必修4三角函數(shù)單調(diào)性(教師)

1、3.3三角函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性；正弦、余弦、正切函數(shù)的的單調(diào)性【典型例題】例1(1) 已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則a（）（A）0（B）1（C）1（D）1(1)A 提示：由題意可知，得a=0（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為()A BC D(2)C 提示：令可得（3）定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，則的值為 ( )A. B. C. D. (3)B 提示：（4）如果是奇函數(shù)，則 (4)由（）已知函數(shù)滿足以下三個(gè)條件： 在上是增函數(shù)以為最小正周期是偶函數(shù)試寫出一滿足以上性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)解析式(5)提示：答案不唯一，如還可寫成等例2判斷

2、下列函數(shù)的奇偶性（）； (2 ) ； (3 ) ； (4 ) 解：（1）的定義域?yàn)?，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又為奇函數(shù)（2）時(shí)，而， 的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)。（3）的定義域?yàn)镽，又 為偶函數(shù)。（4） 由得，又 ，故此函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí) 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。例3已知:函數(shù) (1)求它的定義域和值域； (2)判斷它的奇偶性； (3)求它的單調(diào)區(qū)間； （4）判斷它的周期性,若是周期函數(shù),求它的最小正周期.解:(1).由 定義域?yàn)? 值域?yàn)?2).定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)為非奇非偶函數(shù)（3）的遞增區(qū)間為 遞減區(qū)間為(4).是周期函數(shù),最小正周期T.例4已知函數(shù)，

3、求:(I) 函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；(II) 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間解(I)當(dāng),即時(shí), 取得最大值.函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為. (II) 由題意得: 即: 因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【課內(nèi)練習(xí)】1函數(shù)f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是 （）A=2k，kZ B=k，kZ C=2k，kZ D=k，kZ1D 提示： 令可得2在中，若函數(shù)在0，1上為單調(diào)遞減函數(shù)，則下列命題正確的是（A） （B）（C） （D）2C 提示：根據(jù)所以3.同時(shí)具有性質(zhì)“ 最小正周期是； 圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 在上是增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)是( ) A B C D 3D 提示：由

4、性質(zhì)(1)和(2)可排除 A和C ,再求出的增區(qū)間即可4設(shè)函數(shù)，若，則下列不等式必定成立的是 （）A B C D 4B提示：易知，且當(dāng)x時(shí)，為增函數(shù)又由，得，故 |，于是5.判斷下列函數(shù)奇偶性（1）是 ；（2）是 ； （3）f（x）=是 5（1）偶函數(shù)（）非奇非偶函數(shù)（）奇函數(shù)提示：先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷6.若是以5為周期的奇函數(shù)，且，則= 6 -4 提示：五個(gè)函數(shù)中，同時(shí)滿足且的函數(shù)的序號(hào)為7提示：不滿足不滿足8求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1) (2) 解:(1).原函數(shù)變形為令,則只需求的單調(diào)區(qū)間即可.,()上即,()上單調(diào)遞增,在,上即,上單調(diào)遞減

5、故的遞減區(qū)間為:遞增區(qū)間為:. (2)原函數(shù)的增減區(qū)間即是函數(shù)的減增區(qū)間,令由函數(shù)的圖象可知:周期且 在上,即上遞增, 在即在上遞減故所求的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為()已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（） 當(dāng)時(shí)，求的解析式；（） 當(dāng)時(shí)，求的解析式解：（）當(dāng)時(shí)，則，又為奇函數(shù)，所以（） 當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，所以由（）知10已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的值解：由是上的偶函數(shù)，得，即，展開整理得：，對(duì)任意都成立，且，所以又，所以由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得取，得，所以，所以，即；綜上所得，作業(yè)本A組函數(shù)y=xcosx的部分圖象是（）1.D提示：y=xcosx為奇函數(shù)，且當(dāng).2函數(shù)y=2

6、sin（2x）（x0，）為增函數(shù)的區(qū)間是 （ ）A.0，B.， C.， D.，2C提示：由y=2sin（2x）=2sin（2x）其增區(qū)間可由y=2sin（2x）的減區(qū)間得到，即2k+2x2k+，kZ.k+xk+，kZ.令k=0，故選C.若是周期為的奇函數(shù)，則可以是 （ ）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x3B4.已知，則4-17 提示:5已知的一條對(duì)稱軸為軸,且.求= .5提示：由可得已知函數(shù)（1）畫出的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間、最大值、最小值；（2）判斷是否為周期函數(shù).如果是，求出最小正周期.解：（1）實(shí)線即為的圖象.單調(diào)增區(qū)間為2k+，2k+，2k+，2k+2（kZ），單調(diào)

7、減區(qū)間為2k，2k+，2k+，2k+（kZ），f（x）max=1，f（x）min=.（2）f（x）為周期函數(shù)，T=2.7.比較下列各組中兩個(gè)值的大?。海?），；（2），解：（1），又及在內(nèi)是減函數(shù)，可得（2），而在上遞增，8.是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，的圖象是斜率為，在軸上截距為2的直線在相應(yīng)區(qū)間上的部分.（1）求，的值；（2）求的解析式，并作出圖象，寫出其單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)x（，2時(shí)，y=f（x）=x2，又f（x）是偶函數(shù)，f（2）=f（2）=2.又x0，時(shí)，y=f（x）=cosx，f（）=f（）=.（2）y=f（x）=單調(diào)增區(qū)間為，0，2.單調(diào)減區(qū)間為2，0，。 B組1函數(shù)是

8、奇函數(shù)的充要條件是（ ）ABCD1D 提示：由奇函數(shù)的定義可得2函數(shù)y = xcosxsinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) （ ）A.（，） B.（，2） C.（，） D.（2，3）2B 提示：利用導(dǎo)數(shù)判斷3設(shè)是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，則下列四個(gè)不等式中不正確的是（A） （B） （C） （D）3D 提示：取特值，如取4給出下列命題：正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分別為、；若x1x2，則sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（）=0.其中正確命題的序號(hào)是_. 4 提示：正切函數(shù)的對(duì)稱中心是；y=|sinx|、y=|tan

9、x|的周期都是正弦函數(shù)在定義域上不是單調(diào)函數(shù)；5設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則_5 提示 由可得6已知函數(shù)(1) 這個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)?為什么?(2) 求它的單調(diào)增區(qū)間和最大值.解:(1)是以為周期的周期函數(shù).(2) 當(dāng)時(shí),增區(qū)間為,最大值為;當(dāng),增區(qū)間為,最大值為7.設(shè)函數(shù)，圖象的一條對(duì)稱軸是直線(1) 求;(2) 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;(3) 證明直線與函數(shù)的圖象不相切.解:(1)是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸 (2)由(1)知,因此 由題意得 所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為.(3)證明:,所以曲線的切線斜率取值范圍為-2,2,而直線的斜率為,所以直線與函數(shù)的圖象不相切.8已知偶函數(shù)的最小值是0，求的最大值及此時(shí)的集合解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)