排列組合及概率統(tǒng)計基礎(chǔ).

1、這類問題在各種考試中出現(xiàn)得都比較多，關(guān)鍵在于熟練，同時要注意審題，題意是可能設(shè)置陷阱的地方。10排列組合及概率統(tǒng)計基礎(chǔ)考綱解析排列組合及概率論部分的內(nèi)容是比較重要的，因為它很容易和別的部分的知識結(jié)合起來，例如條件概率或一些概率分布很容易運用在可靠性計算及圖、路徑和一些相應(yīng)的算法問題上，所以在復(fù)習(xí)中一定要靈活掌握，從原理出發(fā)，活學(xué)活用，能夠根據(jù)例題將知識運用到別的方面上。資源鏈接本講對應(yīng)CIU視頻資源：概率論及數(shù)理統(tǒng)計.jblo本講內(nèi)容10.1 排列組合基礎(chǔ)10.1.1 排列的基本概念及實例從n個不同的元素中，任取m(mwn)個元素(被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中

2、取出m個元素的一個排列。如果元素和順序至少有一個不同。則叫做不同的排列。元素和順序都相同的排列則叫做相同的排列。排列數(shù)的計算公式為Am=n(n-1)(n-2)(n-m+1)(其中mX2X1=7!=5040。(3) 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作余下的6個元素的全排列A6=720o(4) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計數(shù)原理，第一步，甲、乙站在兩端有A2種；第二步，余下的5名同學(xué)進行全排列有A5種，則共有AA5=240種排列方法。(5) 7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一(直接法

3、)：第一步，從(除去甲、乙)其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有片種方法；第二步，從余下的5位同學(xué)中選5位進行排列(全排列)有咫種方法，所以一共有AA5=2400種排列方法。解法二：(排除法)若甲站在排頭有a6種方法；若乙站在排尾有A5種方法；若甲站在排頭，且乙站在排尾則有若種方法。所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有a；-2A6+A5=2400種。:10.27位同學(xué)站成一排。(1)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素與其余的5個元素(同學(xué))一起進行全排列有A6種方法；再將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有A2種方法。所以這樣的排法

4、一共有AA22=1440種。(2)甲、乙和丙三個同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上，一共有AA3=720種。(3)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2個元素放在排頭和排尾，有片種方法；將剩下的4個元素進行全排列有A：種方法；最后將甲、乙兩個同學(xué)“松綁”進行排列有A2種方法。所以這樣的排法一共有AA4A2=960種方法。解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，綁后松，關(guān)鍵若丙站在排頭或排尾有2A；種方法，所以

5、丙不能站在排頭和排尾的排法有652(A62A5)A=960種萬法。解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有A：種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有A5種方法，最后將甲、乙兩同學(xué)“松綁”，所以這樣的排法一共有A；A5Af=960種方法。10.1.2 組合的基本概念及實例一般地，從n個不同元素中取出m(m(n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中取出m(m(n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號C：表示。組合數(shù)的計算公式為：Cn(

6、nf(n-2)(nm刃或/n(n,mwN*,且m0,P(Q)=1。滿足下列兩條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型：(1)所有基本事件是有限個；(2)各所含的樣本點總數(shù)，即試驗的A發(fā)生的基本事件數(shù)為Na,則基本事件發(fā)生的可能性相同。在古典概型中，設(shè)其樣本空間基本事件總數(shù)為NQ而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件事件A的概率便定義為:_NA_A包含基本事件數(shù)一而一基本事件總數(shù)古典概率安力10.5(取球問題)袋中有5個白球，3個黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。(1)有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后放回袋中，再取下一個球。(2)無放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個，看后不再放回袋中，再取下一

7、個球。一次取球：從袋中任取3個球。在以上取法中均求A=恰好取得2個白球的概率。解：(1)有放回取球Nq=88X8=83=512(袋中八個球，不論什么顏色，取到每個球的概率相等)Na31x5X3=2；35231=225(先從三個球里取兩個白球，第一次取白球有(2)無放回取球Nq=8父76=A3=336,Na=5M4父3=3lA2A3=180,故Na180PA0.54。Nd336(3)一次取球Na8-81I=56,NaJ31511:30,2JU故P(A尸*=N-53II21-30-0540.54。8563古典概率具有下面的性質(zhì)。若A=B,則P(B-A)=P(B)-P(A)。即差的概率等于概率之差。

