微積分中值定理習題

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§1中值定理證明：當x>1時，ex>e.xo二、證明方程x5+x-1=0只有一個正根。三、設(shè)f(x)、g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明在(a,b)內(nèi)有一點£,使得f(a)f(b)f(a)f*也)=(ba)g(a)g(b)g(a)g'(與四、證明：若函數(shù)f(x)在(HO,如C)內(nèi)滿足關(guān)系式fx)=f(x),且f(0)=1,則xf(x)=e。n階導(dǎo)數(shù)，且五、設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有f(0)=f0)=f(n-1)(0),試用柯西中值定理證明：上區(qū)=一也，0<8<1xnn!§2洛必達

2、法則求下列極限(1)limx_0cos(sinx)-1(3)limx023xx-arcsinxlimX13sinxlncos(x-1)1-sin2x(4)limln(x-1)-xcot-=x1-2x1arcsinxx2(5)lim()=x0xx：:.1x1x：:.11a-b-c-其中a+b+c#0。泰勒公式(6)lim(),x.0ab-c§3求函數(shù)f(x)=tanx的二階麥克勞林公式。求函數(shù)f(x)=xex的n階麥克勞林公式。、當x0=4時，求函數(shù)y=Mx的三階泰勒公式。當x0=1時，求函數(shù)f(x)=x2lnx的n階泰勒公式。§4函數(shù)單調(diào)性的判定法一、確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3、：2(1) y=2x_lnx；(2)y=:；(2x-a)(ax)2,(aa。)二、證明：當x>。時，1+xln(x+di+x2)>%；1+x2；三、設(shè)在a,b上f“(x)>0,證明函數(shù)中(x)=f(x"f在(a,b上是單調(diào)增加的。x-a§5函數(shù)的極值及其求法一、求下列函數(shù)的極值：(2) y=V3arctanx-2arctan子；3(3) y=excosx；xw(0,2n)(4) y=(2x一5)Vx21一、試問a為何值時，函數(shù)f(x)=asinx+sin3x在x=處取得極值？匕是極大值還33是極小值？并求出此極值。四、討論方程lnx=ax(其中aA0)有幾

4、個實根？§6最大值、最小值問題一、求函數(shù)f(x)=x42x2+5在一2,2上的最大值與最小值。二、設(shè)f(x)=nx(1_x)n(nWN),求(1) f(x)在0,1上的最大值M(n);(2) limM(n)n_)二三、要造一圓柱形油罐，體積為V,問底半徑r和高h等于多少時，才能使表面積最?。窟@時底直徑與高之比是多少？四、從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏斗(圖見P195的圖319),問留下的扇形的中心角平取多大時，做成的漏斗的容積最大？§7曲線的凹凸與拐點一、求曲線y=x4(12lnx-7)的拐點及凹凸區(qū)間。二、試決定y=k(x2-3)2中k的值，使曲線的拐點處

5、的法線通過原點。xyx,iy一一一一一一一一.e-"e三、利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式：ee2(x二y).2四、設(shè)y=f(x)在x=x。的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果fx0)=0,f"(x0)=0,而f"(x0)#0，試問x=x0是否為極值點？為什么？又(x0,f(x0)是否為拐點？為什么？§8函數(shù)圖形的描繪§9曲率、描繪下列函數(shù)的圖形:二一(2)y、對數(shù)曲線y=lnx上哪一點處的曲率半徑最??？求出該點處的曲率半徑。2xy四、證明曲線y=ach在點處(x,y)的曲率半徑為工。aa習題課、設(shè)f(x)在0,a上連續(xù)，在(0,a)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=0,證明存在一點3w(0,a),使f(0+&fY)=0。、設(shè)0<a<b,函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試利用柯西中值定理證明：b存在一點亡w(a,b),使f(b)-f(a)=之f(W)In一。a設(shè)f(x),g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，且f"(x)cg'(x),當x>a時，f(x)-f(a)rg(x)g(a)。四、證明不等式：當n0<x1<x2<時,2tanx2x2有tanx1x12x丁、江.x，五、設(shè)f(x)=，x+2,x0，求f(x)的極值。xE0六、設(shè)函數(shù)f(x)在a,十a(chǎn))上