近三年高考全國卷理科立體幾何真題

1、新課標(biāo)卷1、(2016年全國I高考)如圖，在以A,B,C, D, E, F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,AFD90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60o-DC(I)證明：平面ABEF平面EFDC;/(II)求二面角E-BC-A的余弦化尸乙二二2、(2016年全國II高考)如圖，菱形ABCD的A5對角線AC與BD父于點(diǎn)O,AB5,AC6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AECF-,4EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF位置，OD而.(I)證明：DH平面ABCD;(II)求二面角BDAC的正弦值.3【2015高考新課標(biāo)1,理18】如圖，四邊形ABC

2、D為菱形，/ABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BEX平面ABCD,DFL平面ABCD,BE=2DF,AEXEC.(I)證明：平面AECL平面AFC;(n)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.4、2014新課標(biāo)全國卷H如圖1-3,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PAX平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明：PB/平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=，3,求三棱錐E-ACD的體積.圖1-35、2014新課標(biāo)全國卷I如圖1-5,三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，ABXBiC.圖1-5(1)證明：AC=A

3、Bi；(2)若ACLABi,/CBBi=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.6、(2017?新課標(biāo)n)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1K一AD,/BAD=/ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).(I)證明：直線CEII平面PAB;(n)點(diǎn)M在,梭PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角MABD的余弦值.7、(2017?新課標(biāo)出)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，/ABD=/CBD,AB=BD.(I)證明：平面ACD，平面ABC;(n)過AC的平面交BD于點(diǎn)

4、E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值.8、(2017?新課標(biāo)I卷)如圖，在四棱錐(1); ABEF為正方形AF EF AFD 90 AF DF DF I EF=FAF 面 EFDCAF 面 ABEFPABCD中，AB/CD,且/BAP=/CDP=90°.（12分）證明：平面PAB，平面PAD;若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,求二面角APBC的余弦值.1【解析】平面ABEF平面EFDC由知DFECEF60ABIIEFAB平面EFDCEF平面EFDCABII平面ABCDAB平面ABCD.面ABCDI面EFDCCDABIICD

5、CDIIEF.四邊形EFDC為等腰梯形以E為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系,FDuuruurBCEB0,2a,02a,uuuAB2a,0,0設(shè)面BEC法向量為urmx,y，zuruur2amEB0auruurmBC0即22ay3aa2zi設(shè)面ABC法向量為X2y2,Z2rnrnuurBC=0uurAB0.即a2X22aX22ay2X20,y2v-3,Z2cos設(shè)二面角EBCA的大小為ITmurmrnTn162.1919而角EBCA的余弦值為21919一5AECF52【解析】證明：:4,AEADCFCD.EF/AC.四邊形ABCD為菱形，ACBDEFBDDH，:EF-AO3.又ABAOOB-OB4OHAE

6、AOODDH-OD|2|OH|2lD'H|2-D'H)一EF.D'H面ABCD建立如圖坐標(biāo)系HxyzuuuAB0C1,3,uuur3,0AD'0D'0,1,3,33uuuACA1,3,0ir設(shè)面ABD法向量n1in unrn1AB 0 4x in uuiu由n AD 0得 x3y3y03z同理可得面AD'C的法向量0in%urni3,4, 5cosnr uu ni n2 都9 57 5521025sin2 95253,咯案】見解析33【解析】試題分析工(1)連接37設(shè)31小孰連接三&FG,33在菱形.齒U3中：不妨設(shè)M=L易證工GLM,通

7、過計(jì)篁可證EGLFG根據(jù)線面垂直判定定理可知工平面.下口由面面垂直判定定理知平面上平面上一(II)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以3瓦前的方向力k軸，；軸正方向，GE力單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系G利用向量法可求出異面直線.二與UF所成角的余底值，if試題解析*<I)連接為，設(shè)即,/0摻連接EG在井工38中,不妨設(shè)&3-1,由/二火可得：G=GO有由351平面上5匕/三=3(?可知/三=工匕又AELEC,aEG=x3,EGLAC,在RtzXEBG中，可得BE=V2,故DF=型.2在RtAFDG中，可得FG= 6 .2在直角梯形BDFE中,由 BD=2,DF=q可得,當(dāng)EG2FG2EF2,E

8、EGXFG,.ACnFG=G,EG，平面AFC,.EG面AEC,.平面AFC,平面AEC.uuu uuruuu(II)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以GB,GC的方向?yàn)閤軸，y軸正方向，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系 G-xyz,由(I)可得A (0, -3,0), E(1,0, 72),2uuurF (- 1,0,味，C (0,。3, 0) ,AE= (1-uum、3, V2) , CF= (-1, -V3,).10分2uur uuur 故 cos AE,CFuuur uuurAE ?CF3uuur uiur|AE|CF|3所以直線AE與CF所成的角的余弦值為 夸.12分4,解：(1)證

