整數(shù)裂項84105

1、整數(shù)裂項后延減前伸差數(shù)除以N例談?wù)麛?shù)裂項河南省太康縣城關(guān)鎮(zhèn)建南小學(xué)(461400 )對于較長的復(fù)雜算式，單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結(jié)果的。如果算式中每一項的排列都 是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個規(guī)律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方 法。通常的做法是：把算式中的每一項裂變成兩項的差，而且是每個裂變的后項(或前項)恰好與上個裂 變的前項(或后項)相互抵消，從而達到以短制長”的目的。下面我們以整數(shù)裂項為例，談?wù)劻秧椃ǖ倪\用，并為整數(shù)裂項法編制一個易用易記的口訣。例 1、 計算 1X2+2X3+3X4 +4X5+ 98X99+99X 100分析：這個算式實際上可以

2、看作是：等差數(shù)列1、2、3、4、598、99、100,先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為 1,因數(shù)個數(shù)為2。1X2= (1X2X3-0MX2) + (1X3)2X3= (2X3X4-1 X2X3) + (1X3)3X4= (3X4X5-2MX4) + (1X3)4X5= (4X5X6-3MX5) + (1X3)98X99= (98X99X100-97 X98X99) + (1X3)99X100= (99X100X101-98 X99X100) + (1X3)將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號里面諸多項相互抵消，可以簡化 為(

3、99X100X101-0X1X2) 與。解：1 X 2+2X 3+3X 4+4X 5+98X 99+99X 100=(99X100X101-0 X1X2) 與=333300例 2、 計算 3X5+5X7+7X9+ 97X 99+99X 101分析：這個算式實際上也可以看作是：等差數(shù)列 3、5、7、997、99、101 ,先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數(shù)列公差為2,因數(shù)個數(shù)為2。3X5= (3X5X7-1 >3X5) + (2X3)5X7= (5X7X9-3 X5X7) + (2X3)7X9= (7X9X11-5X7X9) + (2X3)97X99= (9

4、7X99X101-95 X97X99) + (2X3)99X101= (99X101 X103-97 X99X101 ) + (2X3)將等號左右兩邊分別累加，左邊即為所求算式，右邊括號里面許多項可以相互抵消。解：3X5+5X 7+7X9+97X99+99X 101=(99X101X103-1 X3X5) + (2X3)=1029882 + 6=171647例 3、 計算 1 X 2X 3+2X 3X 4 + 3X 4X 5+ + 96X 97X 98+97X 98X99分析：這個算式實際上可以看作是：等差數(shù)列 1、2、3、4、598、99、100,先將所有的相鄰三項分別相乘，再求所有乘積的和

5、。算式的特點概括為：數(shù)列公差為 1,因數(shù)個數(shù)為3。1 X2X3= (1 X2X3X4-0 X1X2X3) + (1X4)2X3X4= (2X3X4X5-1 X2X3X4) + (1X4)3X4X5= (3X4X5X6-2 >X4X5) + (1X4)96X97X98= (96X97X98X99-95 X96X97X98) + (1 X4)97X98X99= (97X98X99X100-96 X97X98X99) + (1X4)右邊累加，括號內(nèi)相互抵消，整個結(jié)果為(97X98X99X100-0 X1 X2X3) + (1 X4)。解：1 X2X3+2X3X4+3X4X 5+96X 97 X

6、 98 X +97X 98 X 99=(97X98X99X100-0 X1X2X3) + (1X4)=23527350例 4、 計算 10X 16X 22+ 16X 22X28+ + 70X76X 82+76X 82X 88分析：算式的特點為：數(shù)列公差為 6,因數(shù)個數(shù)為3。解：10X 16X 22+16X 22X 28+70X 76X 82+76X 82X 88= (76X82X88X94-4 X10X16X22) + (6X4)=2147376通過以上例題，可以看出這類算式的特點是：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個數(shù)相乘，再把所有的乘 積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項向后延續(xù)一個數(shù)，

