中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題訓(xùn)練-直角三角形的邊角關(guān)系練習(xí)題及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題訓(xùn)練-直角三角形的邊角關(guān)系練習(xí)題及詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，某無人機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)B、D的俯角分別是3060，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60m,隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30J3m到達(dá)A處.【答案】（1）120米；（2）R3.5即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意得：/ABD=30,/ADC=60,在RtABC中，AC=60m,60AB=1=120(m)sin30一2(2)過A作AEBC交BC的延長線于E,連接AD,則AEAC60,CEAA30幣,在RtAABC中,AC=60m,/ADC=60,DC=-AC=20、33DE=50,3(1)(2)解直角

2、三角形即可得到結(jié)論；過A作AEBC交BC的延長線于CEAA30在RABC中，求得E,連接AD,于是得到AEAC60,DC=Y3AC=20j3,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義（1）求A、B之間的距離（2）求從無人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值.tan/AAD=tan/ADC型=與二DE50-35答：從無人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值是2M.5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵2.小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角為120時(shí)，感覺最舒適(如圖1),側(cè)面示意圖為圖2；使用時(shí)為了散熱，她在底板下面墊入散熱架ACO后，電腦轉(zhuǎn)到AO，B，位

3、置(如圖3),側(cè)面示意圖為圖4.已知OA=OB=24cm,。/COA于點(diǎn)C,。/C=12cm.(1)求/CAO/的度數(shù).(2)顯示屏的頂部B/比原來升高了多少？(3)如圖4,墊入散熱架后，要使顯示屏。/B與水平線的夾角仍保持120。，則顯示屏。/B，應(yīng)繞點(diǎn)。/按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度？【答案】(1)/CAO=30;(2)(36方向旋轉(zhuǎn)30.【解析】-12x13)cm；(3)顯示屏O理繞點(diǎn)O按順時(shí)針試題分析：(1)通過解直角三角形即可得到結(jié)果；(2)過點(diǎn)B作BD,AO交AO的延長線于D,通過解直角三角形求得BD=OBsinZBOD=24X=1273,由C、O、B三點(diǎn)共線可得結(jié)果；(3)顯示屏O而繞

4、點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30,求得/EOB/干OA=30；既是顯示屏O應(yīng)繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30.試題解析：(1).,0，(1OA于C,OA=OB=24cm,OCOC121.sinZCAO=-/CAO=30,、一公一、-一_RD_(2)過點(diǎn)B作BD，AO交AO的延長線于D,1.sinZBOD=-,.BD=OBsin/BOD,OJD/AOB=120,ZBOD=60；BD=OBsin/BOD=24xl=12后,OLOA,/CAO=30 ./AOC=60：/AOB=120ZAO叱AOC=1&0.O，B+O3D=24+12-12冉=36-12/，顯示屏的頂部B比原來升高了(36-12后)cm；(

5、3)顯示屏O面繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30,理由：顯示屏O內(nèi)水平線的夾角仍保持120。，/EO=120； ./FOA=CAO=30 /AOB=120 ./EOETFOA=303.如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為1,且在水平線上的射影AF為1.4m.現(xiàn)已測量出屋頂斜面與水平面夾角為2,并已知tan11.082,【答案】解；過點(diǎn)且作7_LCD于P，AE#BC交CD于F在我AADF中,DF=AFt3n=1,4x1.082=1.5143

6、（）,q在口土瓦4F 中?豆一卬=AFtan弓二1.4xO.412=0,576日（中）（2分）因二Z?F后尸=1,514g-0376=0,93（喀）（1分）尺可證四邊形上FCE為平行四邊形,故有-25c活（2分）二C口二D五十C宜二33+25=1188kli9a的（2分）答支架CD的高的為H90乩（1 分）/【解析】過A作AFCD于F,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義用之、色表示出DF、EF的值，又可證四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm再再根據(jù)DC=DE+ECS行解答即可.4 .在正方形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B）,1/BPE=/ACB,PE交BO

7、于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF，PE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.2（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證：BO84POE；BF（2）通過觀察、測量、猜想：=,并結(jié)合圖2證明你的猜想；PEBF.（3）把正萬形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若/ACB=4,求的PE值.（用含“的式子表示）ADADADADA A0 0圖1圖2圖3【答案】（1）證明見解析（2）BF1（3）空1tanPE2PE2【解析】解：(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，P與C重合，.OB=OP,/BOC=ZBOG=90:.PFXBG,/PFB=90,./GBO=901BGO,ZEPO=90ZBGO.，/GBO=/EPO.AB

8、OGAPOE(AAS).BF1、一(2)-.證明如下：PE2如圖，過P作PM/AC交BG于M,交BO于N,/PNE=/BOC=9C0,/BPN=ZOCB. /OBC=ZOCB=4巴1/NBP=ZNPB. .NB=NP. /MBN=9CC/BMN,/NPE=9C0/BMN,/MBN=/NPE. .BMNAPEN(ASA).BM=PE.,1，一/, /BPE=/ACB,/BPN=/ACB,./BPF=/MPF.2 .PFBM,/BFP土MFP=9C.又.PF=PFABPFAMPF(ASA).BF=MF,即BF=-BM2(3)如圖，過P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,/BPN=ZACB=/P

