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1、四、靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化及桿件長(zhǎng)度制造誤差引起的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生變形,但不產(chǎn)生內(nèi)力。計(jì)算溫度變化引起的結(jié)構(gòu)位移時(shí),通常假定溫度沿桿件截面高度 h是直線變化的。設(shè)桿件兩側(cè)表面的溫度改變分別為 ti和12,材料的線膨脹系數(shù)為 a o 則由圖36可知微段的溫度變形為- a ds = 0其中to=( hit 2+ h2ti) / h,為桿件軸線處的溫度改變;A t為桿件兩側(cè)表面溫度變化差的絕對(duì)值。II應(yīng)用單位荷載法,將 de t、dut、dn t代入變形體虛力方程I X = S十工+工匕日可i得溫度變化引起的位移計(jì)算公式為旺-X atgNjds + 乏如果a、to、A t、h沿桿長(zhǎng)不
2、變,則上式為式中A it為結(jié)構(gòu)的擬求位移處沿i方向由溫度變化引起的位移;(3 11)(3 12)3 Ni、3 Mi分別為桿件Ni圖、Mi圖的面積。當(dāng)Ni及to引起的桿件軸向變形方向相同時(shí),上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)為正,否則為負(fù);當(dāng)Mi及溫度變化引起的桿件彎曲方向一致時(shí),上式等號(hào)右邊的第二項(xiàng)為正,否則為負(fù)。例34圖3 7所示剛架施工時(shí)的溫度為30°C,冬季外側(cè)溫度為一200C,內(nèi)側(cè)溫度為10°C,各桿截面相同,均為矩形截面,截面高度為h,材料的線膨脹系數(shù)為a o試求剛架在冬季溫度時(shí)B點(diǎn)的水平位移A BHo各桿外側(cè)溫度變化為t 1 = 20 30= 500C內(nèi)側(cè)溫度變化為t 2= 1
3、0 30 = 200C于是得各桿的t。、A t為t 0=( ti+t2)/ 2= 350CA t = 300C虛設(shè)狀態(tài)的Mi及Ni圖分別如圖3 7b、c所示。由式(3 12),得A BH= 35 a l 60 a l2/ h在計(jì)算中應(yīng)注意各項(xiàng)正、負(fù)號(hào)的確定。I1Mi 圖(a)(b)(c)比=1例35圖38a所示桁架的六根下弦桿制造時(shí)比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度均縮短了ue= 2cm試求桁架在拼裝后結(jié)點(diǎn)C的豎向位移A cv。解虛設(shè)狀態(tài)如圖3 8b所示,求出有制造誤差的各下弦桿的軸力N后,就可按變形體系虛功原理得- 2)冥4+今(2)X2=- 10cm因?yàn)楦飨孪覘U的制造誤差均為縮短,而虛設(shè)狀態(tài)中各下弦桿均為受拉,兩
4、者方向相反,故計(jì)算結(jié)果為 負(fù)號(hào),表示C點(diǎn)的豎向位移的實(shí)際方向?yàn)橄蛏希碈點(diǎn)向上的起拱度為10cmt五、靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移引起的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時(shí),各桿件產(chǎn)生剛體位移,不產(chǎn)生內(nèi)力。這時(shí)采用單位荷載法,由變形體系虛功 方程(3 2),得虛力方程為1 x厶上+濃C二0于是得靜定結(jié)構(gòu)由支座位移 c引起的位移計(jì)算公式為(3 13)式中 A ic為結(jié)構(gòu)擬求位移處沿i方向由支座位移 C引起的位移;C為實(shí)際的支座位移;Ri為與C相應(yīng)的 由虛設(shè)狀態(tài)的廣義單位力產(chǎn)生的支座反力。當(dāng)Ri與C的方向一致時(shí),其乘積為正,否則為負(fù)。 例3 6 圖39a所示三鉸剛架的支座 B向右移動(dòng)A BH 6cm,向下移動(dòng)A
5、BV= 8cm,試求結(jié)點(diǎn)E的角位移e e(b)解虛設(shè)狀態(tài)及虛設(shè)狀態(tài)中支座 B處的反力大小和方向如圖39b所示。于是由式(3 13)可得0 e= 0.015rad所得結(jié)果為正,表示 0 E的實(shí)際方向與假設(shè)的 Mi= 1的方向相同。例3 7圖310所示桁架的支座 B向下移動(dòng)A BV= C,試求BD桿的角位移0 bd。解虛設(shè)狀態(tài)及虛設(shè)狀態(tài)中支座B處的反力大小及方向如圖 3 10b所示。于是由式(3 13)可得仔- 一 乞&C,=-(b)圖 3- 10六、彈性體系的互等定理下面四個(gè)互等定理,適用于線性彈性體系,線性彈性體系的特征是應(yīng)力應(yīng)變之間為線性關(guān)系,體系的 位移是微小的,可以應(yīng)用疊加原理。
