二維正態(tài)分布及二維均勻分布（課堂PPT）

1、 第四章 第五節(jié)二維正態(tài)分布及二維均勻分布二、二維均勻分布二、二維均勻分布一、二維正態(tài)分布一、二維正態(tài)分布2一、二維正態(tài)分布一、二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(, )X Y2122211211()( , )exp2(1)21xf x y 21222122()()()2xyy 其中 為常數(shù)，1211, 則稱 服從二維正態(tài)分布，(, )X Y記為221122(, ) (,;,; )X YN 120,0,| 1,且3定理：若 ，則：221122(, ) (,;,; )X YN （1）221122(,),(,);XNYN （2）221122(),(),( ),( ),E XD XE

2、YD Y12(, ),;XYCov X Y （3）X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件是0.4例1 已知22(1,3 ),(0,4 ),XNYN且1.2XY 設(shè)11,32ZXY求：( ),E Z.XZ( ),D Z解：()1,E X 由已知，()9,D X ( )0,E Y ( )16D Y (, )Cov X Y()( )XYD XD Y13 462 則( )E Z11()( )32E XE Y13( )D Z11112,3232DXDYCovXY51111()( )2(, )9432D XD YCov X Y3(, )Cov X Z11,32Cov XXY11(,)(, )32Cov X XCo

3、v X Y11()(, )32D XCov X Y0( )D Z11112,3232DXDYCovXY0.XZ所以6例2 設(shè)隨機(jī)變量 服從二維正態(tài)分布(, )X Y2221( , )2xyf x ye求隨機(jī)變量 的概率密度。221()3ZXY解： 當(dāng) 時(shí)，0z Z 的分布函數(shù) ；( )0ZFz 當(dāng) 時(shí)，0z ( )ZFz221()3PXYz2222132()12xyxyzedxdy22230012rzderdr321ze 7( )ZFz對 z 求導(dǎo)，得 Z 的概率密度函數(shù)320,0( )3,02Zzzfzez即320,0( )1,0ZzzFzez8二、二維均勻分布二、二維均勻分布設(shè) D 是平面

4、上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為 A 。若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(, )X Y1,( , )( , )0 ,( , )x yDf x yAx yD則稱 在區(qū)域 D 上服從二維均勻分布。(, )X Y例如，矩形區(qū)域上的均勻分布，其概率密度函數(shù)為1,()()( , )0,axb cydba dcf x y其它9例3 設(shè)二維隨機(jī)變量 在圓域 上服從(, )X Y222xyr二維均勻分布，（2）問 X 與 Y 是否相互獨(dú)立。（1）求 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ；XY解：(, )X Y的聯(lián)合密度函數(shù)為22221,( , )0,xyrf x yr其它下面求 X , Y 的邊緣概率密度函數(shù)。 10當(dāng) 時(shí)，|xr( )Xfx222221rxrxdyr2222rxr當(dāng) 時(shí)，|xr( )Xfx0故2222, |( )0,|Xrxxrfxrxr同理2222, |( )0,|Yryyrfyryr11由于( , )( )( ),XYf x yfx fy所以 X 與 Y 不相互獨(dú)立。又()E X2222rrx rx dxr0( )E Y2222rry ry dyr0()E