平面向量重難點(diǎn)解析知識(shí)講解

1、平面向量重難點(diǎn)解析課文目錄2.1平面向量的實(shí)際背景及根本概念2.2平面向量的線性運(yùn)算2.3平面向量的根本定理及坐標(biāo)表示2.4平面向量的數(shù)量積2.5平面向量應(yīng)用舉例目標(biāo)：1、理解和掌握平面向量有關(guān)的概念；2、熟練掌握平面向量的幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算；3、熟悉平面向量的平行、垂直關(guān)系和夾角公式的應(yīng)用；4、明確平面向量作為工具在復(fù)數(shù)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等方面的應(yīng)用;重難點(diǎn)：重點(diǎn)：向量的綜合應(yīng)用.難點(diǎn)：用向量知識(shí),實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.【要點(diǎn)精講】1 .向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2 .向量的表示方法：uuur用有向線段表示-AB(幾何表示法)；rr用字母a、b

2、等表不(字母表不法)；平面向量的坐標(biāo)表示(坐標(biāo)表示法)：rr分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.任作一個(gè)向量a,由平rr面向量根本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得axiyj,(x,y)叫做向量a的(直r角)坐標(biāo),記作a(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),特Irrr_r24,、利地,i(1,0),j(0,1),0(0,0).a|yxy;右人區(qū)小),B(x2,y2),那么ABx2x1,y2y1,AB|.；(x2xi)2(y2y1)23 .零向量、單位向量：-1-1 長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記為0;*長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.(注：-a

3、-就是單位向量)|a|4 .平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；r我們規(guī)定0與任一向量平行r平行,記作a/bc.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.rurrr性質(zhì)：a/bb0arr、40,b與a同向r方向-rrb是唯一0,b與a反向長(zhǎng)度-|a|brrrra/b(b0)rx1y2x2yl0(其中ar(x/),b(X2,y2)5 .相等向量和垂直向量：相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量垂直向量?jī)上蛄康膴A角為一2rrrr性質(zhì)：abagb0rirrrabX1X2yiy20其中a為,必,bX2,y26 .向量的加法、減法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.向量加法的三角形

4、法那么和平行四邊形法那么.平行四邊形法那么：uuLrrrACab起點(diǎn)相同的兩向量相加,常要構(gòu)造平行四邊形uiurrrDBab三角形法那么加法減法首尾相連終點(diǎn)相連,方向指向被減數(shù)加法法那么的推廣:uuuuuuurABnAB1nuurB1B2uiuiuurBniBnuruu即n個(gè)向量a1,a2,uuran0urururan首尾相連成一個(gè)封閉圖形,那么有a1a2向量的減法向量a加上的b相反向量,叫做a與b的差.即：ab=a+b；差向量的意義：OA=a,OB=b,那么BA=ab平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：假設(shè)r(x1,yi),b(X2,y2)rr,貝!1ab(x1X2,y1y2),(XiX2,yiy2),r,

5、、a(x,y).向量加法的交換律a+b=b+a；向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)常用結(jié)論:UJLT1ULUULU(1)假設(shè)AD-(ABAC),那么D是AB的中點(diǎn)(2)或G是ABC的重心,那么uuuGAUUUUULTGBGC7 .向量的模：ruuu1、定義：向量的大小,記為|a|或|AB|2、模的求法:rr假設(shè)a(x,y),那么|a|Jxy假設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y),UUU那么|AB|(XXi)2(y2yi)23、性質(zhì):r2|a|2r2a;r|a|b(b0)r22一|a|b(實(shí)數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)系)r_r.|a|2|b|2,反之不然(3)三角不等式:rrrrrr|a|b|

