連續(xù)型隨機變量及其分布函數

1、一、概率密度的定義與性質一、概率密度的定義與性質二、常見連續(xù)型隨機變量的分布二、常見連續(xù)型隨機變量的分布三、內容小結三、內容小結第第2.32.3節(jié)連續(xù)型隨機變量節(jié)連續(xù)型隨機變量 及其分布函數及其分布函數性質性質. 0)(,)1( xpx對任意的對任意的.d)()(12 xxp證明證明 .d)()(xxpF 1.,)(,d)()(),(,)(簡簡稱稱概概率率密密度度率率密密度度函函數數的的概概稱稱為為其其中中為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量則則稱稱有有使使對對于于任任意意實實數數非非負負函函數數若若存存在在的的分分布布函函數數為為，為為隨隨機機變變量量設設XxpXttpxFxxpXxFXx 一、

2、概率密度的定義與性質一、概率密度的定義與性質1.定義定義.連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量的的分分布布函函數數是是連連續(xù)續(xù)函函數數11 xxpSd)(1Sxxpxd)( 2證明證明.d)(xxpxx 21)()(1221xFxFxXxP xxpxd)( 11x 2x xxp0)( 211221xxdxxpxFxFxXxP)()()() 3().()(,)()(xpxFxxp 則則有有處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若4)(aFaXP ,d)(xxpa 1aXPaXP xxpxxpad)(d)( )(1aF xxpxxpad)(d)( .d)(xxpa 同時得以下計算公式同時得以下計算公式P40.教材注意注意

3、 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0連續(xù)型隨機變量的概率與區(qū)間的開閉無關連續(xù)型隨機變量的概率與區(qū)間的開閉無關bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP設設X為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,則有則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 注意注意連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .)3(

4、;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機變量隨機變量的值的值系數系數求求的分布函數為的分布函數為設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例1,()lim( )xaFaF x故有故有解解 (1) 因為因為 X 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量,( )lim( )-xaF aF x,)(連續(xù)連續(xù)所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121

5、aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的概率密度為的概率密度為隨機變量隨機變量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函數的分布函數求求確定常數確定常數其它其它具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設設解解,d)()( 11xxp由由例例2的的概概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030

6、 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見連續(xù)型隨機變量的分布二、常見連續(xù)型隨機變量的分布).,(,),(,)(baUXbaXbxaabxpX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量定義定義 011. 均勻分布均勻分布boaxp )(概率密度概率密度函數圖形函數圖形 ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數分布函數xo)(xF a b

7、 141教材P例例3 設隨機變量設隨機變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現現對對 X 進行三次獨立觀測進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率. X 的概率密度函數為的概率密度函數為 .,)(其它其它05231xxp設設 A 表示表示“X 的觀測值大于的觀測值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有設設Y 表示表示“3次獨立觀測中觀測值大于次獨立觀測中觀測值大于3的次數的次數”,則則., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.,)(分布分

8、布的指數的指數服從參數為服從參數為則稱則稱為常數為常數其中其中的概率密度為的概率密度為設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量定義定義XxxexpXx0000 2. 指數分布指數分布 某些元件或設備的壽命服從指數分布某些元件或設備的壽命服從指數分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命 , 電力設備的壽命電力設備的壽命, 動物的壽動物的壽命等都服從指數分布命等都服從指數分布.應用與背景應用與背景分布函數分布函數 . 0, 0, 0,1)(xxexFx 例例4 設某類日光燈管的使用壽命設某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數為服從參數為 =1/2000的指數分布的指數分布(單位單位:小時小時)(1)任

9、取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經正常使用了有一只這種燈管已經正常使用了1000 小時以小時以上上, 求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. 120001,0,( )0, 0.xexF xxX 的分布函數為的分布函數為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指數分布的重

10、要性質指數分布的重要性質 :“無記憶性無記憶性”.).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數數為為則則稱稱為為常常數數其其中中的的概概率率密密度度為為設設連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量定定義義 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)正態(tài)分布概率密度函數的幾何特征正態(tài)分布概率密度函數的幾何特征;)1(對對稱稱曲曲線線關關于于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值時時當當 ;)(,)(03 xpx時時當當;)4(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x ,;(6)( )p xx當當固固定定改改變變的的大大小小時時圖圖

11、形形的的形形狀狀不不變變 只只是是沿沿著著軸軸作作平平移移變變換換;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對對稱稱軸軸的的大大小小時時改改變變當當固固定定xp正態(tài)分布的分布函數正態(tài)分布的分布函數texFxtd21)(222)( 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產的產品尺寸正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度

12、等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應用與背景正態(tài)分布的應用與背景 正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函數不是原函數不是初等函數初等函數方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算方法二方法二:轉化為標準正態(tài)分布查表計算轉化為標準正態(tài)分布查表計算).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標標準準正正這這樣樣時時中中的的當當正正態(tài)態(tài)分分布布 標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的概率密度表示為,21)(22 xexx 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數表示

13、為標準正態(tài)分布的分布函數表示為.,d21)(22 xtexxt 標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布函數的性質：標準正態(tài)分布函數的性質： 11(0)2（）(2)( )xx (- )=1-.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例5 5 . 0828. 0 1,P X | 3.PX 1P X 11P X1 0.84130.1587| 3PX (3)( 3) 2(3) 1 2 0.9987 10.9974：正正態(tài)態(tài)分分布布與與標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布之之間間具具有有下下面面的的關關系系).1 ,

14、0(),(2NXZNX 則則若若引理引理證明證明的的分分布布函函數數為為XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 則當 時，其分布函數 可以用標準正態(tài)分布的分布函數 表示，2( ,)XN ( )F x( ) x( )F xP Xx22()21d ,2t xet,tu令得P Zx221d2x ueu()x ( )F x2( ,),.XN P cXd已知求例7解：P cXd( )( )F dF c.dc 分布函數分布函數概率密度概率密度三、小結三、小結2. 常見連續(xù)型隨機變量的分布常見連續(xù)型隨機變量的

15、分布 xttpxFd)()(.連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量1均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數分布指數分布 正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景, 例如測量例如測量誤差誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常正常情況下生產的產品尺寸情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量高度直徑、長度、重量高度;炮彈的彈落點的分布等炮彈的彈落點的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會現象中最正態(tài)分布是自然界和社會現象中最為常見的一種分布為常見的一種分布, 一個變量如果受到大量微小一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響的、獨立的隨機因素的影響, 那么這個變量一般那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機變量是一個正態(tài)隨機變量.3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二項分布、泊松分布如二項分布、泊松分布)的極的極限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布.所以所以,無論在實踐中無論在實踐中,還是在理還是在理論上論上,正態(tài)分布都是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布都是概率論中最重要的一種分布.二項分布向正態(tài)分布的轉換二項分布向正態(tài)分布的轉換解解1 xxpd)(由由, 1d03 xKex,