與直線和圓有關(guān)的最值問題理

1、圓錐曲線專題突破一：與直線和圓有關(guān)的最值問題典例剖析I題型一有關(guān)定直線、定圓的最值問題例1已知x,y滿足x+2y-5=0,貝U(x1)2+(y-1)2的最小值為.破題切入點直接用幾何意義一一距離的平方來解決，另外還可以將x+2y-5=0改寫成x=5-2y,利用二次函數(shù)法來解決.解析方法一(x1)2+(y1)2表示點P(x,y)到點Q1,1)的距離的平方.由已知可知點P在直線l:x+2y-5=0上，所以PQ的最小值為點Q到直線l的距離，即d=n+：12可-=，所以(x1)2+(y1)2的最小值為d2=£.寸+225，5方法二由x+2y-5=0,得x=5-2y,代入(x1)2+(y1)2

2、并整理可得(52y-1)2+(y-1)2=4(y-2)2+(y-1)2=5y2-18y+17=5(y-項)2+4,所以可得最小值為4.555題型二有關(guān)動點、動直線、動圓的最值問題例2直線l過點P(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A、B兩點.當O/VOB最小時，O為坐標原點，求l的方程.破題切入點設(shè)出直線方程，將OA+OB表示出來，利用基本不等式求最值.解依題意，l的斜率存在，且斜率為負，設(shè)直線l的斜率為k,貝Uy4=k(x-1)(k<0).4令y=0,可得A(1-r,0);令x=0,可得巳0,4k).,.4(k+k)=5+(-k+當>5+4=9.-kk4.O礙O序(1-

3、)+(4k)=5-kl的方程為2x+y6=0.4-所以，當且僅當一k=r且k<0,即k=2時，O礙OB取最小值.這時k題型三綜合性問題圓中有關(guān)元素的最值問題例3由直線y=x+2上的點P向圓C:(x-4)2+(y+2)2=1引切線PT(T為切點)，當PT的長最小時，點P的坐標是破題切入點將PT的長表示出來，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化.解析根據(jù)切線段長、圓的半徑和圓心到點P的距離的關(guān)系，可知PAPC-1，故PT最小時，即PC最小，此時PCy=x+2,垂直于直線y=x+2,則直線PC的方程為y+2=(x4),即y=x+2,聯(lián)立方程解得點P的坐標y=x+2,為(0,2).(2)與其他知識相結(jié)合的范

4、圍問題例4已知直線x+yk=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,O是坐標原點，且有|O薄OB>g3AE|,那么3k的取值范圍是.破題切入點結(jié)合圖形分類討論.解析QA,B三點為等腰三角形的三個頂點，其中O任QBZAQB120°,從而圓心。到,又直線與圓x2+y2=4存在兩交點,直線x+y-k=0（k>0）的距離為1,此時k=寸2;當k寸時，|0商0日>親|屆3故k<2季，綜上，k的取值范圍是寸2,2騫）.【總結(jié)提高】（1）主要類型： 圓外一點與圓上任一點間距離的最值. 直線與圓相離，圓上的點到直線的距離的最值. 過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的

5、弦長的最值. 直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線段長的最小值問題. 兩圓相離，兩圓上點的距離的最值._,.,.一，.ax+by,已知圓上的動點Qx,y）,求與點Q的坐標有關(guān)的式子的最值，如求ax+by,六軍或等的最值'轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.解題思路：數(shù)形結(jié)合法：一般結(jié)合待求距離或式子的幾何意義，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的位置關(guān)系求解.函數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.（3）注意事項： 準確理解待求量的幾何意義，準確轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的相應(yīng)的位置關(guān)系；涉及切線段長的最值時，要注意切線，圓心與切點的連線及圓心與切線段另一端點的連線組成一個直角三角

6、形.精題狂練1.假設(shè)動點A,B分別在直線li：x+y-7=0和l2：x+y5=0上移動，則AB0勺中點M到原點的距離的最小值為解析依題意知，AB的中點M的集合是與直線l1：x+y-7=0和I2：x+y-5=0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.設(shè)點M所在直線的方程為l:x+y+昨0,根據(jù)平行線間的距離公式得皿牛彌=2|g5|匝？|時7|=|時5|?g6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點到直線的距離公式,得M到原點的距離的最小值為=3寸2.2. 2已知點M是直線3x+4y2=0上的動點，點N為圓（x+1）2+（y+1）2=1上的動點，貝UMN勺最小值是.|342|9解析圓

7、心（一1,1）到點M的距離的最小值為點（1,1）到直線的距離d=-,故點N到點M的距離554的取小值為d-1=5.已知P是直線l:3x-4y+11=0上的動點，PAPB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACES積的最小值是.答案寸3解析如下列圖，圓的標準方程為(x1)2+(y1)2=1,圓心為C(1,1)，半徑為r=1.根據(jù)對稱性可知四邊形PAC痢積等于2Sap-2X：PAr=PA故PA最小時，四邊形PACE勺面積最小，由于PkPC1,故PC最小時，PA最小，此時，直線CP垂直于直線l:3x4y+11=0,的距離d=|34+11|3T7=105f所以pa=pC

