2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

1、2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上)(1) 已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則( )(A) . (B) .(C) . (D) .(2) 已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則=( )(A) 2. (B) .(C) . (D) .(3) 設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是( )(A) 若收斂，則收斂. (B) 若收斂，則收斂.(C) 若收斂，則收斂. (D) 若收斂，則收斂.(4) 設(shè)，則的大小關(guān)系是( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1

2、列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣，記，則( ) (A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)為矩陣，是非齊次線性方程組的個(gè)線性無關(guān)的解，為任意常數(shù)，則的通解為( ) (A) (B) (C) (D) (7) 設(shè)，為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度，是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是( ) (A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 ( ) (A) ， (B) ，(C) ， (D) ，二、填空題(914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)(9) 設(shè)，則 .(10) 設(shè)函數(shù)，則 .(11) 曲線在點(diǎn)處的切線方程

3、為 .(12) 曲線，直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 .(13) 設(shè)二次型的秩為1，的各行元素之和為3，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 (14) 設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則= 三、解答題(1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)求極限(16) (本題滿分10分)已知函數(shù)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，是的極值，求.(17) (本題滿分10分)求.(18) (本題滿分10分)證明恰有2實(shí)根.(19) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且, ，求的表達(dá)式.(20) (本題滿分11分)設(shè)向量組，不能由向量組

4、，線性表示 (I) 求的值；(II) 將由線性表示(21) (本題滿分11分)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，即，且(I) 求的特征值與特征向量；(II) 求矩陣(22) (本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量與的概率分布分別為1且()求二維隨機(jī)變量的概率分布；(II)求的概率分布；(III)求與的相關(guān)系數(shù) (23) (本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中是由與所圍成的區(qū)域(I)求邊緣概率密度；(II)求條件密度函數(shù)2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題答案一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指

5、定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因?yàn)?所以，故答案選(C).(2)【答案】(B)【解析】 故答案選(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)：收斂級(jí)數(shù)任意添加括號(hào)后仍收斂，故(A)正確.方法2：排除法，舉反例選項(xiàng)(B)取，這時(shí)收斂，但發(fā)散，故選項(xiàng)(B)錯(cuò)誤；選項(xiàng)(C)取，這時(shí)收斂，但發(fā)散，故選項(xiàng)(C)錯(cuò)誤；選項(xiàng)(D)取，這時(shí)收斂，但發(fā)散，故選項(xiàng)(D)錯(cuò)誤故正確答案為(A).(4)【答案】(B)【解析】因?yàn)闀r(shí)， ，又因是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以故正確答案為(B)(5)【答案】 (D)【解析】由于將的第2列加到第1列得矩陣，故，即，由于交換的第2行和第3行得單位矩陣，故，即故因

6、此，故選(D)(6)【答案】(C)【解析】由于是的3個(gè)線性無關(guān)的解，所以是的兩個(gè)線性無關(guān)的解，即的基礎(chǔ)解系中至少有2個(gè)線性無關(guān)的解，所以可排除(A)、(B)選項(xiàng)又因?yàn)?，所以是的解，不是的解，故排?D)選項(xiàng)，因此選(C)事實(shí)上，由于是的三個(gè)線性無關(guān)的解，所以是的兩個(gè)線性無關(guān)的解，即的基礎(chǔ)解系中至少有2個(gè)線性無關(guān)的解，亦即，故由于，所以，故這樣，的基礎(chǔ)解系中正好有2個(gè)線性無關(guān)的解，由此知是的一個(gè)基礎(chǔ)解系因?yàn)槭堑慕?，所以，因此，所以是的一個(gè)特解由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，可知的通解為(7)【答案】(D)【解析】選項(xiàng)(D) 所以為概率密度.(8)【答案】(D)【解析】因?yàn)?，所以，從而?因?yàn)椋杂?/p>

7、因?yàn)?由于當(dāng)時(shí)， ，所以二、填空題(914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)(9)【答案】.【解析】因?yàn)?，所以?(10)【答案】.【解析】,，所以，從而 或.(11)【答案】.【解析】方程的兩端對(duì)求導(dǎo)，有，將代入上式，有，解得，故切線方程為：.(12) 【答案】.【解析】如圖所示：x2y10 圖(13)【答案】【解析】因?yàn)榈母餍性刂蜑?，所以，故3為矩陣的特征值由知矩陣有兩個(gè)特征值為零，從而由于二次型在正交變換下標(biāo)準(zhǔn)形前面的系數(shù)即為二次型所對(duì)應(yīng)矩陣的特征值，所以二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為(14)【答案】【解析】根據(jù)題意，二維隨機(jī)變量服從因?yàn)椋杂啥S正態(tài)分布的

8、性質(zhì)知隨機(jī)變量獨(dú)立，所以從而有三、解答題(1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)【解析】(16) (本題滿分10分)【解析】由于為的極值，故，所以，(17) (本題滿分10分)【解析】令，則,，所以 (18) (本題滿分10分)【解析】設(shè)，則 ，令，解得駐點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，故單調(diào)遞減.又當(dāng)時(shí)，且，故時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；又，由零點(diǎn)定理可知，存在，使；所以，方程恰有兩實(shí)根.(19) (本題滿分10分)【解析】，由題設(shè)有 ，上式兩端求導(dǎo)，整理得，為變量可分離微分方程，解得，帶入，得. 所以，.(20) (本題滿分11分)【解析】(I)由于不能由線性表示，對(duì)進(jìn)行初等行變換：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不能由線性表示，故不能由線性表示(II)對(duì)進(jìn)行初等行變換：，故，(21) (本題滿分11分)【解析】(I)由于，設(shè)，則，即，而，知的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，由于，故，所以由于是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則 即解此方程組，得，故對(duì)應(yīng)的特征向量為(II) 由于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化：令，則， (22) (本題滿分11分)【解析】(I)因?yàn)椋?即 利用邊緣概率和聯(lián)合概率的關(guān)系得到；-10101/30101/301/