6、ab|a|b|rrrrrr(4)|agb|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)取“=)rrrrrrrrrrrr即當(dāng)a,b同向時(shí),agb|a|b|；即當(dāng)a,b同反向時(shí),a8|a|b|(5)平行四邊形四條邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和,r2r2rr2rr2即2|a|2|b|ab|ab|8.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量,記作：入(i)|入a|=|入|a|;(2)入>0時(shí)入a與a方向相同；入<0時(shí)入a與a方向相反；入=0時(shí)入a=0；(3)運(yùn)算定律入(科a)=(入n)a,(入+科)a=xa+科a,入(a+b)=ia+入b交換律:rragorrbga；分配律:r(arrb)gc0)k

7、urrrra*b*r.-b)=a(rb);不滿足結(jié)合律：即rrr(agb)gcrrragbgc)向量沒(méi)有除法運(yùn)算.如:adpcgb2r-ra8都是錯(cuò)誤的(4)兩個(gè)非零向量rra,b,它們的夾角為rrrragb=|a|b|cosr坐標(biāo)運(yùn)算：a(Xi,yi),b(X2,y2),那么a3x1x2V1V2uur(5)向量ABra在軸l上的投影為:rIaIcosrr(為a與n的夾角,rn為l的方向向量)r-其投影的長(zhǎng)為A/B/rragnrr(6)a與b的夾角|n|rr和a8的關(guān)系:rn+|n|r為n的單位向量)(1)當(dāng)0時(shí),rra與b同向；當(dāng)rr時(shí),a與b反向(2)為銳角時(shí),那么有rragb0rra,b

8、不共線為鈍角時(shí),那么有agbrra,b不共線9.向量共線定理：向量b與非零向量a共線(也是平行)的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入,10.平面向量根本定理:如果e,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1,入2使a=11e；+入2e；.(1)不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;(4)基底給定時(shí),分解形式推(3)由定理可將任一向量a在給出基底e、e2的條件下進(jìn)行分解;入1,入2是被a,e1,e2唯一確定的數(shù)量.向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即假設(shè)A(x,y)

9、,那么OA=(x,y);當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么AB=(x2-x1,y2-y1)個(gè)實(shí)數(shù)(可正、可11 .向量a和b的數(shù)量積:ab=|a|b|cos,其中0,兀為a和b的夾角.|b|cos稱為b在a的方向上的投影.ab的幾何意義是：b的長(zhǎng)度|b|在a的方向上的投影的乘積,是負(fù)、也可是零),而不是向量.假設(shè)a=(x1,y1),b=(X2,、2),那么a?bX1X2YiY2運(yùn)算律：a-b=b-a,(入a)-b=a(入b)=入(ab),(a+b)c=a-c+bc.a和b的夾角公式:cosa?bx1x2y1y22222y1.

10、X2y2a?aa2|a|2=x2+y2,或|a|二Jx2y2Va2a-b|<|a|b|.xiX2x3y1y2y312 .兩個(gè)向量平行的充要條件:符號(hào)語(yǔ)百：假設(shè)a/b,aW0,那么a=X坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)a=(X1,y1),b=(x2,y2),那么a/b(x1,y1)=入(x2,y2),即1y1或X1y2-x2y1=0在這里,實(shí)數(shù)入是口t一存在的,當(dāng)a與b同向時(shí),入0;當(dāng)a與b異向時(shí),入0.|入|二回,入的大小由a及b的大小確定.因此,當(dāng)a|b|定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中入的幾何意義.13 .兩個(gè)向量垂直的充要條件:符號(hào)語(yǔ)言：a±ba-b=0坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,

11、y2),那么ab,b確定時(shí),入的符號(hào)與大小就確x1x2+y1y2=0例1、如圖,OA,OB為單位向量,OA與OB夾角為-c120,OC與OA的夾角為045,【典型例題】|OC|=5,用OA,OB表示OC.解題思路分析：以O(shè)A,OB為鄰邊,OC為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形把向量OC在OA,OB方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)OE=入OA,OD=OB,入>0,>>0貝UOC=入OA+科OBIOA|=|OB|=1入=|OE|,廠|OD|OE|CE|/E=6C0,/OCE=7&|OC|sin750sin6005(326由gsin750|OC|sin600|CE|玲得:|OC|sin450s

