為f(x,y,z)dv,即f(x,y,z)dv=lim 0 (n/i=1 f(i,i,i)vi),其中dv叫做體積元素。(2) 三重積分的性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì):設(shè)、為常數(shù),則f(x,y,z)+g(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+g(x,y,z)dv。性質(zhì)2如果閉區(qū)域G被有限個曲面分為有限個子閉區(qū)域,則在G上的三重積分等于各部分閉區(qū)域上三重積分的和。性質(zhì)3如果在G上,且f(x,y,z)1,v為G的,則v1dvdv.性質(zhì)4如果在G上,f(x,y,z)(xyz),則有,f(xyz)dv(x,y,z)dv,特殊地,f(x,y,z)dvf(x,y,z)dv.性質(zhì)5設(shè)M、m分別為f(x,y,z)在閉區(qū)域G上的和,v為G的體積,則有mvf(x,y,z)dvMv.性質(zhì)6設(shè)f(x,y,z)在閉區(qū)域G上連續(xù),v是
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