解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題答案第二章

1、第二章軌跡與方程21平面曲線的方程1.一動點M到A(3,0)的距離恒等于它到點B(-6,0)的距離一半，求此動點M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？._1_解：動點M在軌跡上的充要條件是MA=-|MB。設(shè)M的坐標(x,y)有22122-22v,(x-3)+y=J(x+6)+y化簡得(x6)+y=36故此動點M的軌跡方程為(x6)2+y2=36此軌跡為橢圓2.有一長度為2a(a>0)的線段，它的兩端點分別在x軸正半軸與y軸的正半軸上移動，是求此線段中點的軌跡。A,B為兩端點，M為此線段的中點。解：如圖所示設(shè)A(x,o),B(o,y).則M(3,Y).在Rt_AOB中有22(x2+y2)=

2、(2a)2.把M點的坐標代入此式得:(x2+y2)=a2(x之0,y之0).此線段中點的軌跡為(x2y2)=a2.3 .一動點到兩定點的距離的乘積等于定值m2,求此動點的軌跡.解:設(shè)兩定點的距離為2a,并取兩定點的連線為x軸，兩定點所連線段的中垂線為y軸.現(xiàn)有:AMBM|=m2.設(shè)M(x,y)在R(BNM中(a+x)2+y2=AM|2.(1)在Rt_BNM中,、2,2i.2_,_.一(a-x)+y=BM.(2)由(1)(2)兩式得：/22、2-2/22、44(xy)-2a(x-y)=m-a.4 .設(shè)P,Q,R是等軸雙曲線上任意三點，求證LIPQR的重心H必在同一等軸雙曲線上.證明：設(shè)等軸雙曲線

3、的參數(shù)方程為x1 x2 x3%y2y3)3x = ctc y=iP(為，y1) , Q(x2, y2), R(x3, y3).重心 H2cccc-5.任何一圓交等軸雙曲線xy=c于四點P(ct1,),Q(ct2,),R(ct3,)及S(ct4,).那么t1t2t3t4一定有11t2t3t4=1.證明：設(shè)圓的方程x(i = 1 , 2，懸它的四個根，則有韋達定理ti七t 3t4 = (-1)4cy=1. c8.把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.+y2+2Dx+2Ey+F=0.圓與等軸雙曲線交點(ct,；)，則代入得c2Ec，參數(shù)方程為x = a cos4 1c2t2+=+2Dct+F=0.

4、整理得：c2t111令 x 二 acos41,代入方程 x2 . y2 = a2 1111得 y2 =a2 -a2 cos2 - - a2 sin2 ' y = asin 4+2Dct111 y2 =x3; x2 + y2 = a2 ,(a > 0 ) x3 + y3 -3axy = 0, (a > 0 ).2v - + 3 解:“- ty =t+Ft2+2Ect+c2=0.可知t2t學(xué)習(xí)參考令y=tx,代入方程x3+y3_3axy=0得 1 t3 x3 -3atx2=0二 x211 t3 x - 3at I - 0=x =0或乂 = 3at31 t3當x =0時，y =0

5、;當3at3at21 t33at"1 t 3at：1 t3x故參數(shù)方程為y22曲面的方程1、一動點移動時，與A(4,0,0)及xoy平面等距離，求該動點的軌跡方程解：設(shè)在給定的坐標系下，動點M(x,y,z),所求的軌跡為C,則M(x,y,z)WCuMA=z亦即(x-4)2y2z2=z.(x-4)2y2=0由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為(x-4)2+y2=02、在空間，選取適當?shù)淖鴺讼担笙铝悬c的軌跡方程：(1)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡；(2)到兩定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡；(3)到兩定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡；(4)到一定點和一定平面距離之比等于常數(shù)的點

6、的軌跡解：(1)取二定點的連線為X軸，二定點連接線段的中點作為坐標原點，且令兩距離之比的常數(shù)為m,二定點的距離為2a,則二定點的坐標為(a,0,0),(a,0,0),設(shè)動點M(x,y,z),所求的軌跡為C,則M(x,y,z)三C=(x-a)2y2z2=m.(xa)2y2z2亦即(xa)2y2z2;m2(xa)2y2z2經(jīng)同解變形得：(1m2)(x2+y2+z2)-2a(1+m2)x+(1-m2)a2=0上式即為所要求的動點的軌跡方程。(2)建立坐標系如(1),但設(shè)兩定點的距離為2c,距離之和常數(shù)為2a。設(shè)動點M(x,y,z),要求的軌跡為C,則M(x,y,z)C仁(x-c)2y2z2.(xc)

7、2y2z2=2a亦即.(x-c)2y2z2=2a-.(xc)2y2z2兩邊平方且整理后，得：(a2c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2c2)(1)2_2-2-a>c，令b=a-c從而(1)為b2x2+a2y2+a2z2=a2b22222222.2即：bx+ay+az=ab由于上述過程為同解變形，所以(3)即為所求的軌跡方程。(3)建立如(2)的坐標系，設(shè)動點M(x,y,z),所求的軌跡為C,則M(x,y,z)C=(x-c)2y2z2(xc)2y2z2-二2a222類似于(2),上式經(jīng)同解變形為：勺一4勺=1a2b2c2其中b2=c2a2(c>|a)(*)(*)即為所求的軌跡的

