圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全)

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：(1)中點(diǎn)弦問題具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(小，兒)，匕 2,),2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式(當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論)，消去四個(gè)參數(shù)。22Xy如：=與直線相交于 A、B,設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(xo,yo)制有CTlr典+卑二。a-r22(2)流一二 l(d0“0)與直線 I 相交于 A、B,設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(xy。)印 J 有cr算-辱 0ab-(3)簫=2px(p0)與直線 I 相交于 A、 B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x。 ， y。 ),則有 2yk=2p,即 yo

2、k=p.典型例題給定雙曲線，一斗二 1。過 A(2,1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)片及引，求線段片人的中點(diǎn) P 的軌跡方程。(2)焦點(diǎn)三角形問題或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)仟、竹構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典型例題設(shè) P(X,y)為橢 IS-4-=1 上任一點(diǎn)，F(xiàn)(-C0)Jb(c,0)為焦點(diǎn)，crlrAPFF2=d9ZPF占=0(1)求證離心率“血 3+0):sina+sin0(2)求 IPFf+PFJ 的靈值。(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組， 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思

3、想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定艾去解。典型例題拋物線方程 y?=P(x+1)(p0)直線 x+y=t 與 x 軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 A、B,且 0A0B,求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t)的表達(dá)式。(4)圓錐曲線的相關(guān)最值(范圍)問題若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意艾，一般可用因形性質(zhì)來解決。若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。， 可以設(shè)法得到關(guān)于 a 的不等式通過解不等式求出 a 的范囤， 即： “求范囤， 找不

4、等式”。或者將 a 表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出 a 的范圍；對(duì)于首先要把 ANAB的面積表示為一個(gè)變董的函數(shù)，然后再求它的最值問題的處理思路:1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求心 y 的范 IS：2、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想：3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求艮值，往往由條件建立二次方程，用判別最值：4、借助均值不等式求置值。典型例題最大值，即：“最值問，函數(shù)思想二已知拋物線 y2=2px(p0),過 M(a,0)且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|W2p求 a 的取值范國；若線段 AB 的垂

5、直平分線交 x 軸于點(diǎn) N,求 ANAB 面積的最大值。(5)求曲線的方程問題1.曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例已知直線 L 過原點(diǎn)，拋物線 C 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上。若點(diǎn) A(-1,0)和點(diǎn) B(0,8)關(guān)于 L 的對(duì)稱點(diǎn)都在 C 上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。2 .曲線的形狀未知-一求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q。)和圓 C:x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn) M 到同 C 的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)兄(20),求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。(6)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題在曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題，可以按如下方式分三步解決：求

6、兩點(diǎn)所在的直線，求這兩直線的交點(diǎn)，使這交點(diǎn)在圓錐曲線形內(nèi)。(當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決)典型例題已知橢圓 C 的方程一+一二 1，試確定 m 的取值范圍，使得對(duì)于直線43v=4X+/H,橢圓 C 上有不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(7)兩線段垂直問題錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用人k2=2=_1 來處理或用向量的坐標(biāo)州運(yùn)算來處理。典型例題已知直線/的斜率為且過點(diǎn) P(2,0)拋物線 C?2=4(x+l),直線/與拋物線 C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(如圖)。求 k 的取值范圍；(2)直線/的傾斜角&為何值時(shí)，A、B 與拋物線 C 的焦點(diǎn)連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中，學(xué)生普遇覺

7、得解析幾何問題的計(jì)算量較大。事實(shí)上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運(yùn)用“設(shè)而不求”的霓略,往往能夠減少計(jì)算童。下面舉例說明：充分利用幾何圖形解析幾何的研究對(duì)象就是幾何圖形及其性質(zhì)， 所以在處理解析幾何問題時(shí)， 除了運(yùn)用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識(shí)，這往往能減少計(jì)算董。典型例題設(shè)直線 3X+4y+m=。與+/+x-2y=0 相交于 P、Q 兩點(diǎn)，0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OPJL,求？的值。充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點(diǎn) 0,焦點(diǎn)在