12、in6005.635、.63OC5(326)oa56OB3是向量中的根本而又重要的問(wèn)題,通常說(shuō)明：用假設(shè)干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量,通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理D和向例2、ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求點(diǎn)量AD坐標(biāo).解題思路分析:用解方程組思想設(shè)D(x,y),那么AD=(x-2,y+1)BC=(-6,-3),ADBC=0-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0BD=(x-3,y-2),BC/BD-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y+1=0由得：xOC|=6,/AOC=BOCy1D(1,1),AD=(-1,2)的坐標(biāo).例3、求與

13、向量a=(V3,-1)和b=(1,超)夾角相等,且模為&的向量c解題思路分析：用解方程組思想法一：設(shè)c=(x,y),貝Uac=V3x-y,b,c=x+J3yacbc1aHe|1bHe|,3xyx,3y即x(2封y又Ic|=2x2+y2=2x由得y、.312.3122(舍)312法二：從分析形的特征著手11|a|=|b|=2a-b=0AO斯等腰直角三角形,如圖C為AB中點(diǎn)/3131、C(,-)說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算.例4、在OABW邊OAOB上分別取點(diǎn)MN,使|OM|：|OA|=1：3,|ON|：|OB|=1:4,設(shè)線段AN與Bg于點(diǎn)巳記O

14、A=a,b表示向量OP.解題思路分析:B、P、M共線記BP=sPMOP1ssOBOM1s-OBs后)0A,b1s同理,記APPN1OP=a1tt4(r一bt)b不共線11由得11s3(1s)t4(1t)解之得:928382OPa-b1111說(shuō)明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進(jìn)而引入?yún)?shù)(如s,t)是常用技巧之一.平面向s,t的方程.(1)利用向量知識(shí)判定點(diǎn)(2)假設(shè)/PED=45,求證:P在什么位置時(shí),/PED=45;P、D、C、E四點(diǎn)共圓.量根本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于例5、長(zhǎng)方形ABCDAB=3,BC=2,E為BC中點(diǎn),P為AB上一點(diǎn)解題思路分析:利用坐標(biāo)系可以確

15、定點(diǎn)P位置如圖,建立平面直角坐標(biāo)系那么C(2,0),D(2,3),E(1,0)設(shè)P(0,V)ED=(1,3),EP=(-1,y)|ED|.10,|EP|.y21EDEP=3y-1代入cos450=EDEPIED|EP|1 .斛之得y(舍),或y=22,點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處(3)當(dāng)/PED=45時(shí),由(1)知P(0,2)PD=(2,1),EP=(-1,2)EP-PD=0/DPE=90又/DCE=90D、P、E、C四點(diǎn)共圓說(shuō)明：利用向量處理幾何問(wèn)題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；得到結(jié)論.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量的概念、向量的根本定理

16、【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景,掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念,理解向量的幾何表示,掌握平面向量的根本定理.注意對(duì)向量概念的理解,向量是可以自由移動(dòng)的,平移后所得向量與原向量相同；兩個(gè)向量無(wú)法比擬大小,它們的模可比擬大小.如果5和e；是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使a=11e；+入2易.注意：假設(shè)e；和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共,向量,【命題規(guī)律】有關(guān)向量概念和向量的根本定理的命題,主要以選擇題或填空題為主,考查的難度屬中檔類型.rr例1、(2007上海)直角坐標(biāo)系xOy中,i,j分別是與x,y軸正萬(wàn)向同向的

