必修2輔導-5-直線與直線方程(同步教師版ok)

1、直線與方程課標要求1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直4.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系5.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標6.探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離7.通過學習體驗解析幾何的基本思想本質(zhì)，體會用坐標法研究幾何問題的基本方法直線的傾斜角和斜率知識要點1.直線的傾斜角：當直線與軸相交時，我們?nèi)≥S作為基準，

2、軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當直線與軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為.傾斜角的范圍為.2.直線的斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母表示，即.傾斜角是的直線，斜率不存在.3.經(jīng)過兩點的直線的斜率公式：當時，；當時，斜率不存在.:任何直線都有傾斜角，但不是任何直線都有斜率，傾斜角是的直線的斜率不存在.斜率隨傾斜角的變化規(guī)律：傾斜角=0000<<900=900900<<1800斜率k=0k>0，增大，k增大k不存在k<0，增大，k增大可以用斜率來證明三點共線，即若，則三點共線. 題例方法例1.已知直線l過A(-

3、2,(t+)2)、B(2,(t-)2)兩點，則此直線斜率為 ,傾斜角為 解析：直線的斜率，傾斜角為1350.例2. 如果A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直線上，那么k的值是（ ）。A. -6 B. -7 C. -8 D. -9解析：由kAC=kBC=2得D例3若直線l與兩直線y1，x-y-70分別交于M，N兩點，且MN的中點是P（1，1），則直線l的斜率是（）A B C D解析：由題意，可設直線l的方程為yk（x1）1，分別與y1，xy70聯(lián)立解得M（1，1），N（，）.又因為MN的中點是P（1，1），所以由中點坐標公式得k例4.在下列敘述中： 一條直線的傾斜角為，

4、則它的斜率為k=tan； 若直線斜率k=-1，則它的傾斜角為1350；若A(1，-3)、B(1，3)，則直線AB的傾斜角為90°；若直線過點(1，2)，且它的傾斜角為45°，則這直線必過(3，4)點；若直線斜率為，則這條直線必過(1，1)與(5，4)兩點.所有正確命題的序號是_.解析：錯，對；5. 若過原點O的直線與連結(jié)P(2,2)，Q(6,2)的線段有公共點，求直線的傾斜角和斜率的取值范圍解：，如圖，當直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的過程中，直線的斜率始終為正，且逐漸增大，故直線的斜率的最小值為，直線的斜率的最大值為所以，直線的斜率的取值范圍為，傾斜角的取值范圍為鞏固練習1.若直線

5、l經(jīng)過第二、四象限,則直線l的傾斜角范圍是() A.0°,90° B.90°,180° C.(90°,180°) D.0°,180°)答案：C2若直線的傾斜角為，則（ ）.A. B. C. D.不存在答案：C3.斜率為2的直線經(jīng)過(3，5)、(a,7)、(1,b)三點，則a、b的值是( )A.a=4,b=0 B.a=4,b=3 C.a=4,b=3 D.a=4,b=3答案：C4.已知三點A（3，1）B（2，K）C（8，11）共線，則K的取值為 答案：-95.已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）

6、A B C 或 D 解析：數(shù)形結(jié)合，選C直線的方程知識要點1.直線方程的五種形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式分別是直線在軸上和軸上的非零截距不垂直于軸和軸，不過原點一般式（A、B不同時0）A,B都不為0時，斜率為，在軸上的截距，在軸上的截距為任何直線注意：截距與距離的區(qū)別：截距可為一切實數(shù)，縱截距是直線與軸交點的縱坐標，橫截距是直線與軸交點的橫坐標，而距離是一個非負數(shù).2.距離公式（1）兩點間的距離公式平面上的兩點間的距離.（2）點到直線的距離公式已知點，直線：，則

7、點到直線的距離.（3）兩條平行直線間的距離公式已知兩平行直線：和：，則兩直線和的距離.注：用此公式求解兩平行直線間的距離時，直線方程要化成一般式，并且項的系數(shù)必須對應相等.題例方法例1.根據(jù)條件寫出下列直線方程的一般形式(1)經(jīng)過點B（2,3），傾斜角1350。_。答案：x+y-5=0(2)傾斜角1500，在y軸上的截距是-2。_。答案：(3)經(jīng)過兩點A（2,5），B（4,3）。_。答案：x+y-7=0(4)過點A（4，-3），并且在兩坐標軸上的截距和等于12. _。答案：x-4y-16=0,3x+y-9=0例2若直線yx經(jīng)過第一、二、三象限，則( )Aab0，bc0 Bab0，bc0 Cab

8、0，bc0 Dab0，bc0答案：A例3已知直線的點斜式方程是，則直線必經(jīng)過定點_，若直線傾斜角的傾斜角是，則直線在軸上的截距是_答案： ， 例4. 已知在第一象限，若,，求：(1)邊所在直線的方程； (2)邊和所在直線的方程答案：(1) (2):；:鞏固練習1若直線過點(,3)且傾斜角為30°,則該直線的方程為（ ）Ayx6 B. yx4 C . yx4 D. yx2解析：據(jù)直線的點斜式該直線的方程為y-(-3)=tan300(x-),整理即得C。2.若，則直線不經(jīng)過（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B3.若直線的方程為，則它的截距式方程為_，斜截