8、 y 軸上的橢圓與直線 y=X+1 相交于 p、Q 兩SLOP1.OQ.PQ=-，求此橢圓方程。2充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點(diǎn)，因此也可以減少計(jì)算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓。：X2+y2-4A+2y=0 和 q：x2+y2-2y-4=0 的交點(diǎn)，且圓心在直線 2x+4yI=0 上的圓的方程。橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。22邊形 OAPB 面積的最大值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)。線段長的幾種簡便計(jì)算方法充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運(yùn)算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB 長的方法是：把直線方程 y=M+

9、力代入圓錐曲線方程中，得到型如療+hx+c=0 的方程，方程的兩根設(shè)為“J,x,判別式VA則可/I+乃4=J1+J空若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算而過程。例求直線 x-y+I=0 被橢圓/+4),2=16 所截得的線段 AB 的長。結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時(shí)，由于圓維曲線的定狡都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定狡，可回避復(fù)雜運(yùn)算。(4)充分利用橢的參數(shù)方程典型例P 為橢圓二 r+L=1上一動(dòng)點(diǎn)，A 為長軸的右端點(diǎn)，B 為短軸的上端F9A+F,B*/利用圓錐曲線的定狡，把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點(diǎn) A(3,2)為定點(diǎn)，點(diǎn) F 是拋物線)JL=4x

10、的焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在拋物線y=4xJL移動(dòng)，若 IPAM加 I 取得最小值，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1.直線方程的形式直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率左二tana,aTT)，點(diǎn)、到直線的距離山破夾角公式:tan.=IMI1+如弦長公式直線y=kx+b上兩點(diǎn)A(x),yiI 為如，刃間的距離：-yi+x(-X2例 GF 嚴(yán)姑1 的兩個(gè)焦點(diǎn),AB 是經(jīng)過的弦，若心，求值=J(l+,)(4+XJ_4 召兀 2兩條直線的位置關(guān)系ZA，/2八 2=-1；，/2八 42 且也工乞錐曲線方程及性質(zhì)、橢圓的方程的形式有幾

11、種(三種形式)標(biāo)準(zhǔn)方程：=l(/zz0,H0 且加初f)距離式方程：J(x+c)，+于+J(x_c)2+),=2a參數(shù)方程：x-NC0S&9y-bsin0、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：一+二 1(？刀v）=0434343n（坷一吃+勺）（X-上上 Xx+兒）=R-43”4 方2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎經(jīng)典套路是什么如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式（）,以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn) 43 川）,8（兀 2,兒），將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到。兩個(gè)式子，然后-，整體消元

12、，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn) A、B、F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為y=kx+b，就意味著 k 存在。端點(diǎn)（點(diǎn) A 在 y 軸正半軸上）.（2）若角 A 為 90。，AD 垂直 BC 于 D,試求點(diǎn) D 的軌跡方程.7分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦 BC 的斜率，從而寫出直線BC 的方程。第二問抓住角 A 為 90。可得出 AB_LAC,從而得必服+yy2-14（八+y*+16=0，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn) D 的軌跡方程；解乂 1）設(shè)

13、3 區(qū)） 。僅 242）舊（3 中點(diǎn)為（“，兒）,F（2,0）則有出+垃=1 雇+出=120162016兩式作差有3駕）耆I嘰。+乎”F（2,0）為三角形重心，所以由土豐=2,得xo=3,由土_王-4=o 得 yo=-2,代入得k直線 BC 的方程為 6x-5y-28=02)由 ABAC 得尤入+14+)、)+16=0(2)設(shè)直線 BC 方程為 y 二七什。，R 入 4,+5 才=80,得(4+5k2)x2+10hkx+5Z?2-80=0-Okh_5/?2-80-4+5/例 1、已知三角形 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢4/+5b=80 上，且點(diǎn) A 是橢圓短軸的一個(gè)若三角形 ABC 的重心是橢的右