17、單位向量.在直角三角形ABC中,假設(shè)AB2ij,AC3ikj,那么k的可能值個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解：如圖,將A放在坐標(biāo)原點(diǎn),那么B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,k),所以C點(diǎn)在直線x=3上,由圖知,只可能A、B為直角,C不可能為直角.所以k的可能值個(gè)數(shù)是2,選B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查向量的坐標(biāo)表示,采用數(shù)形結(jié)合法,巧妙求解,表達(dá)平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想.uuuuuu例2、(2007陜西)如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA、OB、OC,其中與OA與OB的夾角uuuuuu為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,一4一一uuu一一|OC|=2v3,

18、假設(shè)OC=入OA+OB(入,CR),那么入+!1的值為可得平行四邊形,由角BOC=902+4=6OA與向量OB作為基底表示出來(lái)會(huì)用平行四邊形法那么、三角形法解：過(guò)c作oA與oC的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交,角AOC=30,|OC|=2小得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4,點(diǎn)評(píng)：此題考查平面向量的根本定理,向量OCffi向量后,求相應(yīng)的系數(shù),也考查了平行四邊形法那么.考點(diǎn)二：向量的運(yùn)算【內(nèi)容解讀】向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算,那么進(jìn)行向量的加減運(yùn)算；掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算,理解兩個(gè)向量共線的含義,會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算,體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系,并理解其幾何意義

19、,掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算,能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.【命題規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn),難度不大,考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算,有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合.例3、(2021湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),那么(a+2b)c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6),(a+2b)c(5,6)(3,2)3,選C點(diǎn)評(píng)：此題考查向量與實(shí)數(shù)的積,注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量,向量的加法運(yùn)算,結(jié)果也是一個(gè)向量,還考查了向

20、量的數(shù)量積,結(jié)果是一個(gè)數(shù)字.>-K»*例4、(2021廣東文)平面向量a(1,2),b(2,m),且a/b,那么2a3b=()A.(-2,-4)B.(-3,-6)C.(-4,-8)D.(-5,-10)解：由a/b,得m=4,所以,2a3b=(2,4)+(6,12)=(4,8),應(yīng)選(C).點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)向量平行,其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍,也是共線向量,注意運(yùn)算的公式,容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆.例5、(2021海南、寧夏文)平面向量a=(1,3),b=(4,2),ab與a垂直,那么是A.-1B.1rr解：由于abC.-24.3D.2rrrr2,a1,3,aba43320,即

21、10100點(diǎn)評(píng)：此題考查簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,注意不要出現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò),由于這是一道根底題,要爭(zhēng)取總分值.例6、2021廣東理在平行四邊形ABCD43,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.假設(shè)ACa,BDb,那么而1r1r2rA.-a-bB.-a423-1-解：AOa,AD21b3AO1r1rC.abD.241-1ODab,221AE-(AOAD)1a1b,24由A、E、F三點(diǎn)共線,知AFAE,1而滿足此條件的選擇支只有B,應(yīng)選B.點(diǎn)評(píng)：用三角形法那么或平行四邊形法那么進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算是向量運(yùn)算的一個(gè)難點(diǎn),表達(dá)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.例7、2021江蘇

22、向量r0.r.a和b的夾角為120,|a|rr1,|b|3,那么15arb|解:5ab2rr2r2rrr25ab25a10a?bb=25121013：3249,rr5ab7點(diǎn)評(píng)：向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)常考查的內(nèi)容,難度不大,只要細(xì)心,運(yùn)算不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可.考點(diǎn)三：定比分點(diǎn)【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,并能熟練應(yīng)用,求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí),可借助圖形來(lái)幫助理解.【命題規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式,主要以選擇題或填空題型出現(xiàn),難度一般.由于向量應(yīng)用的廣泛性,經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù),解析幾何一并考查,假設(shè)出現(xiàn)在解做題中,難度以中檔題為主,偶爾也以難度略高的題目.例8、2021湖南理

