直角三角形的邊角關(guān)系學(xué)案(定)

1、北師大版第一章直角三角形的邊角關(guān)系九年級下冊1.1從梯子的傾斜程度談起(1)學(xué)號 姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.2、能夠用tanA表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，并 能夠用正切進(jìn)行簡單的計算 .【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】1、問題探索：函數(shù)的定義(1) AB、EF表示梯子，AC、ED表示支撐梯子的物體， BC FD在地面上.如圖1,你能比較兩個梯子 AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法?第33頁共23頁你能再判斷下圖中哪個梯子更陡嗎?()()()A D 圖8 B(2)合作交流：如圖，小明想通過測量 BG

2、及AG,算出它們的比，來說明梯子 AB1的傾 斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過測量 B2Q及AC2,算出它們的比，也能說明梯子 AB1的傾斜程 度.你同意小亮的看法嗎？BC1和BC有什么關(guān)系？AC1AC2如果改變B2在梯子上白位置呢？中關(guān)系是否還成立？若/ A的大小改變， B1C1怎樣變化？ 中關(guān)系是否還成立?AC1由此你能得到什么結(jié)論？2、知識技能在Rt ABC中，如果銳角 A確定，那么銳角 記作 tanA,即 tan A =.明辨是非：AC(1)如圖 6, tan B =()BCBC(2)如圖 7, tan B =()AC例 1(1)填空：如圖 8, tanA)=)=(-)-ta tan= ta

3、nBDCD(2)如圖 9,在ABC中，/C=90, BC=6, AB=10,求 tanB, tanA, tanB函數(shù)公式：/A+/B =90tanB. tanA=13、數(shù)學(xué)理解思考：你能根據(jù)所學(xué)知識判斷梯子的傾斜程度與傾斜角的正切值有什么關(guān)系嗎?4,理解函數(shù)增減性，幾何畫板畫出函數(shù)圖像，理解角的定義域，初中定義在銳角，0 A0）與y = x（xv 0）的圖象上，則tan/BAO的值為.4.已知角函數(shù)值，求角函數(shù)值從梯子的傾斜程度談起（1）隨堂測試1、在 ABC中，/ C=90 , AC=BC 貝U tanA=垂足為D,C2、如圖，ABC, / AC氏90 , BG= 3, AG= 4, CD!

4、AB,求 tan/BCD.3、已知等腰三角形的一條腰長為 20 cm,底邊長為30 cm,求底角的正切值.A處出發(fā)，把貨物運(yùn)送到距山腳4、如圖，山坡 AB的坡度為5： 12, 一輛汽車從山腳下500 m高的B處，求汽車從 A到B所行駛的路程.從梯子的傾斜程度談起（1）隨堂測試1、在 ABC中，/ C=90 , AC=BC 貝U tanA=2、如圖，在ABC, / AC氏90垂足為D,求tan/ BCD.AC= 4, CD!AB,3、已知等腰三角形的一條腰長為 20 cm,底邊長為30 cm,求底角的正切值.4、如圖，山坡 AB的坡度為5： 12, 一輛汽車從山腳下 A處出發(fā)，把貨物運(yùn)送到距山腳

5、500 m高的B處，求汽車從 A到B所行駛的路程. 1.1 梯子的傾斜程度談起（2）學(xué)號 姓名【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .類比正切意義，理解正弦和余弦的意義；2 .能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比，進(jìn)行簡單的計算；3 .了解銳角三角函數(shù)的意義.【相關(guān)鏈接】1、在 ABC 中,2、在 4ABC 中,/ C= 90 ,/ C= 90 ,BC= 16 cm, AC= 20 cm,貝U tan A=AC= 15, tanB=3，貝U AB=43、在 ABC 中，/ C=90, AC=2BC,則 tanA 等于（）A. 1B.-C. . 2D.222【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】一、正弦、余弦的定義1、閱讀課本P7

