三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計解讀

1、“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計寧波東方外國語學(xué)校315500沈海敏1、設(shè)計意圖與學(xué)情分析三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體，是應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的好素材。作為高三理科學(xué)生，已學(xué)完人教版?全日制普通高級中學(xué)教科書試驗修訂本，必 修數(shù)學(xué)?的全部內(nèi)容，本節(jié)課是在復(fù)習(xí)“二次函數(shù)根底上的一節(jié)高三復(fù)習(xí)探究課，學(xué)生 已初步搭建起研究函數(shù)的根本平臺，借助導(dǎo)數(shù)的工具來研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，符合學(xué)生的認知規(guī)律。通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，既可以整合函數(shù)圖象和性質(zhì)、不等式、方程、函數(shù)極 限、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，體會其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，同時也有利于擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，體驗再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)

2、造的過程，開展學(xué)生獨立獲取數(shù)學(xué)知識的能力，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。另外，作為高三復(fù)習(xí)教學(xué)，力求想走出簡單重復(fù)與承襲過去的怪圈，三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，但教材和各種資料中往往只從求導(dǎo)、求極值、求單調(diào)區(qū)間等角度進行一些零碎的、淺表的探索，而很少對它作 出比擬系統(tǒng)地、實質(zhì)性地闡述。2、教學(xué)目標(biāo)與重點難點通過這節(jié)課的教學(xué)想到達以下三個目標(biāo)：1知識目標(biāo)：讓學(xué)生了解三次函數(shù)的概念、定義域、值域；能利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)等知識討論三次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，進一步理解函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、極值，能利用圖象來討論三次方程實根的個數(shù)， 體會分類討論、數(shù)形結(jié)合、函

3、數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想方法。2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生識圖能力、探究能力和創(chuàng)新意識，提高運用所學(xué)知識解決問題的能力。3情感目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認識事物和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，鼓勵學(xué)生勇于探索、設(shè)法尋到解決問題的方案，體驗“再創(chuàng)造的樂趣。這節(jié)課的教學(xué)重點是討論三次函數(shù)的單調(diào)性和相應(yīng)三次方程實根的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，其中發(fā)現(xiàn)并驗證三次函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的教學(xué)難點。3、設(shè)計思想與教學(xué)方法這節(jié)課的設(shè)計強調(diào)學(xué)生主動探究式的學(xué)習(xí)方式，強調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新 知識的體驗，注重培養(yǎng)學(xué)生的終生學(xué)習(xí)能力。按建構(gòu)主義觀點，知識需要經(jīng)過學(xué)習(xí)者自身體驗，才能被有效地同化和順應(yīng)。自然，學(xué)生在探索的過程

4、中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導(dǎo)和幫助，教師應(yīng)該圍繞學(xué)生的“最近開展區(qū)做文章。本節(jié)課始終貫徹的教學(xué)方式是：問題情景啟迪思維探索研究解決問題理性歸納因此，不是簡單地給出三次函數(shù)的概念、單調(diào)性、對稱性，而是通過創(chuàng)設(shè)情境，搭設(shè) 臺階，類比二次函數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多媒體呈現(xiàn)三次 函數(shù)的圖象，憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數(shù)層面、導(dǎo)函數(shù) 分析層面，數(shù)形結(jié)合層面進行思考逐步加深對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的認識，最后，借助連續(xù)函數(shù)的零點存在定理來討論三次方程的實根的個數(shù)，作為對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生的主體地位得到充分發(fā)揮，教師起

5、組織者、幫助者和促進者的作用， 利用情境、對話等學(xué)習(xí)環(huán)境充分發(fā)揮學(xué)生的主動性、積極性和創(chuàng)造精神，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，享受探究帶來的成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念。4、教學(xué)流程4. 1 三次函數(shù)概念T:類比二次函數(shù)，請同學(xué)們自己對三次函數(shù)下定義。板書形如y ax3 bx2 ex d(a 0)的函數(shù)叫做三次函數(shù)。定義域：R ；T：要求三次項的系數(shù)不為 o，那么三次項的系數(shù) a與函數(shù)值變化有什么關(guān)系?S：當(dāng)a 0時，讓x無限增大，對函數(shù)值y起決定地位的是ax3項，即x，y同樣地當(dāng)x時，y讓學(xué)生體會極限的思想方法 板書