9、明：連接BD交AC于點(diǎn)O,連接 因?yàn)锳BCD為矩形，所以。為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn)，所以EO/PB.EO.因?yàn)镋O?平面AEC, PB?平面AEC,所以PB/平面AEC. (2)因?yàn)镕AL平面ABCD, ABCD為矩形，所以AB, AD, AP兩兩垂直. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系0及1U, 2 ， 2 .設(shè) B(m, 0, 0)(m>0),則 C(mAD, AP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，|AP|A-xyz,則 D(0, V3, 0), E 0,g P AE =弧 0), AC=(m,品 0).設(shè)ni = (x, y, z)為平面ACE的法向量

10、,AC=0, 即Al=0mx+ V3y=0,31 n2 y+gz= 0,可取ni =又 n2=(1,由題設(shè)易知m，0,-10)為平面DAE的法向量, 1 口|cos <n1, n2> |=2,即3+4m2 = 2,解得 m3 =2.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為;三棱錐E-ACD的體積V=232義,3X2X|=-83.5解：(1)證明：連接BC1,交B1C于點(diǎn)O,連接AO,因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1CXBC1,且。為B1C及BC1的中點(diǎn).又ABLBiC,所以BiC，平面ABO.由于AO?平面ABO,故BiCXAO.又BiO=CO,故AC=ABi.(2)因?yàn)?/p>

11、ACLABi,且。為BiC的中點(diǎn)，所以AO=CO.又因?yàn)锳B=BC,所以ABOA/XBOC.故OALOB,從而OA,OB,OBi兩兩垂以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)?CBBi=60°,所以CBBi為等邊三角形，又AB=BC,則A0,0,當(dāng)3,B(1, 0, 0), Bi 0* 0 , c 0,號,0 .AB1=0,卓當(dāng)，AB-AB：i,0,一乎,/3BC=BC=-i,三，0.設(shè)n=(x,y,z)是平面AAiBi的法向量，則n ABi = 0n AiBi= 03y3zu，即所以可取n=(i,V3,J3)x£

12、;=0.3設(shè)m是平面AiBiCi的法向量,m AiBi = 0同理可取m = (i, -V3,也).mBiCi=0|n|m|7.i所以結(jié)合圖形知二面角A-AiBi-Ci的余弦值為6、【答案】(I)證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn),11111所以EF"二AD,AB=BC=2AD,/BAD=/ABC=90,.BCIIAAD,BCEF是平行四邊形，可得CE/BF,BF?平面PAB,CF?平面PAB,直線CE/平面PAB;(II)解：四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=-AD,/BAD=/ABC=90,E是PD的中點(diǎn).取AD的中

13、點(diǎn)O,M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2,則AB=BC=i,OP=./PCO=60,直線BM與底面ABCD所成角為45°,二面角M AB D的余弦值為：可得：BN=MN,CN=MMN,可得：1+BN2=BN2,BN=作NQXAB于Q,連接MQ,所以/MQN就是二面角MAB叵=刀-一，BC=1,MN=,-D的平面角，MQ=P+()K叵丁=5. ./BOD=9 0 .又 DOH AC=O ,(n)解：設(shè)點(diǎn)平面 ACD，平面 ABC .姓DEhE ,則還=以百.7、【答案】（I）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O,連接BO,OD.,ABC是等邊三角形，.OB±AC.ABD

14、與ACBD中，AB=BD=BC,/ABD=/CBD,.AABDACBD,AD=CD.ACD是直角三角形，1.AC是斜邊，./ADC=90.DO=AC.do2+bo2=ab2=bd2OB±OD.OB,平面ACD.又OB?平面ABC,D,B到平面ACE的距離分別為hD平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,*£依如秘至"=卜正=詬=1.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2.則 O (0, 0,0) , A (1, 0, 0) , C (1, 0, 0) , D (0, 0, 1) , B (0,0) , E0,1),AE=設(shè)平面ADE

15、的法向量為刑=(x,y,z)，則俯五5=o匕聲NS=o,即=同理可得：平面ACE的法向量為另=（0.cos ,.*；：=/布=£二面角D-AE-C的余弦值為7. AB XPD,8、【答案】（1）證明：,/BAP=/CDP=90°,PA±AB,PD±CD,.ABIICD,又PAIPD=P,且PA?平面PAD,PD?平面PAD,AB，平面PAD,又AB?平面PAB,平面PAB，平面PAD;PAD , AB（2）解：:ABIICD,AB=CD，:四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB，平LAD,則四邊形ABCD為矩形，在AAPD中，由PA=PD,/APD=90,可得PAD為等腰直角三角形，設(shè)PA=AB=2a,則AD=取AD中點(diǎn)O,BC中點(diǎn)E,連接PO、OE,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、v、z軸建立空間直角坐標(biāo)