23、設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BCCAAB上的點(diǎn),且uuuruuruuuDC2BD,CEuuuuuiruuuuuruuuuuruuu2EA,AF2FB,那么ADBECF與BC()A.反向平行B.同向平行uuur12uuu1uuir2uuuuur1uuu2uuuBEBCBA,CF-CACB3333uuirADuuuBEuuirCF1uuurBC.所以選1A.解：由定比分點(diǎn)的向量式得：AD3點(diǎn)評(píng)：利用定比分點(diǎn)的向量式,及向量的運(yùn)算,是解決此題的要點(diǎn)C.互相垂直D.既不平行也不垂直uuuuuuAC2AB1uuu；2uuu-AC-AB,同理,有:33以上三式相加得考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題【內(nèi)容

24、解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題,考查了向量的知識(shí),三角函數(shù)的知識(shí),到達(dá)了高考中試題的覆蓋面的要求.【命題規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo),以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合,也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問(wèn)題,屬中檔偏易題.r例9、2021深圳福田等向量a(V3sinx,cosx),b(cosx,cosx),函數(shù)rrf(x)2ab1求fx的最小正周期；2一時(shí),假設(shè)2f(x)1,求x的值.解：(1)f(x)2點(diǎn)sinxcosx22cosx3sin2xcos2x2sin(2x-).所以,T=(2)由f(x)1,得sin2x6點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)

25、,x一,一,2x-6262x-3但通常難度不大,一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件,并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算,而考查的主體局部那么是三角函數(shù)的恒等變換,以及解三角形等知識(shí)點(diǎn)例10、2007山東文在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,ctanC3".(1)求cosC;uuruuu5(2)假設(shè)CB?CA-,且ab9,求c.2解：(1)QtanC3>/7,snC3日cosC2_2.又QsinCcosC1解得cosC1QtanC0,C是銳角.cosC-.8ab20.22ab41.iunurn55又Qab9a22abb281.(2)由CB?CA-,abcosC-,22ca

26、b2abcosC36.c6.點(diǎn)評(píng)：此題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合,考查向量的數(shù)量積,余弦定理等內(nèi)容.例11、(2007湖北)將y得圖象的解析式為()八八x兀八A.y2cos一一234C. y2cos2312解：由向量平移的定義,2cosx-的圖象按向量a36x任B.y2cos-234D. y2cos-23122平移,那么平移后所4在平移前、后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)UULTfrTT_'_''''_那么a2PPxx,yyxx,yy2,代入到解析式中可44得選A點(diǎn)評(píng)：此題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的根本知識(shí),以平移公式切入,為中檔題.注意不要將向量與對(duì)

27、應(yīng)點(diǎn)的順序搞反,或死記硬背以為是先向右平移一個(gè)單位,再向4下平移2個(gè)單位,誤選C考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問(wèn)題,主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題為主,要注意自變量的取值范圍.【命題規(guī)律】命題多以解做題為主,屬中檔題.33.xx例12、(2021廣東k校聯(lián)考)向重a=(cosx,sinx),b=(cos-,sin-),2222且xe0,.(1)求ab(2)設(shè)函數(shù)f(x)ab+ab,求函數(shù)f(x)的最值及相應(yīng)的x的值.解：(I)由條件：0x一,得:2,3xx.3x.x、(coscos-,sinsin-)2222x、2cos-)23x.x、2(sinsin-)22

28、(2)f(x)3xx2sinxcoscos2222sinx2sinx1.3x.xsinsin222sinxcos2x2(sinxg)2由于：0x所以,只有當(dāng):一,所以：0sinx121,、3x萬(wàn)時(shí),fmax(x)0,或x1時(shí),fmm(x)1點(diǎn)評(píng)：此題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí),經(jīng)過(guò)配方后,變成開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象,要注意sinx的取值范圍,否那么容易搞錯(cuò).考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【內(nèi)容解讀】向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后,使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化,這樣就可以將“形和“數(shù)緊密地結(jié)合在一起.因此,許多平面幾何問(wèn)題中較難解決的問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)化為大家熟