14、焦點(diǎn)，試求直線 BC 的方程；兒 f 廠存廠代入（2）細(xì)寸曲-32116=0,解得方二 4（舍）或 b4+5 冷 94直線過定點(diǎn)（0,-，設(shè) D（x,y），則4X 口9 于+9,32,-16=0所以所求點(diǎn) D 的軌跡方程是 F+（y_罟）2=（罟）2。工 4）O4、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 ABCD 中A 從=點(diǎn) E 分有向線段走所成的比為幾，雙曲線過 C、D、E 三點(diǎn)，且以 A、B 為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，3求雙曲線離心率 e 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系 xOy,如圖，若設(shè)Ch，代人

15、求得h二，2er1r進(jìn)而求得再代入 4.4=1,建立目標(biāo)函數(shù)“l(fā)r/（二畀）=0,整理于（s=。,此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對(duì)力可采取設(shè)而不求的解題策略，建立目標(biāo)函數(shù)/ac,a）=。,整理/（匕刃=0,化繁為簡.解法一：如圖，以 AB 為垂直平分線為），軸，直線 AB 為 X 軸，建立直角坐標(biāo)系.9），則 CDJL，軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) C、D,且以 A、B 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D 關(guān)于軸對(duì)稱依題意，記 AgO）,CR,力，E（xo,yo）,其中 c=勺的為雙曲線的半焦Y+言干（A-2）c 期=y=T71設(shè)雙曲線的方程為 4-4=n 則離心率心“上/-w-C由點(diǎn) C、E 在雙曲線上，

16、將點(diǎn) C、E 的坐標(biāo)和“代人雙曲線方程a得-，夕一L4Jr叩2 口 Ayj4U+IJU+1J/22A=1-1,少 4將式代入式，整理得2A（4-42）=1+22,故 2=1g/+I由題設(shè)得，v1-A-v-343,+24解得AA710所以雙曲線的離心率的取值范圍為苗,J1 可分析：考慮|A|,|Aq 為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE|,|AC|用 E,C 的橫坐標(biāo)表示，回避力的計(jì)算，達(dá)到設(shè)而不求的解題良略.距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得由式得解法二：建系同解法一，卜l=(a+v?xfq 二八+匕殳,v=22V 又凹,代入整理社話由題七一 J42(2+1)AC1+2、解得y/7ey(U)所以

17、雙曲線的離心率的取值范圍為V7Mo5、判別式法例 3 已知雙曲線 c-2L_S=i 直線/過點(diǎn) A(QO),斜率為斤，當(dāng)。122時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B 到直線/的距離為 VI,試求 k 的值及此時(shí)點(diǎn) B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且僅有”這個(gè)微觀人手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn) B 作與/平行的直線，必與雙曲線 C 相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式=0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：/;y=“r-y/2)(OvRvI)直線/*在/的上方且到直線/的距離為血解得 M 勺值解題過程略

18、.分析 2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn) B 到直線/的距離為運(yùn)”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：簡解：設(shè)點(diǎn))為雙曲線 C 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) M 到直線/的距離為：竺 2 亙二到二忑(0八1)(*)W+1J于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 x 的方程.由于 0IAIkx9 從而有kx-yj1A 丫一 rfn 日寸=力、/2+丫4-42k于是關(guān)于 X 的方程(町。_履井+珠=J2 伙+1)0；2+Fj=(J2W+I)_41k+W,iJ2(m)-41k+。血一+2 心(+1)-邁認(rèn)+(J2W+1)-敏_2-0.j2(T+l)-、%+R

19、x0.由 0vv1 可知：方程(JED/+2 和 2 伙 Ji)-岳 I+(J2 伙 2+1)一、伍才一 2=0 的二根同正，故 J2 伙？+1)-、念+也0 恒成立，于是(*)等價(jià)于(/-1)x2+2 心伙 2+1)-4 心+(T2 伙 2+1)_丁站_2=0.由如上關(guān)于兀的方程有唯一解，得其判別式=(),就可解得 5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓 CM+2y2=8 和點(diǎn) P(4,1),過 P 作直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，在線段AB 上取點(diǎn) Q,使夠三會(huì),求動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡所在PDQB曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題