7、再把算式中最前面一項向前伸展一個數(shù)， 用它們的差除以公差與因數(shù)個數(shù)加1的乘積。將以上敘述可以概括一個口訣是：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個。所有積之和，裂項來求作。后延減前伸，差 數(shù)除以No N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時，當(dāng)伸展數(shù)小于0時，可以取負數(shù)，當(dāng)然是積為負數(shù)，減負要加正。對于小學(xué)生，這時候通常是把第一項甩出來，按照口訣先算出后面的結(jié)果再加上第一項的結(jié)果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項求解。例 5、 計算 1X1+2X 2+3X 3+99X 99+100X 100分析：nXn=(n-1) M+n解：1X1+2X 2+3X

8、 3+99X 99+100X 100=1+ (1X2+2) + (2X3+3) + (98X99+99 ) + (99X100+100 )=(1X 2+2X3+98X 99+99X 100 + (1+2+3+99+100 )=99X100X101+3+ (1+100 ) X100+2=333300+5050=338350例 6、 計算 1X2+3X4+5X 6+97X98+99X 100分析：(n-1)如=(n-2) Xn+n解：1 X 2+3X 4+5X 6+7X 8+97X 98+99X 100+ (96X98+98 ) + (98X100+100 )=2+ (2X4+4) + (4X6+

9、6) + (6X8+8) +=(2X4+4X 6+6X8+96X 98+98X 1Q0+ (2+4+6+8+98+100 )=98X100X102y+ (2+100 ) X50-2=169150例 7、計算 1 X1 x 1+2X2X2+3X3X3+99X99X99+0X100X100分析：nXnXn=(n-1)為 x(n+1)+n解：1 x 1 x 1+2X2X2+3X 3X 3+99X 99x 99+100X 100X 100=1+ (1X2X3+2) + (2X3X4+3) + (98X99X100+99 ) + (99X100X101+100 )=(1X2X3+2X3X4+98X 99

10、X 100+99X 100X)101 (1+2+3+99+100 )=99X100X101 X102+4+ (1 + 100 ) X100+2=25492400例 8、計算 1X3+2X 4+3X 5+4X6+98X 100+99X 101解：1X3+2X 4+3X 5+4X 6+98X 100+99X 101=(1X 3+3X5+99X 101 + (2X 4+4X6+98X100=(99X101X103-1 X3X5) 4+1 X3+98X100X102為=171650+166600=338250例 9、計算 1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+100 )解：1+

11、(1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4+100)=1X2+2+2X3+2+3X4+2+100 X 101+2=(1X2+2X 3+3X4+100X 101 e=(100X101 X102+3) 及=171700將上面的口訣繼續(xù)編寫是：前延比零小，取負就是了。小學(xué)不可為，首項先甩掉。平方和立方，變形再裂 項。式長要轉(zhuǎn)化，類比解決它。口訣需熟記，靈活靠練習(xí)。練習(xí)題:1、 計算 1X4+4X7+7X10+94X 97+97X 1002、 計算 2X 4X 6+4X 6X 8+94X 96X 98+<98X1003、 計算 5X 5X 5+6X 6X 6+7X 7X 7+65X 6

12、5X 654、 計算 3+ (3+6) + (3+6+9) + (3+6+9+12+300富不貴只能是土豪，你富而不驕，莫若富而好禮?！比缃裎覀儾蝗笨梢砸灰贡└唬琴F氣卻需要三代以上的培養(yǎng)。孔子說土豪，但是我們?nèi)鄙儋F族。高貴是大庇天下寒士俱歡顏的豪氣與悲憫之懷，高貴是位卑未敢忘憂國的壯志與擔(dān)當(dāng)之志高貴是先天下之憂而憂的責(zé)任之心。精神的財富和高貴的內(nèi)心最能養(yǎng)成性格的高貴，以貴為美，在不知不覺中營造出和氣的氛圍；以貴為高，在潛移默化中提升我們的素質(zhì)。以貴為尊，在創(chuàng)造了大量物質(zhì)財富的同時，精神也提升一個境界。一個心靈高貴的人舉手投足間都會透露出優(yōu)雅的品質(zhì)，一個道德高貴的社會大街小巷都會留露出和諧的溫馨，一個氣節(jié)高貴的