線性代數(shù)試題(卷)與答案解析詳解說課講解

1、線 性 代 數(shù) 試 題 （ 卷 ） 與答案解析詳解線性代數(shù)A試題（A卷）試卷類別：閉卷考試時間：120分鐘考試科目：線性代數(shù)考試時間：學號:姓名：題號一一一二二三三四五六七總分得分閱卷人一.單項選擇題(每小題3分，共30分)1 設A經(jīng)過初等行變換變?yōu)锽，則()(下面的r(A),r(B)分別表示矩陣代B的秩)。(A) r(A) r(B) ；(B) r(A) r(B)；(C) r(A) r(B) ；(D) 無法判定r(A)與r(B)之間的關(guān)系。2 設A為n (n 2)階方陣且| A| 0,則()。(A) A中有一行元素全為零；(B) A有兩行(列)元素對應成比例；(C) A中必有一行為其余行的線性

2、組合；(D) A的任一行為其余行的線性組合。3.設A,B是n階矩陣(n 2), AB O,則下列結(jié)論一定正確的是：()(A) A O 或 B O;(B) B的每個行向量都是齊次線性方程組AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 下列不是n維向量組2,., s線性無關(guān)的充分必要條件是()(A) 存在一組不全為零的數(shù)k!,k2,.,ks使得k! ! k2 2 . ks s O ；(B) 不存在一組不全為零的數(shù)k!,k2,.,ks使得k! ! k2 2 . ks s O(C) 1, 2,., s 的秩等于 s ；(D) 1, 2,., s中任意一個向量都不能用其余向量線性

3、表示1aa .aa1a .a5 .設n階矩陣(n3) A. . ?右矩陣A的秩為n 1 ,則a必為aaa .1()。(A)1 ；(B)1 .(C)1 ；(D)1 .1nn 1a100b,6.四階行列式0a2b20的值等于()。0da30b400a4(A)av2a3a4bdlbA ；(B)a1a2a3a4bddbq ；(C) (a£2 bb)(a3a4 bsb。);(D)玄彳 bzdXaia。 bb).7 設A為四階矩陣且|A| b，則A的伴隨矩陣A*的行列式為()。234(A) b;(B) b ;(C) b ;(D) b8 設A為n階矩陣滿足A2 3A In O , In為n階單位矩

4、陣，則A 1()(A) In ；(B) A 3In ；(C) A 3In ；(D) 3A In9 .設A , B是兩個相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是()。(A)A與B的秩相同；(B) A與B的特征值相同；(C) A與B的特征矩陣相同；(D) A與B的行列式相同；10 .設A為n階矩陣，則A以0為特征值是A 0的()。(A)充分非必要條件；(B)必要非充分條件；(C)既非充分又非必要條件；(D)充分必要條件；2.填空題(每小題計算行列式100000400100431473分，共18分)04322584321369二次型 f (X1,X2, X3) 已知 1(0,0,1),(1,1,1)在這組基

5、下的坐標為7A 44X-|X2X2X34 .交基，則向量已知矩陣01 0X3X1對應的對稱矩陣為。(乎，¥,0)是歐氏空間R3的一組標準正11的特征值為!3(二重),212,則xx3均為3維列向量，記矩陣A3 ,122433)。如果 |A| 1，則 |B|23121 (8 分)A120 , B10 , AX B,求 X10331量用該極大無關(guān)組線性表示。X1X2PX32五.(12分)討論線性方程組 x1 px2X31解的情況，并在有無窮多解時PX1 xX31四.4(10 分)設向量組1 (1,1,2,3)T ,2(1, 1,1,1/ ,3(1,3,3,5)T ,(4, 2,5,6)

6、T ,5( 3, 1, 5, 7)T。試求它的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向求其解124六.(14分)設A 22 2 ,( 1 )、求出A的所有特征值和特征向量;421(2 )、求正交矩陣T，使得T 1AT為對角矩陣。七.( 8分)對任意的矩陣A,證明：(1) A At為對稱矩陣，A At為反對稱矩陣；(2) A可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和線性代數(shù)A參考答案（A卷）、單項選擇題（每小題3分，共30 分）12345678910BCDABDCCCD、填空題（每小題3分，共18分）132 012121、256 ；2、465 ;3、401.2；79841204、1八2,0 ；5、4 ;6、

7、2。三.解：因為矩陣A的行列式不為零,則A可逆，因此XA1B為了求A1B,可利用下列初等行變換的方法:2312112010120101201023121011411033110331023211027210027810027801141010144010144001103001103001103（6分）278所以 X A1B 144（8 分）103四解：對向量組1, 2, 3, 4, 5作如下的初等行變換可得:1114311143(1,2,3,4,5)1132102262213550113131567022621 11 43102120 11 3101131(5 分)0000000000000

8、0000000從而1, 2, 3, 4, 5的一個極大線性無關(guān)組為1, 2，故秩1,2,3,4,5 2（ 8 分）且 3212 ,4132 ,5212（ 10分）五解：對方程組的增廣矩陣進行如下初等行變換：11p211p21p121p110 p11p30p 11 p3p1110 1p12 p1 2p0202 p p 4 2p1p120p 11 p3（4分）00(2 p)(p1)42p當p 1 0,且（2 p）（p 1） 0時，即p 1,且p2時,系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3,此時方程組有唯一解.（5分）(2) 當p 1時,系數(shù)矩陣的秩為1,增廣矩陣的秩為2,此時方程組無解.(6 分)(3) 當

9、p2時，此時方程組有無窮多組解.方程組的增廣矩陣進行初等行變換可化為11221121211033211103310110111(8分)0000211223011130000故原方程組與下列方程組同解XiX310 ( 1, 1,0)T；X2 X31令X30,可得上述非齊次線性它對應的齊次線性方程組 X1X3 0的基礎解系含有一個元X2 X30素，令X31,可得1(1,1,1)為該齊次線性方程組的一個解，它構(gòu)成該齊次線性方程組的基礎解系.此時原方程組的通解為k0 0匕！,這里k0,k!為任意常數(shù)(12 分)(1) 由于 A 的特征多項式124I I A|222(3)2(6)421故A的特征值為,3

10、 （二重特征值），分）當!3時，由（j A）X424x0O，即：212X20424X30基礎解系為32,1,2t故屬于特征值6的所有特征向量為得基礎解系為11,2,0T, 2 1,0,1T，故屬于特征值13的所有特征向量為k11 k2 2, k1, k2不全為零的任意常數(shù)。-(6分）524X10當36時，由I A）X O，即：282X20得425X30k3 3,k3為非零的任意常數(shù)。(83單位化得：31,2,0T,4,51512 分)l12亦V515，3則1,2,3是A的一組單位正交的特征向量，令54 2525153T1,2 52 ,32 513520333則T曰 是1個正交矩陣，且T AT3。-（14 分）6七.證明：因為（Aat)Tat(AT)TA At