6、,類比正切定義，寫出/ A正弦、余弦：銳角三角函數(shù)的定義:2、討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系:、正弦、余弦的應(yīng)用1、典型例題:例1、如圖，在 RtABC 中，/ B=90, AC=200, sinA=0.6,求（1） BC 的長;（2） ABC的周長和面積變式:在 RtAABC 中，/ B=90 ,sinA=0.6,求 cosA.反思:例2、你用到了什么數(shù)學(xué)方法? 做一做：如圖,在 RtAABC 中，/ C=90 ,cosA，13,AC =10,求 sinA、cosB、sinB.反思:你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?三、跟蹤練習(xí)例題：四種習(xí)題:類型一，已知邊，1、在4ABC中,3 A.sinA

7、=-4求角函數(shù)值已知 AC=3, BC=4, AB=5,3 B.cosA=-53 C.tanA= 4那么下列結(jié)論正確的是（）3 D.cosB=-5，一，._一 ， ，一 。32、如圖，在 4ABC中，/ C=90 , sinA= 3A.-43、在MBC中,A. 134 B.3/ C=90 ,53C.一5BC=5, AB=13,B.1213C.512史等于（）AC4D.-5sinA的值是（）c 12D.52.如圖，在RtAABC中，/ C=90,AC = 4, AB=5,貝U sinB 的值是（）C.3.如圖，在 RtABC 中，/ C = 90AC=4,BC= 3,則下列結(jié)論中正確的是（3A

8、. sinA= 4B . cosA =一3C.tanA=一4_. 3D. cosA=一54.如圖，A, B, C是正方形網(wǎng)格中的格點（小正方形的頂點）則sin / ACB的值為（）CR 2/5B-飛一C.5.如圖所示， ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）VsC春D.類型二已知邊，角函數(shù)值，求角函數(shù)值及邊41、在 4ABC 中，AB=AC=10, sinC=-,貝 1 BC=.5.92、在 RtABC 中，/ C=90 , AB=41 , sinA=，貝U AC=, BC=41類型三 已知邊比，求角函數(shù)值1、如圖，在RtA ABC 中,DBB.-CB0D是斜邊AB上的高，則下列

9、線段的比中不等于sinA的是（0黑d.|D)類型四 已知角函數(shù)值，求角函數(shù)值1、RtABC 中,，一 。一 3/ 0=90 ,已知 cosA=一，5那么tanA等于（）A.4B.32、在 RtA ABC 中，/ C=900.4,tanA= 3，貝U sinA=4,sinB=, tanB=, cosB=1.如圖，面積為 24的？ABCD中，對角線 BD平分/ABC,過點 D作DELBD交BC的延長線于點E, DE = 6,則sin/DCE的值為（）0.D.1225探索例題的多種做法例題.如圖，在矩形 ABCD中，AB = 3, AD = 5,點E在DC上，將矩形 ABCD沿AE折疊, 點D恰好落

10、在BC邊上的點F處，那么sin/EFC的值為.方法1：勾股定理-求線段長，求三角函數(shù)值 方法2:相似得線段比，求三角函數(shù)值 方法3：角的等量轉(zhuǎn)化，求三角函數(shù)值7.如圖，在4X4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點， ABC的頂點都在格 點上，則/ BAC的余弦值是 .預(yù)習(xí)反思：1、你學(xué)習(xí)到了哪些知識？用到了什么數(shù)學(xué)方法？2、你還有哪些疑難？ 1.1從梯子的傾斜程度談起(2)隨堂測試1、等腰三角形底邊長是 10,周長是40,則其底角的正弦值是 2、在 ABC 中，/ C=90 , CDAB 于 D.則 sinB=().CD AC BC ACAB BC AB AB3、若a是銳角，那么Sina

11、+COSa的值.A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.不能確定4、在 4ABC 中，/ 0=90, 3a=gb,則 sinA. 15、在 4ABC中，/ C=90 ,若 cosA=-,則 SinA=2 1.1從梯子的傾斜程度談起(2)隨堂測試1、等腰三角形底邊長是 10,周長是40,則其底角的正弦值是 2、在 ABC 中，/ C=90, CDAB 于 D.則 sinB=().A CDb ACc BCd ACAB BCAB AB3、若a是銳角，那么Sina+COSa的值.A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.不能確定4、在 ABC 中，/ C=90 , 3a=J3b,則 sinA. 15、在