6、:值域為RT:下面我們從已搭建的研究函數(shù)的一般“平臺出發(fā)來探討三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。4. 2 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)4. 2. 1單調(diào)性:T:研究三次函數(shù)的單調(diào)性，常用什么工具?S:導(dǎo)數(shù)。T:下面我們一起先來做兩個題目：(多媒體演例如1、例2)例1、2004年全國卷文科19題f(x)32ax 3x x 1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。x例2、試確定函數(shù)f (x) x3 3x的單調(diào)區(qū)間，并在同一坐 標(biāo)系中畫出此函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)圖象。以上兩題由同學(xué)們自己完成，然后交流。旨在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)、 極值二次不等式恒成立等相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生從特殊的簡單 的情形出發(fā)，先從圖象上直觀感知三次函數(shù)的單調(diào)性，并能 結(jié)合導(dǎo)

7、函數(shù)圖象如圖 1分析，為接下來得出一般性結(jié)論 作鋪墊T：要使函數(shù)y ax3 bx2 ex d(a 0)在R上是單調(diào)函數(shù)，系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？要使函數(shù)y ax3 bx2 ex d(a 0)圖1在R上不是單調(diào)函數(shù)，那么它在R上一定有幾個單調(diào)區(qū)間，系數(shù)又應(yīng)滿足什么條件？通過學(xué)生自主探究，相互交流、討論，得出以下結(jié)論232板書一般地，當(dāng)b 3ac 0時，三次函數(shù) y ax bx ex d(a 0)在R上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng)b2 3ac 0時，三次函數(shù)y ax3 bx2 ex d(a 0)在R上有三個單調(diào)區(qū)間。根據(jù)a 0,a0兩種不同情況進行分類討論4. 2. 2對稱性：T:根據(jù)你的經(jīng)驗，三次函數(shù)的圖象有何特

8、征？S:象“閃電 一樣。T:三次函數(shù)是否具有奇偶性？S:有些是奇函數(shù)，有些不是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)。T:奇函數(shù)的本質(zhì)是什么？S:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱。T：下面我們一起來觀察幾個三次函數(shù)的圖象，表達式中的系數(shù)a,b,c,d請同學(xué)們提供。多媒體演示幾個三次函數(shù)的圖象T：三次函數(shù)圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？學(xué)生的思維被激活，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心Si：三次函數(shù)圖象好象都是關(guān)于某個點成對稱，且對稱中心就在三次函數(shù)的圖象上。直覺是發(fā)現(xiàn)的前奏S2 :老師，因為三次函數(shù)f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)2f (x) 3ax 2bx

9、 c(a 0)，二次函數(shù)是軸對稱圖形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，說明三次函數(shù)的圖象上關(guān)于某個點對稱的兩點處的導(dǎo)數(shù)值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相T: f (x) x3， f (x) Ax3Bx，它們都是奇函數(shù)，所以他們的對稱中心均為原點(0,0)。T：函數(shù) f(x) A(x x0)3B(x x0)有對稱中心嗎?等。S3：是的，我猜測：三次函數(shù)f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點的橫坐標(biāo) xb。3a教師鼓勵他們，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從感性向理性過渡S4：有，是點(xo,O).T:追問：函數(shù) f(x) A(x Xo)3B(x Xo) yo有對稱中心嗎?S5：有，是

10、點(x, yo).S6：搶著說老師，我知道了，三次函數(shù)一定有對稱中心，你隨便給我一個三次函數(shù)，我總可以把它化為f (x) A(x xo)3 B(x xo) yo的形式。T ：為什么?S6：我象二次函數(shù)配方那樣，對三次函數(shù)“配三次方，一定可以把二次項“隱藏起來。T:精彩！二次函數(shù)經(jīng)過“配方，“配出了一條對稱軸，三次函數(shù)經(jīng)過“配三次方，“配出了一個對稱中心。請大家一起來試試。32板書例3、試求函數(shù)f(x) x 3x 6x 6圖象的對稱中心。S:找到了，點(1, 2)。用圖象來驗證T:板書/ f(x) (x 1)3 3(x 1) 2 函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(1, 2)對稱。事實上這里的B,Xo,