8、若A=B,則P(A)WP(B)。即概率的單調(diào)性。P(A)W1,對任意事件A,P(A)=1-P(A)。對任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。,10.6設(shè)A,B,C為三個事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。概率的這解：由于ABC-AB,故0P(ABC),第三次取黑球只有三種情況)Na225P(A=-=0.44。應(yīng)用中，W15122 條件概率在實際問題中，常常需要計算在某個事件B已發(fā)生的條件下，另一個事件A發(fā)生的概率。在概率論中，稱此概率為事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生

9、的條件概率，簡稱為A對B的條件概率，記為P(A|B)。一般地，因為增加了“事件B已發(fā)生”的條件，所以P(A|B)#P(A)。設(shè)A、B為兩個事件，且P(B)0,則稱P(AB)為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，P(B)記為P(A|B)=P(AB)。再看一下乘法公式：設(shè)有事件A和B,若P(A)0或P(B)0,由概P(B)率得P(AB)=P(A)P(B|A),或P(AB)=P(B)P(A|B)。再看n個事件的情況，設(shè)有n個事件A1,A2,-An,若P(A1A2An)0,則有P(A1A2An)=P(A1)P(A2-1尸/3小2)P(An|A1A2An)。事實上，由事件的包含關(guān)系A(chǔ)nAA2nAA2A

10、3n.n2人2.4,有P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3)P.AP(A1A2An”0,故公式右邊的每個條件概率都是有意義的，于是由條件概率定義可得P(A)P(A2|A)P(A3|A1A2).P(An|A1A2.AnQP(A1A2)P(A1A2A3)P(AA2.An)二P(A1)P(A1)P(A1A2)P(A1A2.An)=P(A1,A2,.An)o少10.7甲、乙和丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個難題簽，按甲先、乙次及丙最后的次序抽簽。求甲抽到難題簽、甲和乙都抽到難題簽、甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽及甲、乙和丙都抽到難題簽的概率。解：

11、設(shè)A,B和C分別表示甲、乙和丙各抽到難題簽的事件，則有P(A)4210一5432P(AB)=P(A)P(B|A)=m=g，434P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-二),10915_4321P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB):109830在概率中，還經(jīng)常利用已知的簡單事件的概率，推算出未知的復(fù)雜事件的概率。為此,常需把一個復(fù)雜事件分解為若干個互不相容的簡單事件的和，再由簡單事件的概率求得最后結(jié)果，這就需要用到全概率公式。在很多實際問題中若事件A發(fā)生的概率的計算比較困難,則可利用全概率公式轉(zhuǎn)為尋求劃分Bi,B2,Bn及計算P(Bi)和P(A|Bi)的問題。寫10.8盒中有12只

12、新乒乓球，每次比賽時取出3只，用后放回，求第3次比賽時取到的3只球都是新球的概率。解：設(shè)A表示第3次比賽取到3只新球的事件，Bi(i=0,1,2,3)表示第2次取到i只新球c9c3_ic3n的事件，由P(Bi)=933,P(A|Bi)=,得P(A)=P(R)P(A|Bi)=0.146。C12C12i4:妙10.9某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)0.10.20.410.20.1概率01234現(xiàn)進行抽樣檢驗，從每批中隨機抽取出10件來檢驗，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認為該批產(chǎn)品不合格，求一批產(chǎn)品通過檢驗的概率。解：設(shè)A表示一批產(chǎn)

13、品通過檢驗的事件，Bi(i=0,1,2,3,4)表示一批產(chǎn)品中含有i件次品，C10則由P(B0)=0.1,P(A|B0)=1,P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(A|B1)=99=0.900,C100C10C10C98C97P(A|B2)=湍=0.809,P(B3)=0.2,P(A|Bs)=舟=0.727,C100C100C10nP(B4)=0.1,P(A|B,)=逐=0.652,得P(A)=ZP(B”C100im=0.1父1+0.2父0.900+0.10.809+0.20.727+00.652定0.814。2 貝葉斯公式設(shè)A為樣本空間。的事件，B1,B2,Bn為建的一個劃分，且P(A