12、 4ABC中，/ 0=90 ,若 cosA=-，則 SinA=.21.2 30、45、60角的三角函數(shù)值 學(xué)號 姓名【預(yù)習(xí)目標(biāo)】1 .能夠進(jìn)行30 、45 、60 角的三角函數(shù)值的計算；2 .能夠根據(jù)30 、45 、60 的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.【相關(guān)鏈接】：在 RtAABC 中，/ C=90 , / B=30 ,若設(shè) AC=k,貝U BC 和 AB 的長 為多少？【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】、探索30、45、60角的三角函數(shù)值1、( 1)計算 sin30 =, cos30 =(2)類似方法求45。的三角函數(shù)值,tan30 =(3)類似方法求60。的三角函數(shù)值角函數(shù) 角度sin acos atan

13、a304560結(jié)論:反思：你發(fā)現(xiàn)了有什么規(guī)律?書寫格式：sin30 -sin302- sin 60sin302、應(yīng)用特殊角V 角函數(shù)值例1計算：(1)sin30 +cos45 :(2)sin260 +cos260 -tan45 .2練習(xí)：(1) -2- sin45 + sin60 -2cos45(2) 2-2-( J2003 + 7t)-cos60 - -2 .例2 特殊角V A角函數(shù)值(1)已知/ A 是銳角，且 cosA =，則/ A =, sinA =;2(2)已知/ A是銳角，且 2sinA = 1,則/ A = ;(3)已知/ A是銳角，且 3tanA J3 = 0,則/ A=:a(

14、4)在 RtAABC 中，/ C = 90 , 2a = J3c ,則一=，/ B= :c例3圖形里求函數(shù)值一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5 m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60。，且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差（2） cos 30 sin 45 0 sin 60 一cos45二、跟蹤練習(xí)：1 .計算：(1) 1-iy3tan30n；2 . (1)若*tan( “+20)=1,貝U銳角”的度數(shù)是()A.40 B.30 C.20 D.10 （2）已知在 RtABC中，/ C=90.若 sinA=f!,則 sinB 等于2A.lB，C.史 D.1(3)

15、已知等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2:J3,則頂角為()A. 60B.90 C.120 D.150 (4)在 ABC中，若tanA=1, sinB=坦，你認(rèn)為最確切的判斷是VA. ABC是等腰三角形B.AABC是等腰直角三角形CA ABC是直角三角形D.ABC是一般銳角三角形(5)已知銳角滿足 4sin2a_3=0,則a =.3 .如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30 m ,兩樓問的距離 AC=24 m ,現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30。時，求甲樓的影子在乙樓上有多乙 一口口 口 口五高？（精確到 0.1 m, J2=1.4, J3=1.73）4、

16、課本P13問題解決4、5、6寫在學(xué)案反面預(yù)習(xí)反思：2、你學(xué)習(xí)到了哪些知識？用到了什么數(shù)學(xué)方法?2、你還有哪些疑難？1.2 30 、45 、60 角的三角函數(shù)值隨堂測試學(xué)號 姓名1、計算、.（sin 60*_12） =, ；（Ctan30 = 2、若 cosB= 12 ,則/ B=； cosA=1 , / A=. （/A、/ B 為銳角） 萬23、計算（1）、2sin30 + tan60 cos45（2）2sin 60 -tan45cot 302 sin 304. “為銳角，且關(guān)于 x的方程x2 2V2xsinot+1 =0 ,有兩個相等的實根，則 o=.1.2 30 、45 、60 角的三角函