11、y°被b,c,d所確定，任意一個三次函數(shù) y ax3 bx2 cx d(a 0)一定能化為f (x) a(x x0)3 B(x x0) y0的形式。培養(yǎng)學(xué)生化歸意識，也表達了方程思想T：我們把它叫三次函數(shù)的“什么式？S7：聯(lián)想到二次函數(shù)的解析式有：一般式、頂點式、兩根式，把它叫“中心式。S8 :老師，我想用以前學(xué)過的一個結(jié)論函數(shù)f(x)，對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(a x) f (a x) 2b成立的充要條件是函數(shù) f (x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱來證明？ 但感覺很麻煩。KkKT：想法很好，我們只需證明f(一 x) f( x) 2f ()，請同學(xué)們課后完成。3a3a3a教師歸納

12、總結(jié)，結(jié)合三次函數(shù)圖象及它的導(dǎo)函數(shù)圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來加以解釋：三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點的橫坐標(biāo)，并歸納證明三次函數(shù)對稱性的兩種方法方法一：任意一個三次函數(shù)都可化為f(x) A(x x0)3 B(x x0) y0的形式。方法二：用結(jié)論函數(shù)f (x),對于定義域內(nèi)的任意 x ,都有f (a x) f (a x) 2b成立 的充要條件是函數(shù) f (x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱來證明。32板書三次函數(shù)f (x) ax bx cx d(a 0)是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點bb(,f ()，此點的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點的橫坐標(biāo)。3a3

13、a4. 4應(yīng)用一一討論三次方程實根的個數(shù)32板書例4、討論方程ax bx cx d 0(a0)的實根的個數(shù)。分析：函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的圖象與x軸有幾個交點，方程便有幾個根。通過學(xué)生的自主探索，師生交流，共同完成以下結(jié)論21、當(dāng)厶=4b 12ac 0時，由于不等式f (x)0恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根。22、當(dāng)厶=4b 12ac 0時，由于方程f (x)0有兩個不同的實根 xX2，不妨設(shè)捲 x2 , 46 課外練習(xí) 5、課后反思與探討 在新課程理念的指導(dǎo)下， 我設(shè)計了這樣一節(jié)復(fù)習(xí)探究課。 總的看來，課堂氣氛民主、和 諧，學(xué)生普遍有濃厚的興趣，參

14、與度高，大多數(shù)同學(xué)既能自主探索，敢于發(fā)表自己的見解， 也能傾聽別人的想法，師生之間、學(xué)生之間的思想不斷碰撞， 教學(xué)資源不斷生成原先的教 案中沒有“配三次方 、“三次函數(shù)的中心式等內(nèi)容 ，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，呈現(xiàn)各種 三次函數(shù)圖象這是以往教學(xué)難以實現(xiàn)的 ，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了廣闊的思維空間，既增強了學(xué)生 的感性認識，從變化中去尋找不變的東西，為發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)的對稱中心提供了想象的根底， 又為探索贏得了時間。也讓我再次領(lǐng)略到學(xué)生無窮的潛能，教師要做的是努力去開發(fā)他們。由圖象可知，(xfdj)為函數(shù)的極大值點，(X2,f(X2)為極小值點，且函數(shù)y f (x)在點，所以原方程有且只有一個實根如圖2、3。2)

15、假設(shè) f(xj f(X2)0，即函數(shù)y f(x)極大值點與極小值點在x軸異側(cè)，圖象與x軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根如圖4。3)假設(shè) f(xj f(X2)0，即f (為)與f (X2 )中有且只有一個圖2圖3課堂教學(xué)永遠是門“遺憾的藝術(shù) ，有許多問題值得探討。首先，教學(xué)目標(biāo)是否適切， 是否有超出要求之嫌。 三次函數(shù)的對稱中心也稱奇異切點， 屬于高等數(shù)學(xué)研究范圍， 但理論 層面上講是極為初等的， 具有可操作性， 如果在電腦上用切線法模擬尋找該對稱點， 將非常 迅速，精度很高。 這一點是否有必要在課堂上進行演示， 以加深學(xué)生對三次函數(shù)對稱中心的 理解。另外，由于課堂上沒有嚴(yán)格證明“三次函數(shù)圖象的對稱性 ，是否會損害數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹 性和教學(xué)的完整性。其次，課堂容量是否太大，在探索“對稱性過程中，由于教學(xué)時間的 局限性，有些環(huán)節(jié)“放的還不夠，個別新