正余弦定理及解三角形整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正余弦定理考點(diǎn)梳理：1. 直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理） A（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°； c（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） b sinAcosB，cosAsinB，tanA。 C B2. 2斜三角形中各元素間的關(guān)系： a如圖6-29，在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：ABC_（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。 。（R為外接圓半徑）3. 正弦定理：2R的常

2、見變形：(1) sin Asin Bsin Cabc；(2) 2R；(3) a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(4) sin A，sin B，sin C.4. 三角形面積公式：Sabsin Cbcsin Acasin B.5. 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 余弦定理的公式： 或.6. （1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角. （2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角. 2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.7. 判

3、定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.8. 解題中利用中，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運(yùn)算， 如： .9. 解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。（1）角與角關(guān)系：A+B+C = ；（2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）邊與角關(guān)系：大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。習(xí)題整理：一 直接應(yīng)用，解三角形：1. 在中，已知，解三角形。A=60/120°2.在中，已知求的周長(zhǎng)。a=2/43.AB

4、C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，已知B=2A,a=1,b=,則c=_.24.在ABC中，若A60°，a，則_. 24.在ABC中，若A60°,b=1,則_. （）5.(2010·北京)在ABC中，若b1，c，C，則a_.16.在ABC中，a15，b10，A60°，則cos B_.7.ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，已知c3，C，a2b，則b的值為_.8. （2012年高考（重慶文）設(shè)的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為,且,則_9.在中,若,則的形狀是（）cA鈍角三角形.B直角三角形.C銳角三角形.D不能確定.10.在ABC中,A

5、C= ,BC=2,B =60°,則BC邊上的高等于（）ABCD11.在中,若,則（）ABCD12.在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)分別為a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,則b=_13.在中,已知,則_.14. 【2015高考廣東，文5】設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，若，且，則（ ）A B C D【答案】B15. 【2015高考福建，文14】若中，則_【答案】16. 【2015高考重慶，文13】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為,且,則c=_.【答案】417. （2016年全國(guó)I卷高考）ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知，則b=（A）（B）（C）2（D）3【答案】D1

6、8、（2016年全國(guó)II卷高考）ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，a=1，則b=_.【答案】19. 在中，若，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為 【答案】B20. 中，角所對(duì)的邊分別為若，則邊（ ）A1 B2 C4 D6【答案】C二 變形應(yīng)用：1. 在中，則角A等于_.1202.（教材）已知三角形的三邊滿足條件，求角A. 603.【2014年高考江西】在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，則的面積為（ ）A B C D【答案】C4.在中，三內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且，為的面積，則的最大值為（ ）（A）1 （B） （C） （D）【答案】C【解析】，設(shè)外接圓的半徑為，則，故的最大值為故選C

7、5.在中，角的對(duì)邊分別為，且若的面積為，則的最小值為（ ）A24 B12 C6 D4【答案】D6.已知a,b,c是的邊長(zhǎng)，滿足，求C的大小。120三邊角互化問題：1.在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且=則A B C D 【答案】C2.已知ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosB+bcosA=3ccosC，則cosC=3.,試判斷三角形的形狀。等腰或直角。4. 在中，_.15. （2013,遼寧）在，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 （ ）AA B C D 6. （2011）（4）ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin AsinB+bcosA=則 （ ）D(A) (B)

8、(C) (D)7在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;60°(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.8. 在中，,求cosA=?9.ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;（）(2)若a=3,ABC的面積為,求b,c. (2,3)(3,2)10. 的周長(zhǎng)為，且(1) 求邊長(zhǎng)a的值. 4(2) 若,求COSA的值。 （）11.（2016年天津高考）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，已知.()求B；()若，求sinC的值.解析：（）解：在中，由

9、，可得，又由得，所以，得；（）解：由得，則，所以12.（2016年四川高考）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且。（I）證明：sinAsinB=sinC；（II）若，求tanB。解析：（）根據(jù)正弦定理，可設(shè) 則a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.代入中，有，可變形得sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).在ABC中，由A+B+C=，有sin (A+B)=sin (C)=sin C，所以sin A sin B=sin C.（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有.所以sin A=.由（），sin Asin B=sin Acos

10、B +cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B=4.四綜合應(yīng)用：1.【2015高考陜西，文17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量與平行.(I)求；(II)若求的面積.(I)因?yàn)椋杂烧叶ɡ恚?，又，從而，由于所?II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因?yàn)?，所以，故面積為.2.【2015高考天津，文16】（本小題滿分13分）ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為, （I）求a和sinC的值;（II）求 的值.試題解析:（I）ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ,可得a=8.由 ,得.（II）,3.【2015高考新課標(biāo)1，文17】（本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，.（I）若，求 （II）若，且 求的面積.試題解析：（I）由題設(shè)及正弦定理可