29、悉的代數(shù)運(yùn)算的論證.何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo),幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算,從而使問(wèn)題得到解決.【命題規(guī)律】命題多以解做題為主,屬中等偏難的試題.例13、如圖在RtABC中,BC=a假設(shè)長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn),問(wèn)PQ與BC的夾角取何值時(shí),BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值.解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b,那么A(0,0),B(c,0),(x,C(0,y)b).且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的那么Q(-x,-yBP(xc,y),CQx,b),BC(c,b)

30、例13圖2y).也就是把平面幾這樣將有關(guān)平面BPCQ(xc)(x)y(yb)/22、,(xy)cxby.cosBCPQcxby-2|BC|PQ|a,22cos2x2sinx=0PQ與BC方向相同cx-by=a2cos.BPCQ=-a2+a2cos.故當(dāng)cos=1,即時(shí),BPCQ的值最大,其最大值為0.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查向量的概念,運(yùn)算法那么及函數(shù)的有關(guān)知識(shí),平面向量與幾何問(wèn)題的融合.考查學(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問(wèn)題的水平.平面向量全章檢測(cè)說(shuō)明：本試卷分第I卷和第n卷兩局部.第I卷60分,第n卷90分,共150分,做題時(shí)間120分鐘.第I卷選擇題,共60分一、選擇題每題5分,共60分,請(qǐng)將所選答

31、案填在括號(hào)內(nèi)1 .在ABC,一定成立的是A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA2 .ABC,sin2A=sin2日sin2C,那么ABCjA.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形3 .在ABC較短的兩邊為a2V2,b2、3,且八=45.,那么角.的大小是A.15°B.75C.120°D,60°4 .在abcf,|AB|4,|而11sABC73,那么aBaC等于A.-2B.2C±2D.±4a15 .設(shè)A是ABC中的最小角,且cosA,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1A

32、.a>3B.a>-1C.-1<a<3D.a>06 .在ABC,三邊長(zhǎng)AB=7,BO5,AG6,那么ABBC等于A.19B.-14C.18D.197 .在ABC,A>B是sinA>sinB成立的什么條件A.充分不必'要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8 .假設(shè)ABC勺3條邊的長(zhǎng)分別為3,4,6,那么它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個(gè)三角形的面積比是A.1：1B.1：2C.1：4D,3：49 .向量a1,1,b2,3,假設(shè)ka2b與a垂直,那么實(shí)數(shù)k=A.1B.-1C.0D.210 .向量a=cos,sin,向量b=J3,1,那么|

33、2ab|的最大值是A.4B.-4C.2D.-211 .a、b是非零向量,那么|a|=|b|是a+b與ab垂直的A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12 .有一長(zhǎng)為1公里的斜坡,它的傾斜角為20.,現(xiàn)要將傾斜角改為10.,那么坡底要伸長(zhǎng)()A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里第n卷(非選擇題,共90分)二、填空題(每題4分,共16分,答案填在橫線上)13 .在ABN,BG3,AB=2,且snC-(/61),A=.sinB514 .在ABC中,AB=l,/C=50°,當(dāng)/B=時(shí),BC的

34、長(zhǎng)取得最大值.15 .向量a、b滿足(a-b)(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,那么a與b夾角的余弦值等16 .a±bc與a、b的夾角均為60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,貝U(a+2bc)?=-三、解做題(本大題共74分,17-21題每題12分,22題14分)17 .設(shè)e1、e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,且a=3e+2e2,b=-3e1+4e2,求ab.18 .設(shè)三角形各角的余切成等差數(shù)列,求證：相應(yīng)各邊的平方也成等差數(shù)列19 .ABC中,A(2,1),B(3,2),C(-3,1),BC邊上的高為AQ求AD及D點(diǎn)坐標(biāo).ABC20 .如圖,半圓O的直徑MN2,OA=2,B為半圓上任意一點(diǎn),以AB為一邊作正三角形問(wèn)B在什么位置時(shí),四邊形OAC的積最大？最大面積是多少