17、數(shù)值隨堂測試學(xué)號 姓名1、計算 v（sin 60 _12） =, J（1jtan30, = 2、若 cosB= 2，則/ B= ； cosA=1 , / A=. （/A、/ B 為銳角） 2sin60 - tan45 cot 302 sin 30T23、計算（1） V? sin30 + tan60 cos454. “為銳角，且關(guān)于 x的方程x2272xsina+1 =0 ,有兩個相等的實根，則=.1.3三角函數(shù)的有關(guān)計算（1）學(xué)號 姓名【預(yù)習(xí)目標(biāo)】1、利用計算器會求任意角的三角函數(shù)值；2、借助三角函數(shù)解決簡單的實際問題.【相關(guān)鏈接】1、解直角三角形的基本理論依據(jù)：在RtAABC中，/ C=90

18、，/ A、/ B、/ C所對的邊分別為 a、b、c.邊的關(guān)系：（2）角的關(guān)系：；（3）邊角關(guān)系： 2、在 Rt ABC 中，/ C=90, AC=b , /A=a 求其它元素反思：在直角三角形中知道了什么元素，可以求出其它所有元素?【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】-、會用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)，閱讀課本Pi6,會用計算器計算非特殊角的三角函數(shù)，并完成課本P17隨堂練習(xí)1.二、借助三角函數(shù)解決簡單的實際問題典型例題：例1、如圖，某地夏日一天中午，太陽光線與地面成80。角，房屋朝南的窗戶高 AB=1.8 m ,要在窗戶外面上方安裝一個水平擋板AC,使光線恰好不能直射室內(nèi)，求擋板 AC的寬度.（結(jié)果精確到0.01

19、 m）例2、求圖中避雷針的長度（結(jié)果精確到0.01m）.例3、如圖，物華大廈離小偉家60m,小偉從自家的窗中眺望大廈，并測得大廈頂部仰角是45o ,而大廈底部白俯角是 37o ,求該大廈的的高度（結(jié)果精確到0.1m）.跟蹤練習(xí)1、一個人從山底爬到山頂，需先爬求山高.（結(jié)果精確到0.01 m）40的山坡300 m,再爬30的山坡100 m,2、如圖，直升飛機(jī)在跨河大橋AB的上方點P處，此時飛機(jī)離地面的高度PO=450 m,且A, B, O三點在一條直線上，測得/ 久=30, / b =45,求大橋AB的長.I 、 IO B A*3、如圖，/ C = 90, /DBC = 30, AB=BD,利用

20、此圖求 tan 75 的值.、通過預(yù)習(xí)，你有什么收獲?1.3 三角函數(shù)的有關(guān)計算（1）隨堂測試學(xué)號 姓名1、學(xué)校校園內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計花園每平方米造價30元，學(xué)校建這個花園需投資 元.（精確到1元）2、如圖，為了測量某建筑物的高AB,在距離點Ba米的D處安置測傾器，測得點 A的傾角為%已知測傾器的高 CD=h米，求建筑物的高 AB.&1.4 三角函數(shù)的有關(guān)計算（1）隨堂測試 學(xué)號 姓名1、學(xué)校校園內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計花園每平方米造價30元，學(xué)校建這個花園需投資 元.（精確到1元

21、）2、如圖，為了測量某建筑物的高AB,在距離點Ba米的D處安置測傾器，測得點 A的傾角為%已知測傾器的高 CD=h米，求建筑物的高 AB.1.3三角函數(shù)的有關(guān)計算（2）學(xué)號 姓名【預(yù)習(xí)目標(biāo)】1、利用計算器根據(jù)三角函數(shù)值會求角；2、借助三角函數(shù)解決簡單的實際問題.【相關(guān)鏈接】請總結(jié)出上節(jié)課用到的基本題型及解決方法.【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】一、已知三角函數(shù)值會用計算器求角閱讀課本Pig-?。，已知三角函數(shù)值會用計算器求角，并完成課本P22知識技能1.二、借助三角函數(shù)解決簡單的實際問題典型例題：例1、一輛汽車沿著一山坡行駛了150米，其鉛直高度上升了25米，求山坡與水平面所成銳角的大小.例2、如圖，一名患者體內(nèi)