20、困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解,因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q 的橫縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn) Q(x,y)的變化是由直線 AB 的變化引起的，自然可選擇直線 AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將與斤聯(lián)系起來一方面利用點(diǎn) Q 在直線 AB 上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：茫二咚來轉(zhuǎn)化,由 A、B、PBQBP、Q 四點(diǎn)共線，不難得到、,4(D-2g,要建立 X 與斤的關(guān)系，只需8-(心+心)將直線 AB 的方程代入橢圓 C 的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如

21、何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQ而-而8一（仆+以）將直線方程代入橢圓方程，消去禾 IJ 用韋達(dá)定利用點(diǎn) Q 滿足直線 AB 的方程：片（x.4）+1，消去參數(shù)點(diǎn) Q 的軌跡方程在得到,二fl）之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)至仁所謂消參，目的不過是得到關(guān)于 X的方程（不含內(nèi)則可由 y=+I 解得k=直接代入 x=/(燈即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過 x-4程。簡解:設(shè) A(X,兒)，BgyJ,QO,y),則由一可得：公二八一PBQB兀？_4X2_X解之得:(1)8_(Xj+X2)設(shè)直線 AB 的方程為：y=k(x-4)4-1，代入橢圓 C 的方程，消去 y 得出關(guān)于 x 的一元二

22、次方程：(徐泊川+4 饑 1 一 4 幻大+2(14/1)2-8=0(2),W1)玉+221,_2(l-4Jt)2-8A：A：2m代入(1)4k+3與-4)+1 聯(lián)立，消去得:出+y-4)(x-4)=0.在中，由 4 二64/+64+240 解得 y2+彳在、結(jié)合(3)44可求得 16-26+2故知點(diǎn) Q 的軌跡方程為：2x+y-4=0(16-2、，兀丫0,解得l,189.2/95/所以綜上因在于箸弋不是關(guān)于”的對(duì)稱關(guān)系式原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于冊(cè)，吃的對(duì)稱關(guān)系式.簡解 2:設(shè)直線/的方程為：，二也+3,代入橢圓方程，消去 y 得-54k一以2+445XX=；

23、I-9G+4令乞二八則，八 JL+2=324 忙A45L+20(如+4 嚴(yán)+54 心+45=0(*)在(*)中，由判別式可得從而有 Y 必八,所以 42+JL+2s 竺，解得45,+20525-25結(jié)合 OvQSI 得綜上，一 15 蘭 S-X.PB3$點(diǎn)評(píng)：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在， 只有見微知著， 樹立全局觀念， 講究排兵布陣， 運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.

24、第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。=1,IOFI=1.(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;例6橢圓長軸端點(diǎn)為 48。為橢中心，F(xiàn) 為橢的右焦點(diǎn)，且喬而(II)記橢的上頂點(diǎn)為 M,直線/交橢圓于 P0 兩點(diǎn)，問：是否存在直線/，使點(diǎn) F 恰為 APOM 的垂心若存在，求出直線/的方程；若

25、不存在，請(qǐng)說明理由。思維流程：寫出橢圓方程解題過程:(I)由 M期=1,網(wǎng)=1(a+c)(dc)=I,C=1PQLMF.MPLFQ-(H)y=xm乂 2+22=23.r+4/?LV+2兩?艮之和，兩根之積 JMPFQ=O得出關(guān)于m 的(I)如圖建系，設(shè)橢圓方程為冷+二=1/?0),則 C=ICTZr又:AF血=1 即的+c)-(a-c)=1=a2-c2:.a2=292故橢圓方程為 y+r=1則設(shè) P(x(,X),0(X2,y2),/O,1),F(I,O),故城于是設(shè)直線/為y=x+m，由，；得，x+2v=25/+4/rx+2/7?2-2=0:MPFQ=0=XAX2-I)+先(川-/)又)；二召

26、+m(i=1,2)得 X如-1)+(X2+/7)(X+加一 1)=0 即lx.2+(旺 4-兀 2)(/7-1)+=0 由韋達(dá)定理得(2/H2-24/w1X7n2-nrl)+in-m=033解得為二-或？=1(舍)經(jīng)檢驗(yàn)/二-符合條件.33點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例 7、已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過人(.2,0)、02,0)、C(1,A 三點(diǎn).I2J(I)求橢圓 E 的方程:(II)假設(shè)存在直線/交橢于 P,Q 兩點(diǎn),且 F 恰為 APOM 的垂心，(II)若點(diǎn)。為橢圓 E 上不同于 A、B 的任意一點(diǎn),F(-1,O)