14、)0,P(Bi)0,則P(Bi|A)=nP(Bi)P(A|Bi)i=1,2,n。這一公式稱為貝葉斯公式。若把A視為觀察的“結(jié)、P(Bi)P(A|Bi)j1果”，把B1,B2,Bn理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并做出了“由果溯因”的推斷。B發(fā)生喙A發(fā)生那的轉(zhuǎn)換，解題意?；?0.10設(shè)某工廠甲、乙和丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%和20%。且各車間的次品律依次為4%,2%和5%?，F(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，問該產(chǎn)品是由哪個車間生產(chǎn)的可能性大？解：設(shè)A表示產(chǎn)品為次品的事件，Bi,B2,B3分別表示產(chǎn)品有甲、乙和丙車間生產(chǎn)的事件，則由P(B)=45

15、%,P(B2)=35%,P(B3)=20%,P(A|Bi)=4%,P(A|B2)=2%,P(A|B3)=5%,得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)于是有P(B1A)0.450.44P(B1|A)=1=之0.514；P(A)0.035P(B2A)0.350.02P(B2|A)20.200；P(A)0.035P(B3A)0.200.05cc”P(B3|A)=fc0.2860P(A)0.035可知該產(chǎn)品是由甲車間生產(chǎn)的可能性最大。2 事件的獨立性及貝奴里實驗設(shè)事件A,B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B是相互獨立的。若事件A,B相互獨立，

16、且P(A)0,則有P(B|A)=P(AB2=P(A)P(B)=P(B),在實際問題中，常常不是根P(A)P(A)據(jù)定義來判斷事件的獨立性，而是由獨立性的實際含義，即一個事件發(fā)生并不影響另一個事件發(fā)生的概率來判斷兩事件的相互獨立性。假設(shè)在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，并且每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；同時在每次試驗中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p；而各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為貝努里概率模型，或稱為n重貝努里試驗。在n重貝努里試驗中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。若Pn(k)表示n重貝努里試驗中A出現(xiàn)k(0WkWn)次的概率，P(A)=p,P(A)=1p=q,則n重貝

17、努里試驗A中出現(xiàn)k次的概率計算公式為P(k)=Ckpkqn”,k=0,1,2,，n。1%10.11一大樓有5個同類型的獨立供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任意時刻t,每個設(shè)備被使用的概率為0.1,問在同一時刻，(1)恰有兩個設(shè)備被使用的概率是多少？(2)至少有三個設(shè)備被使用的概率是多少？(3)至多有三個設(shè)備被使用的概率是多少？(4)至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？解：在同一時刻觀察5個設(shè)備，它們工作與否是相互獨立的，故可視為5重貝努里試驗，p=0.1,q=1-0.1=0.9,于是可得p1=已(2)=d(0.1)2(0.9)3=0.0729。5p2=F5(3)+P5(4)+P5(5)=C：(0.1)k(

18、0.9)5*=0.00856。kW3P3=P5(0)+P5+巳+P5(3)=Ck(0.1)k(0.9)54=0.99954。k=0p4=1_P5(0)=1_(0.9)5=0.40951o注意對于型隨機變說關(guān)鍵它的離散作用域是個獨立的取值時要幾個點就一個區(qū)二項分布意和貝奴驗的對應(yīng)2 離散型隨機變量及其分布為了使各種不同性質(zhì)的試驗?zāi)芤越y(tǒng)一形式表示實驗中的事件，并能將微積分等工具引進概率論，需引入隨機變量的概念。設(shè)試驗的樣本空間為Q,在上定義一個單值實函數(shù)X=X(e),eCQ,對試驗的每個結(jié)果e,X=X(e)有確定的值與之對應(yīng)。由于實驗結(jié)果是隨機的，所以X=X(e)的取值也是隨機的，稱此定義在樣本空