9、式方程為_，直線與x軸交與點_，與y軸交與點_答案：,y=6x+3, ,4.在ABC中，已知點A（5，2）、B（7，3），且邊AC的中點M在y軸上，邊BC的中點N在x軸上.（1）求點C的坐標； （2）求直線MN的方程.解：（1）令C(x,y) 則M（x+5)/2, (y-2）/2） N（x+7）/2，（y+3）/2） 因為 M在Y軸上 N在X軸上， 所以（x+5)/2=0 （y+3）/2=0解得：x=-5 y=-3 所以C（-5，-3）（2）令直線MN的函數(shù)解析式為y=kx+b(k不等于0）， 由（1）得：M（0，-5/2） N（1，0）所以b=-5/2且k+b=0 解得：k=5/2，b=-5

10、/2 所以直線MN的方程為y=5/2x-5/2兩條直線位置關(guān)系知識要點1.兩直線位置關(guān)系的判定方法（1）利用斜率判定若直線和分別有斜截式方程：和：，則直線的等價條件為.直線與重合的等價條件為.直線與相交的等價條件為；特別地，的等價條件為.若與斜率都不存在，則與平行或重合.若與中的一條斜率不存在而另一條斜率為0，則與垂直.（2）用直線一般式方程的系數(shù)判定設直線：，：，則直線的等價條件為且。直線與重合的等價條件為且。直線與相交的等價條件為；特別地， 的等價條件為.（3）用兩直線聯(lián)立的方程組的解的個數(shù)判定設直線：，：，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有惟一解，則與相交，此解就是，交點的坐標

11、；若方程組無解，此時與無公共點，則；若方程組有無數(shù)個解，則與重合.5. 直線系問題設直線：和：(1)過與的交點的直線系: （不包括）；(2)與平行的平行線系：(3)與垂直的垂線線系：題例方法例1已知下列命題：（1）直線經(jīng)過點，直線平行于軸，則；（2）已知，則直線與垂直；（3）過點，的直線與過，的直線平行，則；（4）已知直線的斜率為3，過點，且，則. 其中，正確命題的個數(shù)為（ ）. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析：(1)直線的斜率，因為直線平行于軸，直線的斜率，所以， (2)直線AB的斜率，直線CD的斜率，因為， (3)，直線AB與PQ平行,所以，即，所以， (4)由題意得：直線的斜

12、率為3，即，所以，正確.故選D.例2.若直線與直線的交點在第四象限，則的取值范圍是（ ）.AB CD答案：D例3.已知直線的傾斜角為，直線/，且過點A（2，1）和點B（3，a），則a的值為_答案:4例4. 過點P（1，3）且垂直于直線 的直線方程為（ ）A B C D 解析：設2x+y+c=0又過點P（1，3），則2+3+c=0，c=1;即例5求經(jīng)過兩條直線和的交點，且分別與直線(1)平行，(2)垂直的直線方程。解：由，得；與的交點為（1，3）。(1)法1：設與直線平行的直線為 則，c1。所求直線方程為。法2：所求直線的斜率，且經(jīng)過點（1，3），求直線的方程為，即。(2)法1：設與直線垂直的直

13、線為；則，c7。所求直線方程為。法2：所求直線的斜率，且經(jīng)過點（1，3），求直線的方程為，即 。鞏固練習1.過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是 （ ）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0答案：A2.直線、的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（ ）A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直答案：D3經(jīng)過兩直線和直線的交點，且經(jīng)過原點的直線方程是（ ）A. B. C. D.答案：B4.已知點P（-4，2），直線：3x-2y-7=0,求(1)過點P且與平行的直線的方程；(2)過點P且與垂直的直線的方程解：(1)與直線：

14、3x-2y-7=0平行的直線可設為3x-2y+m=0 由直線過點P（-4，2），則m=16;過點P且與平行的直線的方程3x-2y+16=0(2) 與垂直的直線可設為2x+3y+n=0由直線過點P（-4，2），則n=2;過點P且與垂直的直線的方程2x+3y+2=05.已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點。（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長（3）求AB邊的高所在直線方程。解：(1)由兩點式寫方程得 ，即 6x-y+11=0(2)設M的坐標為（），則由中點坐標公式得 故M（1，1） (3)因為直線AB的斜率為kAB=-6 設A

15、B邊的高所在直線的斜率為k, 則有所以AB邊高所在直線方程為;即x 6y+14=0對稱問題知識要點1.中心對稱：點關(guān)于的對稱點為.2.軸對稱：點關(guān)于的對稱點為,則有,求出.題例方法例1.已知直線；(1)求點關(guān)于對稱的點Q；(2)求關(guān)于點（2，3）對稱的直線方程(1)解法一：設，則的中點為，代入直線的方程，得，即 直線的斜率，直線垂直于直線， 聯(lián)立，解得，所以點的坐標為；解法二：過點且與垂直于直線的直線為，聯(lián)立和，解得，故和的交點，所以求點的坐標，只需求點關(guān)于點的對稱點即可，設，則，解得，所以點的坐標為.(2)解法一：在直線：上任取兩點，分別得到它們關(guān)于點的對稱點，故所求直線即為直線 ，由兩點式

