導(dǎo)數(shù)中的分類(lèi)討論問(wèn)題

1、導(dǎo)數(shù)中的分類(lèi)討論問(wèn)題分類(lèi)討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類(lèi)討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類(lèi)思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹(shù)立分類(lèi)討論思想,應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類(lèi)不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”一、參數(shù)引起的分類(lèi)討論例：已知函數(shù)f(x)2plnx(p1)x1,當(dāng)p0時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。解:f(x)的定義域?yàn)?0,+8),fx當(dāng)p1時(shí)，f'(x)>0,故f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增;當(dāng)0Vp<1時(shí)，令f'(x)=0,解

2、得x則當(dāng)x0,Ip時(shí)，f'(x)>0;x,2p1Ii故f(x)在0,p單調(diào)遞增，在pp2p1V2p1例：已知函數(shù)f(x)ln(x時(shí)，f'(x)<0.單調(diào)遞減.1)k(x1)1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;解：(1)f(x)k,(x1)，所以，x11當(dāng)k0時(shí)，f(x)0;當(dāng)k0時(shí)，由f(x)0得:x1-,所以，k當(dāng)k0時(shí)f(x)在1,上為增函數(shù)；11當(dāng)k0時(shí)f(x)在1,1-上為增函數(shù)；在1-,上為減函數(shù)；kk二、判別式引起的分類(lèi)討論2例：已知函數(shù)f(x)xxalnx,(aR)討論f(x)在定義域上的單調(diào)性。解：由已知得f(x)2x1亙&一xa,(x0),xx1

3、.一.(1)當(dāng)18a0,a時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)在(0,)上為增函數(shù).81(2)當(dāng)18a0,a時(shí)，81i)0a一時(shí),81；r-8a21 J8a0,f(x)在2i；T-8aiina上為減函數(shù)，f(x)在(0,1一18a,J18a22)上為增函數(shù),2 a0時(shí)Ta118a0,故f(x)在0,-一吧上為減函數(shù),2f(x)在118a,十00)上為增函數(shù).2，斗一.1一.綜上，當(dāng)a時(shí)，f(x)在(0,)上為增函數(shù)；81118a1.18a,斗竹。將當(dāng))0a一時(shí)，f(x)在,上為減函數(shù),822f(x)在(0,a,Li)上為增函數(shù),22當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0+°°)上為增函

4、數(shù).18a上為減函數(shù)，f(x)在2118a2三、二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間引起的分類(lèi)討論2.9例：已知函數(shù)f(x)=-2x+2ax+3x令9(刈=2+1)+3-小)若g(x)在,1、(-,)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.222解：由已知得g(x)ln(x1)3(2x4ax3)ln(x1)2x4ax,14x24(1a)x14ag(x)4x4ax1x1，1、一又當(dāng)x(一，)時(shí)，恒有x10,44a82一2設(shè)h(x)4x4(1a)x14a苴對(duì)稱(chēng)軸為xa11一(i)當(dāng)一，即a0時(shí)，應(yīng)有22解得：2a0,所以a16(1a)216(14a)0時(shí)成立，a111一1(ii)當(dāng),即a0時(shí)，應(yīng)有h(-)0即：14(

5、1a)-14a02222綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是a四、二項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論4.已知函數(shù)f(x)(a1)lnx2ax1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;設(shè)a02,求證：對(duì)任意xi,x2(0,十00),|f(xi)-f(x2)|>4|xi-X2|.解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,十8),2,(x)上+2ax=至qxx當(dāng)a0時(shí)，f'(x)>0,故f(x)在(0,十8)上單調(diào)遞增.當(dāng)a<-1時(shí)，f'(x)<0,故f(x)在(0，+00)上單調(diào)遞減.當(dāng)一1<a<0時(shí)，令f'(x)=0,解得x=y-a+1石'則當(dāng)x(0,2a時(shí)，f&

6、#39;(x)>0；當(dāng)x2a)時(shí)，f(x)0;故f(x)在(0,a1.田一上單調(diào)遞增，在2a(a2a1)上單調(diào)遞減.(2)不妨設(shè)x1>x2.由于a02,故f(x)在(0,+00)上單調(diào)減少,所以|f(x。f(xz)|)4|x1x?|等價(jià)于f(x2)f(x】)>4x1-4x2,即f(x2)+4x2>f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,則a+1,“2ax2+4x+a+1十2ax+4=于是g'(x)&2x121<0.從而g(x)在(0,十00)上單調(diào)減少，故g(x】)Wg(x2),即f(x。+4x7f(x2)+4x2,故對(duì)任意x1,X2C(0

7、,+8),|f(Xi)f(X2)|>4|X1-X2|.三、針對(duì)性練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)aInxax(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；3(aR且a0)(口)當(dāng)a2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)(p2)xp2e3,若在區(qū)間1,e上至少存在一個(gè)x0,使得h(x0)f(Xo)成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍.解：(I)由f(x)a(-x)知:x當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0,1）,單調(diào)減區(qū)間是（1,）;當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1,），單調(diào)減區(qū)間是（0,1）；（口）a2,f(x)2lnx2x3.令F(x)h(x)f(x),1.2.則F(x)(p2)x2e32Inx2x3px2exxx.p2e_當(dāng)p0時(shí)，由x1,e得px-0,2lnx0,x'x從而F(x)0,所以，在1,e上不存在x0使得h(x0)f(x°)；2當(dāng)p0時(shí)，F(xiàn)(x)-pxxy-p-e,x1,e,2e2xx2pxp0,F(x)0在1,e上恒成立，故F(x)在1,e上單調(diào)遞增。F(x)maxF(e)pe-p-4e2lnx.0,故只要pe4e綜上所述，p的取值范圍是4ee21(上(2,e122.已知函數(shù)f(x)xaxaln(x1)(aR）,求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;解：f'(x)2xa2x(x-2)2_x1若a0時(shí)，則21,f(x)22x(xa2&q