8、方程。(4)取定平面為xoy面，并讓定點在z軸上，從而定點的坐標為(0,0,c),再令距離之比為m。設(shè)動點M(x,y,z),所求的軌跡為C,則M(x,y,z)C仁.x2y2z2=mz將上述方程經(jīng)同解化簡為：x2+y2+(1-m2)z2-2cz+c2=0(*)(*)即為所要求的軌跡方程。3.求下列各球面的方程：(1)中心(2,1,3),半徑為；R=6(2)中心在原點,且經(jīng)過點(6-2,3);(3)一條直徑的兩端點是(23,5)與(4,1,3)(4)通過原點與(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)解：(1)由本節(jié)例5知，所求的球面方程為：_22-2一(x-2)(y1)(z-3)=36(2

9、)由已知，球面半徑R=/62+(2)2+32=7所以類似上題，得球面方程為222xyz=49.24-31.5-3(3)由已知，球面的球心坐標a=3,b=-1,c=1,球的半徑222R=1(42)2+(1+3)2+(5+3)2=拓,所以球面方程為：222(x-3)(y1)(z-1)=21(4)設(shè)所求的球面方程為：x2+y2+z2+2gx+2hy+2kz+1=0因該球面經(jīng)過點(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0-4),所以1=0(1)16+8g=0102g6h=016-8k=0解（1）有l(wèi)=0h=-1|g=-2k=2所求的球面方程為x2+y2+z24x2y+4z=003母線平行

10、于坐標軸的柱面方程1、畫出下列方程所表示的曲面的圖形。.224x+9y=36包4空間曲線的方程一一1221、平面x=c與x +y - 2x=0的公共點組成怎樣的軌跡 。解：上述二圖形的公共點的坐標滿足2 2 一、y = c(2 - c)x = cy r c(2 c)=、x = cz軸；從而：(I)當0<c<2時，公共點的軌跡為：,y Jc(2 - c)=x = c即為兩條平行軸的直線；(n)當c = 0時，公共點的軌跡為：X=0(m)當c=2時，公共點的軌跡為：y=03即過(2,0,0)且平行于z軸的直線；x=2(IV)當c>2或c<0時，兩圖形無公共點。2、指出下列曲

11、面與三個坐標面的交線分別是什么曲線？(1)x2+y2+16z2=64；(2)x2+4y2-16z2=64；22222(3)x-4y-16z=64；(4)x+9y=10z解：(1)曲面與xoy面的交線為：f2.24c222)x+y+16z=64_1x+y=64、z=0/=0此曲線是圓心在原點，半徑R=8且處在xoy面上的圓。.學(xué)習(xí)參考同理可求出曲面x 2222222x2-4y2=64 -4y216z2=64 x216z2=64亦即 '，'z = 0x = 0y = 0即為中心在原點，實軸在x軸，且處在xoy面上的雙曲線；無軌跡以及中心在原點，實軸 在x軸上，且處在zox面上的雙曲

12、線。22（4）曲面 x +9y =16z 與 xoy 面（z = 0）, yoz 面（x=0）, zox 面（y = 0）的交線分別為：2. 一 2 一 2. 一 2 一 2. 一 2 一/x +9y =16z /x +9y =16z xx +9y =16z, = 0、x = 0）=0+y2+16z2=64與yoz面（x=0）及zox面（y=0）的交線分別為；y2 +16z2 =64 x = 0'x2 +16z2 =64 y = 0學(xué)習(xí)參考它們分別是中心在原點，長軸在y軸上，且處在yoz面上的橢圓，以及中心在原點，長軸在x軸上，且處在zox面上的橢圓；（2）由面x2+4y216z2=6

13、4與xoy面（z=0）,yoz面（x=0）,zox面（y=0）的交線分別為：2 222x2 +4y2 -16z2 =64z = 02,42，八2c/2_j_/2，八2x+4y-16z=64x+4y-16z=64,x=0y=02 22x +4y =64-z = 0222_廣2_2y24z2=16x2-16z2=64,x=0y=0即為中心在原點，長軸在x軸上，且處在xoy面上的橢圓；中心在原點，實軸在y軸，且處在yoz面上的雙曲線，以及中心在原點，實軸在x軸，且處在zox面上的雙曲線。2.22（3）曲面x4y-16z=64與xoy面（z=0）,yoz面（x=0）,zox面（y=0）的交線分別為：x

14、2-4y2-16z2=64x2-4y2-16z2=64，x2-4y2-16z2=64<<<,z=0x=0y=0亦即2 22x2 +9y2 =0z = 029y2 =16zx = 0JX2 =16z y = 0即為坐標原點，頂點在原點以z軸為對稱軸，且處在yoz面上的拋物線，以及頂點在原點，以z軸為對稱軸，且處在zox面上的拋物線。3.求下列空間曲線對三個坐標面的射影柱面方程2,2nx 7 z = 0;(2)z =x +1222_x+z-3yz-2x+3z3=0=0yz+1=0Jx + 2y + 6z =5 3x-2y-10z = 7x2y2 z2x2 (y-1)2二1(z -1)2 =1解：（1）從方程組,分別消去變量x,y,z,得：（z1）2+y2z三0亦即：z2 y2 -3z 1=0(I)(n)z-X-1=0（出）(1)是原曲線對yoz平面的射影柱面方程；(n)是原曲線對zox平面的射影柱面方程；（出）是原曲線對xoy平面的射影柱面方程。(2)按照與（1）同樣的方法可得原曲線(I)對yoz平面的射影柱面方程；y - z+1 = 0 ;(n)對zox平面的射影柱面方程；x2 -2z2 -2x + 6z-3 = 0 ；（出）對xoy平面的射影柱面方程。x22y22x+2y+1=0。(3)原曲線對yoz平面的射影柱面方程：2y+7z-2=0原曲線對zo