16、可得所求直線的方程為；解法二：由題意可知所求直線與已知直線平行，設所求直線為，在直線：上任取一點，得到它關(guān)于點的對稱點為把代入，解得，故所求直線方程為，即；解法三：設為所求直線上任意一點，它關(guān)于點的對稱點為，由題意，點在上，代入有：，化簡得例2.求直線：關(guān)于直線：對稱的直線的方程.解法一：由，解得，所以直線與的交點為，此點也在直線上.在直線：上任取一點，設點關(guān)于直線：的對稱點為，則有，解得，即，直線經(jīng)過和兩點，由直線的兩點式方程，可得所求直線的方程為，即.解法二：設直線上的動點關(guān)于直線：的對稱點為，則有，解得，在直線：上，則有，化簡得即為所求直線的方程.鞏固練習1.直線2x+3y-5=0關(guān)于直

17、線y=x對稱的直線方程為（ ）A.3x+2y-5=0 B.2x-3y-5=0 C.3x+2y+5=0 D.3x-2y-5=0答案：A2.與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(1,-1)對稱的直線是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0答案：D3點關(guān)于直線的對稱點的坐標是 . 答案：4. 直線關(guān)于點對稱的直線的方程是 . 答案：目標測試一、選擇題1.已知直線L的方程為，則L的傾斜角是（ ）A. B. C. D. 答案：B2. 已知過點A(2，m)和B(m，4)的直線與直線平行，則m的值為（）A 8 B 0 C 2 D 10 答案：A3

18、. 直線如圖所示，則的斜率的大小關(guān)系為（ ）A B C D答案：B4. 在同一直角坐標系中，表示直線y=ax與y=x+a正確的是（ ） A B C D答案：C5.如果AC0,BC0,那么直線Ax+By+C=0不通過（ ）A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：化為截距式,由于AC0,BC0知直線在x,y軸上的截距都是正值，結(jié)合圖形知選C6.已知點A(1，2)和B(3，1)，則線段AB的垂直平分線的方程是（ ）A B C D 答案：B7若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，斜率分別為，則下列命題（1）若，則斜率； （2）若斜率，則；（3）若，則傾斜角； （4）若傾斜角，則；其

19、中正確命題的個數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：C8.兩條直線和的位置關(guān)系是( )A.平行 B.相交 C.重合 D.與有關(guān) 解析：第一條直線的斜率為k1=-，第二條直線的斜率為k2=>0所以k1k2.選B9.若yax的圖象與直線yxa（a0）有兩個不同交點，則a的取值范圍是（）A0a1Ba1 Ca0且a1Da1解析：數(shù)形結(jié)合，要使yax的圖象與直線yxa（a0）有兩個不同的交點，則a1.選B10. 直線x2y10關(guān)于直線x1對稱的直線方程是（）Ax2y10B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：直線x2y10與x1的交點為A（1，1），點（1，0）關(guān)于x1的對稱點

20、為B（3，0）也在所求直線上，所求直線方程為y1（x1），即x2y30?；蛩笾本€與直線x2y10的斜率互為相反數(shù)，k亦可得解.11.若點，是關(guān)于直線對稱的兩點，則直線的方程為（ ）.A B C D答案：D12到直線2x+y+1=0的距離為的點的集合是( )A.直線2x+y2=0 B.直線2x+y=0C.直線2x+y=0或直線2x+y2=0 D.直線2x+y=0或直線2x+2y+2=0解析：設此點坐標為（x,y）,則=，整理即得。選D二、填空題13.不論為何實數(shù)，直線都通過一定點，此定點坐標是_. 答案：14直線方程為(3a2)xy8=0, 若直線不過第二象限，則a的取值范圍是 。解析：直線在

21、y軸上的截距為-8，直線不過第二象限，畫圖可知，直線的斜率為正或0，即-（3a2）0，所以a。15. 過點的直線的與線段相交，若，的斜率的取值范圍是_.答案： 16.已知經(jīng)過點和點的直線與經(jīng)過點和點的直線互相垂直，則實數(shù)= . 答案：0三、解答題17在ABC中，BC邊上的高所在直線方程為：x2y+1=0，A的平分線所在直線方程為：y=0，若點B的坐標為（1，2），求點A和C的坐標.解：由 A（1，0） ，又KAB=，x軸為A的平分線，故KAC=1，AC：y=(x+1) ，BC邊上的高的方程為：x2y+1=0 ，KBC=2 BC：y2=2（x1），即：2x+y4=0 ，由 ，解得C（5，6）。18求點關(guān)于直線：的對稱點的坐標.解：設，則的中點為，代入直線的方程，得 直線的斜率， 聯(lián)立，解得，所以點的坐標為.19.