19、間Q上的單值實函數(shù)X=X(e)為一個隨機變量。引進隨機變量后，試驗中的每個事件便可以通過此隨機變量取某個值或在某范圍內(nèi)取值來表示。通俗地講，隨機變量就是依照試驗結(jié)果而取值的變量。如果隨機變量X的所有可能取值為有限個或可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量。下面看一下離散型隨機變量的幾個重要分布。.兩點分布如果隨機變量X為0時概率為q,為1時概率為p,并且q=1-p,0p1,則稱X服從參數(shù)為p的(0-1)兩點分布，簡稱為兩點分布，記為XB(1,P)。.二項分布如果隨機變量X的分布律為P(X=k)=|=pkqn_k,k=0,1,2n,其中0p0,則稱X服從k!參數(shù)為入的泊松分布，記為X貝兒)或者X

20、B(冷。到10.13設(shè)X;O)且已知PX=1=PX=2,求PX=4ok解：由于X即X的分布律為PX=k=e4,k=0,1,2,于是有k!122PX=1=m=A,PX=2=m=Le由PX=1=PX=2可得方程1!2!2224Je色即2人二九2。解得欠=2,0(棄去)。所以Xn(2)于是PX=4一e/查00002902。242 連續(xù)型隨機變量及其分布所謂連續(xù)型隨機變量是指此隨機變量的可能取值至少應(yīng)充滿某個區(qū)間且其分布函數(shù)應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，設(shè)F(x)為隨機變量X的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù)f(x)使得對任意實數(shù)X,X有F(x)“f(t)dt,則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度。對于概率密度，

21、有一個b重要的結(jié)果：paxb=f(x)dx。100J;10.14一種電子管的使用壽命為X小時，其概率密度為段上都義，區(qū)6密度和概f(x)=7xF，xT。某儀0,x100器內(nèi)裝有三個這樣電子管，試求使用150小時內(nèi)只有一個電子管需要換的概率。解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為1501001001501001，一，,一，PXj150=fddx=1=一，令Y表木工作150小時內(nèi)損壞的電子官數(shù)，V100x2xI1001503一1則YB(3,-)，服從二項分布。于是，此儀器工作150小時內(nèi)僅需要更換一個電子管的概率3,、311224pY=1=(-)12=_=0.44。1339

22、1.均勻分布、一,aMxMb如果隨機變量X的概率密度為f(x)=b-a，則稱X在區(qū)間a,b上服從均勻0,其他0,xax-a分布，記為XUa,b;其分布函數(shù)為f(x)=,axb生力10.15某公共汽車從上午7：00起每隔15分鐘有一趟班車經(jīng)過某車站，即7：00,7：15,7：30,時刻有班車到達此車站，如果某乘客是在7：00至7：30間等可能地到達此車站候車，問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。解:L300,設(shè)乘客于7點過X分鐘到達車站，則XU0,30,即其概率密度為f(x)=喳其他,于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為例題體會的運用。?p10WXW15或25WXW30=p10X1

23、5+p25X0,則稱X服從參數(shù)為，的指0,x0數(shù)分布，記為XE(兒)，其分布函數(shù)為f(x)=J_e_*，X旬0。0,x100。(2)若要使pXx0.1,問x應(yīng)當(dāng)在哪個范圍內(nèi)？r_0.015x解：由于XE(0.015),即其概率密度為f(x)=exn,于是，0,x100=100Cf(x)dx=(00O.015eJ3.015xdx=Te.015x)|益(2)要pX00.1,即七(t)dt=(%.0153.015tdt=(eeqesRxqeq015、0.1。取對數(shù)，便得-0.015x見0=153.5。0.015.正態(tài)分布。2(。0)為常數(shù),如果隨機變量X的概率密度為f(x)=7Le考-/x收其中巴,2二二則稱X服從參數(shù)(此仃2)的正態(tài)分布，記為XN(N,o2)。稱=0,a2=1的正態(tài)分布N(0,1)為標準正態(tài)分布，其概率密度為19)21x衛(wèi)中(x)=-e2%x/；分布函數(shù)為f(x)=-=Ledt(其值有表可查)。Zv2二-:與10.17從某地乘車前往火車站，有兩條路可走。(1)走市區(qū)路程短，但交通擁擠，所需時間X1N(50