6、12= T21(一) 虛功互等定理(3 14)即任一線性彈性體系中,第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功Tl2= T21等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功T21。由虛功原理可以導(dǎo)出下面三個(gè)互等定理(二) 位移互等定理S 12 =$ 21(3 15)上式表示同一線性彈性體系由單位荷載 P1= 1所引起的與荷載F2相應(yīng)的位移3 21等于由單位荷載P2= 1 所引起的與荷載 F相應(yīng)的位移3 12。這里的荷載可以是廣義荷載,因而位移可以是相應(yīng)的廣義位移。如圖311a、b 中的 3 12 =3 21 o位移互等定理在力法及其他結(jié)構(gòu)分析的柔度法中得到應(yīng)用。(三) 反力互等定理R 12=艮
7、1(3 16)上式表示同一線性彈性體系由單位位移Cl = 1所引起的與位移C2相應(yīng)的反力 甩等于由單位位移C2= 1所引起的與位移 Ci相應(yīng)的反力R120如圖312a、b中的R2 =甩。反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu),它在位移法及其他結(jié)構(gòu)分析的剛度法中得到應(yīng)用。(四) 位移與反力互等定理3 12 =金(3 17)上式表示同一線性彈性體系由單位荷載尸R= 1所引起的與位移C2相應(yīng)的反力在絕對(duì)值上等于由單位位移C2= 1所引起的與荷載 F相應(yīng)的位移3 12,但兩者相差一個(gè)符號(hào)。 如圖3 13a、b中的3 12 =艮1。位移與反力互等定理在混合法中得到應(yīng)用。二 L(6)圖 3 11圖 3- 12ZE
8、:(M圖 3- 13第四節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的受力分析及特性一、超靜定結(jié)構(gòu)的特征及超靜定次數(shù)超靜定結(jié)構(gòu)的幾何特征是除了保證結(jié)構(gòu)的幾何不變性所必須的約束外,還存在多余約 超靜定結(jié)構(gòu)的靜力特征是僅由靜力平衡條件不能唯一地確定全部未知反力和內(nèi)力。結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)或用靜力平衡條件計(jì)算全部未知反力和內(nèi)力時(shí)所缺少的方程數(shù)稱為 次數(shù)。通常采用去除多余約束的方法來確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。即去除結(jié)構(gòu)的全部多余約 多余約束的幾何不變體系,這時(shí)所去除的約束數(shù)就是結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。去除約束的方法有以下幾種:(一)切斷一根兩端鉸接的直桿(或支座鏈桿),相當(dāng)于去除一個(gè)約束。(二)切斷一根兩端剛接的桿件,相當(dāng)于去除三個(gè)約束。束。結(jié)構(gòu)
9、的超靜定束,使之成為無根桿件的鉸),相(三)切斷一一個(gè)單鉸(或支座固定鉸),相當(dāng)于去除二個(gè)約束;切斷一個(gè)復(fù)鉸 (連接當(dāng)于去除2(n 1)個(gè)約束。(四)將單剛結(jié)點(diǎn)改為單鉸節(jié)點(diǎn),相當(dāng)于去除一個(gè)約束;將連接n個(gè)桿件的復(fù)剛節(jié)點(diǎn)改為復(fù)鉸節(jié)點(diǎn),相當(dāng)于去除n1個(gè)約束。去除一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的方法可能有幾種,但不管采用哪種方法,所得超靜定次數(shù)一定相同。去除圖4 1a所示超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束的方法之一如圖4 1b所示,去除六個(gè)多余約束后,就成為靜定結(jié)構(gòu),故為超靜定六次。再用其他去除多余約束的方案確定其超靜定次數(shù),結(jié)果是相同的。二、力法的基本原理(一)力法基本結(jié)構(gòu)和基本體系去除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束,代以相應(yīng)的
10、未知力X(i=1、2、n) , X稱為多余未知力或基本未知力,其方向可以任意假定。去除多余約束后的結(jié)構(gòu)稱為力法基本結(jié)構(gòu)。力法基本結(jié)構(gòu)在各多余未知力、外荷載(有時(shí)還有溫度變化、支座位移等)共同作用下的體系稱為力法基本體系,它是用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。選取力法基本結(jié)構(gòu)應(yīng)注意下面兩點(diǎn):1 基本結(jié)構(gòu)一般為靜定結(jié)構(gòu),即無多余約束的幾何不變體系。有時(shí)當(dāng)簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的解為已知時(shí),也可以將它作為復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu),以簡(jiǎn)化計(jì)算。2選取的基本結(jié)構(gòu)應(yīng)使力法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算盡可能簡(jiǎn)便,并盡量使較多的副系數(shù)和自由項(xiàng)等于零。機(jī)E十缶談卄比“二J(二)力法典型方程及其意義根據(jù)原結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化