8、1=瞻一1=寸3.故四邊形PACE®積的最小值為'3.故PC的最小值為圓心C到直線l：3x4y+11=0O為坐標原點，當AOB勺面積取最(2013江西改編)過點(寸，0)引直線l與曲線y=.1x2相交于AB兩點,大值時，直線i的斜率為.答案一Y33解析S*嚀扣OBsinZAOB=：sinZAO匡2.2當/AO序5時，Seb面積最大.此時O到AB的距離d=%設(shè)AB方程為y=k(x一寸2)(k<0)，即kxy一寸2kd=|=乎，得k=一急.過點P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域(x,y)|x2+y2<4分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為.答案x+v2

9、=0解析由題意知，當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合條件.圓心O與P點連線的斜率k=1,所以直線OP垂直于x+y-2=0.y>0,26.已知Q=x,yr2，直線y=m2m和曲線y=寸4x?有兩個不同的交點，它們圍成的平面區(qū)y<4-x，一，,、丸一2、，.一.,域為M向區(qū)域Q上隨機投一點A,點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M),假設(shè)P(M£，1,則實數(shù)m的取值范圍2兀是.答案0,1解析畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(一2,0),圓是上半圓,直線過(一2,0),(0,2)時，向區(qū)域Q上隨機投一點A點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為RM,_兀一2此時RM)=,2兀當直線與x軸重合時，

10、P(M)=1,故直線的斜率范圍是0,1.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+寸一8x+15=0,假設(shè)直線y=kx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，貝Uk的最大值是解析可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y=kx2的距離不大于2.圓C的標準方程為(x4)2+y2=1,圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kxV2=0的距離應(yīng)不大于2,|4k2|即*2<2.1一24整理，得3k2-4kv0,解得0Vk<-.3故k的最大值是4.3直線l過點(0,-4)，從直線l上的一點P作圓C:x2+寸2y=0的切線PAPE(A,B為切點)，假設(shè)四邊形PACB面積的最小值為2,

11、則直線l的斜率k為.答案±2解析易知圓的半徑為1,因為四邊形PACB勺最小面積是2,此時切線段長為2,圓心(0,1)到直線y=kx-4的距離為5g,即J2=J5,解得k=±2.7. 沖寸1+kY假設(shè)直線ax+by=1過點A(b,a),則以坐標原點O為圓心，OM為半徑的圓的面積的最小值是.答案兀解析,直線ax+by=1過點A(b,a),1.ab+ab=1.ab=2.又O任，a2+b2,.以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓的面積為S=兀,oA=(a2+b2)兀a2ab兀=兀，.面積的最小值為兀.10.與直線xy4=0和圓A:x2+y2+2x2y=0都相切的半徑最小的圓C的方程是答案(x

12、1)2+(y+1)2=2解析易知所求圓C的圓心在直線y=一x上，故設(shè)其坐標為C(c,c),又其直徑為圓A的圓心A-1,1)到直線xy4=0的距離減去圓A的半徑，即2r=金-也=2例r=保即圓心C到直線xy-4=0的距離等于<2,故有|J.2=也?c=3或c=1,結(jié)合圖形當C=3時圓C在直線xy4=0下方，不符合題意，故所求圓的方程為(X1)+(y+1)=2.11. 已知點Rx,y)是圓(x+2)2+y2=1上任意一點.求點P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；(2)求y2的最大值和最小值.x1一一、一|3X2+4X0+12|6解(1)圓心C(2,0)到直線3x+4y+12=

13、0的距離為d=寸開矛1=5,-,611所以點P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=-+1=,55最小值為dr=-1=-.55,c、ny2(2)設(shè)k=x-1則直線kxy-k+2=0與圓(x+2)2+y2=1有公共點,|3k+21,3-J3,kVl*'4,3+皿13娘kmax=,kmin=.44即g的最大值為哼3最小值為攵4也(2014-蘇州模擬)已知圓M的方程為x2+寸2x2y-6=0,以坐標原點。為圓心的圓。與圓M相切.求圓。的方程；圓。與x軸交于E,F兩點，圓。內(nèi)的動點D使得DEDODF成等比數(shù)列，求DbDF勺取值范圍.解(1)圓M的方程可整理為(x1)2+(y1)2=8,故圓心M(1,1)，半徑R=2寸2.圓。的圓心為O(0,0)，因為M&牌<2寸2,所以點O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M設(shè)圓O的半徑為r,因為圓O內(nèi)切于圓M所以M&Rr，即吏=2也一r,解得r=吏.所以圓O的方程為x2+y2=2.不妨設(shè)E(m,0),F(n,0)，且n<n.故E(-