22、某重要器官后面有一腫瘤 .在接受放射性治療時， 為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射腫瘤.已知腫瘤在皮下 6.3 cm的A處,射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的B處進(jìn)入身體，求射線的入射角度，例3、如圖，工件上有一 V形槽.測得它的上口寬加 20mm,深19.2mm.求V形角（/ ACB）的大小.（結(jié)果精確到1 ）跟蹤練習(xí):1、菱形的對角線長為 24 cm和70 cm,求該菱形的一個銳角的大小.2、圖中的螺旋形由一系列直角三角形組成，每個三角形都以點(1)求/ A0OA1 , / A1OA2 , / 丹。人3的大?。?2)已知/ A2OAn是一個小于20o的角，求n的值.3、如

23、圖，為某小區(qū)的兩幢10層住宅樓 面地面向上依次為第 1層、第2層、第10層, 每層的高度為3m,兩樓間的距離 AC=30m。現(xiàn)需了解在某一時段內(nèi)，甲樓對乙樓的采光 的影響情況。假設(shè)某一時刻甲樓樓頂B落在乙樓上的影子長 EC=h,太陽光線與水平線的夾角為a .(1)用含a的式子表示h；(2)當(dāng)a =30時，甲樓樓頂B的影子落在乙樓的第幾層？從此時算起，若a每時增加10,多久后，甲樓的影子剛好不影響乙樓的采光？8甲樓呂口口口太陽光呂口口呂AC三、總結(jié)在直角三角形中除直角外，已知哪幾個元素，可直接求出其它的元素：1.3三角函數(shù)的有關(guān)計算（1、如圖，甲、乙兩建筑物相距120 m ,甲建筑物高2）隨堂測

24、試學(xué)號 姓名50 m ,乙建筑物高 75 m ,求俯角a和仰角P的大小.2、根據(jù)圖示數(shù)據(jù)求/ 口的大小.C . 一甲0120 m D1.3三角函數(shù)的有關(guān)計算（1、如圖，甲、乙兩建筑物相距120 m ,甲建筑物高2）隨堂測試學(xué)號 姓名50 m ,乙建筑物高 75 m ,求俯角a和仰角P的大小.2、根據(jù)圖示數(shù)據(jù)求/ a的大小.1.5 船有觸礁的危險嗎學(xué)號 姓名【預(yù)習(xí)目標(biāo)】1 .經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用2 .能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對 結(jié)果的意義進(jìn)行說明.燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面40 夾角,

25、【相關(guān)鏈接】 纜ED,鋼纜ED的長度是多少？(結(jié)果精確到1 m)2、如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD.壩頂 AD = 6m,坡長 CD = 8m.坡底 BC=30m,/ ADC =135 .(1)求/ ABC的大??；(2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料？(結(jié)果精確到1 m3)【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】 典型例題例1、海中有一個小島 A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在 A島南偏西55的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西 往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎25的C處，之后，貨輪繼續(xù)例2、如圖，某地為響應(yīng)市政府形象重于生命”的號召，在甲建筑物

26、上從點 A到點E掛一長為30米的宣傳條幅，在乙建筑物的頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為45,測得條幅底端E的俯角為30,求甲、乙兩建筑物的水平距離BC的長.【預(yù)習(xí)反思 比較相關(guān)鏈接中的題目與例題在解決方法上有什么不同【跟蹤練習(xí)】一、基礎(chǔ)練習(xí)1、某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全T能，把傾斜角由原來的40度減至35度，已知原樓梯長為4m,調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結(jié)果精確到0.1m）2、如圖，小明想測量塔 CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為 30。，再往塔的方向前 進(jìn)50m至B處.測得仰角為60.那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計）3、如圖，小山上有一座鐵塔AB,在D處測得點A的仰角為60,點B的仰角為45,在E處測得A的仰角為30,并測得DE=90米，求小山高BC和鐵塔高AB.A4、某省將地處A、B兩地的兩所大學(xué)合并成一所綜合性大學(xué)，為了方便A、B兩地師生來往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距 2千米的A、B兩地之間修筑一條筆直的公路（即圖中線段AB）.經(jīng)測量在A地的北偏東60方向，B地的西北方向的 C處有一個半徑為0.