數(shù)學(xué)蘇教版選修21作業(yè)262 求曲線的方程

1、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果M是線段F1P的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是_解析：由圖知PF1PF22a.連結(jié)MO，則F1MMOa(a>F1O)故M的軌跡是以F1、O為焦點(diǎn)的橢圓答案：橢圓已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到A(2，0)的距離等于它到直線x1的距離的2倍，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)解析：設(shè)M(x，y)，由題意，得2|x1|.化簡(jiǎn)，得3x212xy20.答案：y23x212x已知?jiǎng)訏佄锞€以y軸為準(zhǔn)線，且過(guò)點(diǎn)(1，0)，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)解析：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，因動(dòng)拋物線以y軸為準(zhǔn)線，且過(guò)點(diǎn)(1，0)，根據(jù)拋物線的定義得：1(x0)，即(x1)2y21(x0)答案：(

2、x1)2y21(x0)設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，則C的圓心軌跡為_(kāi)解析：設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y0的距離為r.由兩圓外切可得，圓心C到點(diǎn)(0，3)的距離為r1，也就是說(shuō)，圓心C到點(diǎn)(0，3)的距離比到直線y0的距離大1，故點(diǎn)C到點(diǎn)(0，3)的距離和它到直線y1的距離相等，符合拋物線的特征，故點(diǎn)C的軌跡為拋物線答案：拋物線設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x1上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為直角邊，點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰RtOPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是_解析：設(shè)Q(x，y)，P(1，y0)，由·0知y0yx.又由OQOP，得，即x2y21y.由消去y0，得點(diǎn)Q的軌跡方程為y1或y1.故

3、動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是兩條平行線答案：兩條平行線在平面直角坐標(biāo)系中，A為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，B(2，0)，若·|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是_解析：設(shè)A(x，y)，則(x，y)，(x2，y)，因?yàn)?#183;|，所以x(x2)y22，即(x1)2y23，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是圓答案：圓長(zhǎng)度為1的線段AB在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P(0，1)與點(diǎn)A連結(jié)成直線PA，點(diǎn)Q(1，2)與點(diǎn)B連結(jié)成直線QB，則直線PA與QB交點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)解析：如圖所示，設(shè)直線PA與QB的交點(diǎn)為M(x，y)再設(shè)A(a，0)(a0)，則B(a1，0)由截距式得直線PA的方程為1，即xaya.由兩點(diǎn)式得直線QB的方程為，即2xay2

4、a20.故點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程組的解，消去參數(shù)a得(2x)y2，故點(diǎn)M的軌跡方程為(2x)y2.答案：(2x)y2曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(1，0)和F2(1，0)的距離的積等于常數(shù)a2(a1)的點(diǎn)的軌跡給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_解析：設(shè)曲線C上任一點(diǎn)P(x，y)，由PF1·PF2a2，可得 ·a2(a1)，將原點(diǎn)(0，0)代入等式不成立，故不正確點(diǎn)P(x，y)在曲線C上，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(x，y)，將P代入曲線C的方程等式成立，故正確設(shè)F1PF2，則SF1P

5、F2PF1·PF2·sin a2sin a2，故正確答案：ABC的頂點(diǎn)A固定，點(diǎn)A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)是2a，邊BC上的高的長(zhǎng)是b，邊BC沿一條定直線移動(dòng)，求ABC外心的軌跡方程解：如圖所示，以BC所在的定直線為x軸，以過(guò)A點(diǎn)與x軸垂直的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，b)設(shè)ABC的外心為M(x，y)，作MNBC于N，則MN是BC的垂直平分線BC2a，BNa，MN|y|.又M是ABC的外心，MAMB.而MA，MB ， .化簡(jiǎn)，得所求軌跡方程為x22byb2a20.如圖，從雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q引直線xy2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程解：設(shè)P點(diǎn)坐

6、標(biāo)為(x，y)，雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn)，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2xx0，2yy0)又點(diǎn)N在直線xy2上，所以2xx02yy02，即x0y02x2y2.又QNl，kQN1，即x0y0xy.由，得x0(3xy2)，y0(x3y2)又因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，所以(3xy2)2(x3y2)21.化簡(jiǎn)，得(x)2(y)2.所以線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為(x)2(y)2.能力提升設(shè)向量i，j為平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量a(x3)iyj，b(x3)iyj，且|a|b|2，則滿足上述條件的點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程是_解析：因?yàn)閨a|b|2，所以2，其幾

7、何意義是動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(3，0)，(3，0)的距離之差為2，由雙曲線定義可知點(diǎn)P(x，y)的軌跡是以點(diǎn)(3，0)和(3，0)為焦點(diǎn)，且2a2的雙曲線的一支，由c3，a1，解得b2c2a28，故點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程是x21(x>0)或(x1)答案：x21(x>0)或(x1)如圖， 半徑為1的圓C過(guò)原點(diǎn)，Q為圓C與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，OQRP為平行四邊形，其中RP為圓C在x軸上方的一條切線，當(dāng)圓心C運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)R的軌跡方程為_(kāi)解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x0，y0)(x00)，則點(diǎn)Q、P的坐標(biāo)分別為(2x0，0) 、(x0，y01)，得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，因?yàn)镺QRP為平

8、行四邊形，PQ的中點(diǎn)M也是OR的中點(diǎn)，所以可得R點(diǎn)坐標(biāo)為(3x0，y01)，令R點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則即，又xy1，代入得(y1)21，故點(diǎn)R的軌跡方程為(y1)21(x0，x2)答案：(y1)21(x0，x2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足AB2，點(diǎn)P在線段AB上，且t(t是不為零的常數(shù))設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為C.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C；(2)若t2，點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(，3)，求QMN的面積S的最大值解：(1)設(shè)A(a，0)，B(0，b)，P(x，y)，因?yàn)閠，即(xa，y)t(x，by)，所以，則，由題意知t>0，因?yàn)锳B

9、2，a2b24，即(1t)2x2()2y24，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：1.(2)t2時(shí)，軌跡方程C為y21，設(shè)M(x1，y1)，則N(x1，y1)，MN2，設(shè)直線MN的方程為：yx(x10)，點(diǎn)Q到直線MN的距離為：d，所以SMNQ×2×，又1，所以9x4.所以S49x1y1，而12··，所以9x1y14，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1y1時(shí)，取等號(hào)所以SMNQ的面積最大值為2.(創(chuàng)新題)已知點(diǎn)M(4，0)，N(1，0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足·6|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)N的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，若·，求直線l的斜率的取值范圍解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則(x4，y)，(3，0)，(1x，y)由已知得3(x4)6，化簡(jiǎn)得3x24y212，即1.所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.(2)由題意知，直線l的斜率必存在，不妨設(shè)過(guò)N的直線l的方程為yk(x1)，設(shè)