11、、支座位移等因素作用下產(chǎn)生的已知位移與基本結(jié)構(gòu)在各多余未知力以及與原結(jié)構(gòu)相同的荷載、溫度變化、支座位移等因素作用下產(chǎn)生的位移必須相同的條件,由疊加原理,可得n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程為命【x【+辦2X2 + $|盡+ 4加+島t+亠=:$21X1 + 血& + 亠+ 去p + 細(xì) + 加=“2 卜% I I V V I ¥ 4 <11 S y. I f.I'丄卜-k, (4 1)式中Xi為多余未知力(i=1、2、,2); X釓為基本結(jié)構(gòu)僅由Xj=1為多余未知力(j=1、2、n)產(chǎn)生的沿X方向的位移、為基本結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù); Aip、Ait、Aic分別為基本結(jié)構(gòu)僅
12、由荷載、溫度變化、支座位 移產(chǎn)生的沿X方向的位移,為力法典型方程的自由項(xiàng); A i為原超靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座位移作 用下的已知位移(如結(jié)構(gòu)邊界處的已知支座位移條件、桿件變形后的已知位移連續(xù)條件等)。力法典型方程(4 1)也稱為變形協(xié)調(diào)方程。其中第一個(gè)方程表示基本結(jié)構(gòu)在n個(gè)多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移等共同作用下, 在X作用點(diǎn)沿X作用方向產(chǎn)生的位移,等于原結(jié)構(gòu)的已知相應(yīng)位移 A 1; 第二個(gè)方程表示基本結(jié)構(gòu)在 n個(gè)多余未知力、荷載、溫度變化、支座位移共同作用下,在X2作用點(diǎn)沿茨作用方向產(chǎn)生的位移,等于原結(jié)構(gòu)的已知相應(yīng)位移 A 2。其余各式的意義可按此類推。各多余未知力X的大小和
13、方向必須受力法典型方程的約束,多余約束力與變形協(xié)調(diào)條件是對(duì)應(yīng)的,故滿足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真實(shí)的解。同一超靜定結(jié)構(gòu),可以選取不同的基本體系,其相應(yīng)的力法典型方程也就表達(dá)了不同的變形協(xié)調(diào)條件。不管選取哪種基本體系,求得的最后內(nèi)力總是相同的。圖4 2a所示體系為一次超靜定結(jié)構(gòu), 如取圖42b所示的基本體系,則力法典型方程為 3 iiX+A ip=0;對(duì)于圖4 2d所示的一次超靜定結(jié)構(gòu),如取圖4 2e、f所示的基本體系,則相應(yīng)的力法典型方程分別為 3 11X1 + A ip=O、3 11X1 + A ip= Xi/ kN。圖4 3a所示一次超靜定結(jié)構(gòu)的支座B有已知的豎向位移a,如取圖
14、43b所示的基本體系,力法典型方程為3 11X = a;如取圖4 3c所示的基本體系,力法典型方程為3 11X1 +A 1(=0。圖4 3(三)系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算力法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)都是靜定基本結(jié)構(gòu)僅由單位力、實(shí)際荷載、溫度變化、支座位移產(chǎn)生的位移,它們均可按上述各自的定義,用相應(yīng)的位移計(jì)算公式計(jì)算。力法典型方程中的系數(shù) 3 ii稱為主系數(shù),它們恒為正值;3 ij (i工j)稱為副系數(shù),它們可為正值、負(fù)值、也可為零,根據(jù)位移互等定理有3 ij = 3 ji ;各自由項(xiàng)的值可為正值、負(fù)值、也可為零。(四)計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力由力法典型方程求出各多余未知力X后,將X和原荷載作用在基本結(jié)構(gòu)上,再根據(jù)求作靜定結(jié)構(gòu)可通過下述疊加方法,計(jì)算內(nèi)力圖的方法,作出基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖就是超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖?;蛘咭步Y(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力M - MvXi 十
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