9、NE=ZBOC=9C0.由(2)同理可得BF=-BM/MBN=/EPN2ZBNM=ZPNE=9Cf,BMN淤2，/OED=/QDH,/ERG=90,/OED=/GBN,/GBN=/ABC,AB，ED,EG=75RG,，RG=,BR=RG+BG=121BF=2BR=24考點(diǎn)：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形BG=BQ=,/一1AC1/ACI=90,tan/AIC=tanZABC=,.=一2Cl1,，IC=O括，由勾股定理可求得:AI=25,設(shè)QH=x,tan/ABC=tanZODE=（,.HD=2x,.OH=OD-HD=-,BH=BQ+QH=.，-OB2=BH2+OH2,=二：號(hào)+1

10、|十,解得：工=或;,當(dāng)QH時(shí)，.QD=92,2“11m-15-9“人-5ND=6j5,-MN=3V5，MD=15,.,”口，工7，QH1不符合題思，舍去，當(dāng)QH時(shí)，.-.QD=!7.ND=NQ+QD=忑,ED=10追,cc11后 cc9依GD=GN+ND=-,.EG=ED-GD,一2/ABC=ZQDH,.OE=OD,GN=NQ=JBJB（圖多）6.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)O0,0，點(diǎn)A3,0，點(diǎn)C0,4,連接OB,以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOCB,旋轉(zhuǎn)角為0360,得到矩形ADEF，點(diǎn)O,C,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.(I)如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在對(duì)角線OB上時(shí)，求點(diǎn)D的坐

11、標(biāo);(n)在(I)的情況下，AB與DE交于點(diǎn)H.求證BDEDBA;求點(diǎn)H的坐標(biāo).(m)為何值時(shí)，F(xiàn)BFA.(直接寫出結(jié)果即可).y15472【答案】(I)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,);(II)證明見解析；點(diǎn)H的坐標(biāo)為(3,2525(出)60或300【解析】【分析】(I)過A、D分別作AMOB,DNOA,根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出OA、OC的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB、OB的長，在RtAOAM中，利用/BOA的余弦求出OM的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=AD,利用等腰三角形的性質(zhì)可得OD=2OM,在RtODN中，利用/BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的長，即可得答案；(n)由等腰三角形性質(zhì)可得/DOA=/

12、ODA,根據(jù)銳角互余白關(guān)系可得ABDBDE,利用SAS即可證明 DBA0BDE;根據(jù)DBABDE可得/BEH=ZDAH,BE=AD,即可證明 BHEADHA,可得DH=BH,設(shè)AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；(出)如圖，過F作FOLAB,由性質(zhì)性質(zhì)可得ZBAF=,分別討論0Vw180寸和180AB,當(dāng)0oc18時(shí)，丁點(diǎn)B與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，A為旋轉(zhuǎn)中心，/BAF為旋轉(zhuǎn)角，即ZBAF=oc,AB=AF=4,FA=FBFOXAB,.OA=1AB=2,2OA1cos/BAF=，AF2./BAF=60即a=60。，當(dāng)180Y.9【答案】（1）詳見解析；（2）-2【解析】【分析】

13、（1）利用角平分線的性質(zhì)得到/OAE=/DAE,再利用半徑相等得換即可推出OE/AD,即可解題， （2）根據(jù)30。 的三角函數(shù)值分別在ABcos30； 在RtAADE中，AD=cos301A即可解題.【詳解】證明：如圖，連接OE,.AE平分/DAC,/OAE=/DAE. .OA=OE,/AEO=/OAE./AEO=/DAE. .OE/AD. .DCXAC, OEXDC.(2)解：.AB是直徑，/AEB=90；/ABE=60:/EAB=30；在RtMBE中，AE=ABcos30=6Xe=36,2在RtMDE中,/DAE=/BAE=30,.AD=cos30乂/AEO=/OAE,等量代RtAABE中

14、，AE=.CD是。O的切線.QOAOC,Q312,2.本題考查了特殊的三角函數(shù)值的應(yīng)用，切線的證明，中等難度，利用特殊的三角函數(shù)表示出所求線段是解題關(guān)鍵.8.如圖，AB為eO的直徑，C、D為eO上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)C作CEDB,交CD的延長線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)E,直徑AB與CE的延長線相交于點(diǎn)F.(1)連接AC、AD,求證：DACACF180若ABD2BDC.求證：CF是eO的切線.一_3，當(dāng)BD6,tanF時(shí)，求CF的長.420【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；CF3【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證得/ADB=90,即ADBD,由CE1DB證彳導(dǎo)AD/CF,根據(jù)平行線

15、的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）連接OC.先根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形外角的性質(zhì)得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,則OC/DB,再由CE1DB,得到OCCF,根據(jù)切線的判定即可證明CF為。O的切線；由CF/AD,證出ZBAD=ZF,得出tanZBAD=tanZF=-BD=-,求出AD=-BD=8,利AD43一OC3用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=5,再由tanF=-,即可求出CF.CF4【詳解】解：（1）AB是eO的直徑，且D為eO上一點(diǎn)，ADB90,QCEDB,DEC90,CF/AD,DACACF180(2)如圖，連接OC.321.Q42BDC,BDC1,421,43,O