27、,H(1,O),當(dāng)DFH 內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求DFH 內(nèi)心的坐標(biāo);思維再程：由橢同經(jīng)過 A、B、C 三點(diǎn)_k(D 設(shè)方程為 27/+ny-1解出M得到面的方程(II)由DFH 內(nèi)切圓面積最大_k轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大Q 為橢圓短軸端點(diǎn)LZXDFH 面積最大值為 J 了M%=*周長”內(nèi)切憫得出點(diǎn)坐標(biāo)o,4解題過程：(I)設(shè)橢圓方程為mx+ny=1(fz?O.n0)將A(-2,0)、3(2,0)、C(l,-)代入橢F 的方程，得4/H=1,229 解得？=一,舁二一橢圓 E 的方程 JL+=1III+-/?=143434(II)11=2,設(shè)DFH 邊上的高為SAj=x2xh=h2設(shè)DF

28、H 的內(nèi)切圓的半徑為/?,因?yàn)镈FH 的周長為定值 6所以,SADFIIx6 所以/?例 8、已知定點(diǎn) CbhO)及橢圓A?+5/=5，過點(diǎn) C 的動(dòng)直線與橢相交于 AB 兩點(diǎn).(I)若線段 A3 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是._L，求直線 A3 的方程；2(II)在 x 軸上是否存在點(diǎn) M，使頁礪為常數(shù)若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.思維流程：(I)解：依題意，直線初的斜率存在，設(shè)直線朋的方程為 y=g+i),將 y 二k(x+l)代入X+3y=5,消去 y 整理得(3A?+*+6fx+3K-5=0.聽殳A(APy,)tB(X29%IA=3 冊(cè)一 4(3TE+1)(3/E-5)0,(1)

29、當(dāng)點(diǎn) D 在橢的上頂點(diǎn)時(shí)，力最大為松，所以的最大值為的.的最大值為迺所以內(nèi)切同同點(diǎn)石成金:的周 kx 乙的內(nèi)切同心的坐標(biāo)為貝 U67E得士竺=-4L=-1，解得23+12k=士一，符合題意。所以直線 A3 的方程為 x-V3y+I=0,或 x+Gv+I.(II)解：假設(shè)在 x 軸上存在點(diǎn) M(”0)，使為常數(shù).當(dāng)直線 49 與 x 軸不垂直時(shí)，由(I)知6k299X1X-,_7(3)所以也,奶=(X)-切一2)+=(x(,H)(X2-切花+1)(X2+1)二(+I)xiX2+l一力口)(兀+X2)+k2初將代入，整理得0c16 力口+14=nr+2m；33(3-1)注意到修一修是與 k 無關(guān)的

30、常數(shù)，從而有6m+14=0,m=,此時(shí)MAMB=當(dāng)直線 A3 與 x 軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn) A3 的坐標(biāo)分別為當(dāng)/=_2 時(shí)，亦有顧廁爵綜上，在兀軸上存在定點(diǎn)，使莎祈為常數(shù).(2 力一*)(3/+1)2 力一3JE+1+nr由線段 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一上，ZXn2V(2/7?)(3&+1).勿-點(diǎn)石成金:=nr+6/72+14思維流程:解：設(shè)橢方程為 M+工=l(ab0)a=2bcr=841廬橢方程為卜寧(II)直線/平行于 0M,且在 y 軸上的截距為 m/的方程為：y=x+in2/.A=(2m)2-4(2m2-4)0,解得一 2v0,3)o,8/nk3+4A-4(濟(jì) 3)3+4F3(一又=(八+加)(總 2+？)=/冊(cè)七+包冊(cè)+X2)%)+nr因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0)9/.yl%+X|X2_2(斗+X2)+4=03(m2-4A2)+4(m2-3)I5mk3+4/-3+47+3+4/E+4_0解得：勿、=-2k,m、-_，且均滿足 3+4knr0.