16、C/DB.QCEDB,OCCF.又QOC為eO的半徑,BADF,3tanBADtanF，4BD3.AD4QBD64ADBD8,3AB店8210，OBOC5.QOCCF,OCF90,本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果.tanFOC3CF4解得CF203CF為eO的切線.D由（1）知CF/AD,4、.5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,，一，3如圖，4ABC中，AC=BC=10,cosC=2,點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，5以PA長

17、為半徑的OP與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為(1)當(dāng)。P與邊BC相切時(shí)，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長為x,接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當(dāng)以PE長為直徑的所得的公共弦的長.D,過點(diǎn)D作DE，CB于點(diǎn)E.PF的長為V,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直O(jiān)Q與。P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交40R；(2)5xJx28x80；(3)5010V5.3x20(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為3一R,連接HP,則HPBC,cosC=-,則5“4HPsinC=,sinC=5CP4r 一.-,即可求解;5(2)首先證明PD/BE,則受PDBFPF即:2x5xJx28x80y

18、,即可求解;(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=EPBD,即：AB=DB+AD=AG+AD=3 3EC C笛用圖則BH=ACsinO8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=45貝U:tanZCAB=2,BP=j82+(x4)2=Jx28x80，DA=x,則BD=45x,55連接HP,貝UHPBC,cosC=w4則sinC=,5HPsinC=CP10R5R40R=9(2)在ABC中，AC=BC=10,c3cosC=一5設(shè)AP=PD=x,/A=/ABC=3,過點(diǎn)B作BHIAC,如下圖所示，PA=PD,/PAD=/CAB=/CBA=3,tan3=2,則cos3=%,sin3=j5,2x5G

19、D為相交所得的公共弦，點(diǎn)Q是弧GD的中點(diǎn)， DGXEP,.AG是圓P的直徑，/GDA=90, .EP/BD,由（2）知，PD/BC,四邊形PDBE為平行四邊形,.AG=EP=BD, .AB=DB+AD=AG+AD=4遙,設(shè)圓的半徑為r,在4ADG中，AD=2rcos尋,DG=-j=,AG=2r,2r20飛+叱4而，解得：2r=,4r則：DG=需=50-10收，相交所得的公共弦的長為50-1055.【點(diǎn)睛】本題考查的是圓知識(shí)的綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，其中（關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，此題用大量的解直角三角形的內(nèi)容，綜合難度很大.10.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,

20、1),點(diǎn)C(1,0),正方形AOCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為B,延長BD至點(diǎn)G,使DG=BD,延長BC至點(diǎn)E,使CE=BC以BG,EB=BDcos3=(475-2.5、x)5.PD/BE,整理得:5xy=Jx28x80;(3)以3x20EP為直徑作圓Q如下圖所示,兩個(gè)圓交于點(diǎn)G,則PG=PQ,即兩個(gè)圓的半徑相等，則兩圓另外一個(gè)交點(diǎn)為D,EBPDBE為鄰邊作正方形BEFG.AB.(I)如圖，求OD的長及的值；BG(n)如圖，正方形AOCD固定，將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形BEF；G旋轉(zhuǎn)角為a(0/V360),連接AG.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)/BAG=90寸，求a的大??；在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF的

21、長取最大彳1時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)及此時(shí)a的大小(直接寫出結(jié)果即可).一一1【答案】(I)(D)a=30或150時(shí)，/BAG=90ia=315時(shí)，A、B、F在一條2直線上時(shí)，AF的長最大，最大值為+2,此時(shí)a=315,F(g+&，g-J2)【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題，(2)因?yàn)?BAG=90,一,AB1,BG=2AB,可知sin/AG=一,推出/AG=30，推出旋轉(zhuǎn)角=30,據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)BG2/ABG=60時(shí),/BAG=90他滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a=150當(dāng)=315時(shí),A、B、F在一條直線上時(shí)，AF的長最大.【詳解】(I)如圖1中，G圖E-A(0,1),

22、.OA=1,四邊形OADC是正方形，/OAD=90；AD=OA=1,.OD=AC=/12+122,，AB=BC=BD=BO,2BD=DG,BG=,圄./BAG=90BG=2AB./AGB=30/ABG=60./DBG=30 旋轉(zhuǎn)角”30,根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)/ABG=60時(shí)，/BAG=90,也滿足條件，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角”150；綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a=30或150時(shí)，/BAG=90：如圖3中，連接OF,圖3 四邊形BE陛3T形的邊長為百.BF,=2 當(dāng)a=315寸；A、B、F在一條直線上時(shí),此時(shí)a=315；1（卷啦,yV2）【點(diǎn)睛】AF的長最大，最大值為孚+2,（n）如圖2中，-ocT1 1本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.11.近幾年，我國國家海洋局高度重視海上巡邏.如圖，上午9時(shí)，巡邏船位于A處，觀測到某港口城市P位于巡邏船的北偏西67.5。，巡邏船以21海里/時(shí)的