利用導(dǎo)數(shù)證明不等式50題(學(xué)生版)

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1. (本小題總分值12分)己知函數(shù)/(x) = «hix-a¥-3 (ghO).討論/(.Q的單調(diào)性：假設(shè)/(x)+(«+l)x+4-e<0對(duì)任意xwp，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范為 自然常數(shù))；(3)求證 ln(22 4-1)+ lii(32 +1) + lii(424-1)+ - +ln(/?2 +1) <1 + 2111/?!N*)(/? > 2 , n g N*).2. (本小題總分值10分)(1)設(shè)x>-l,試比擬111(1 + x)與x的大??；1府1(2)是否存在常數(shù)a w N ,使得a <±V

2、(1 + 1/ <a +1對(duì)任意人于1的自然數(shù)都成 心 k立？假設(shè)存在，試求出a的值并證明你的結(jié)論；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.3.(本小題總分值14分)己知函數(shù)/(.r) = e* - ax-a (其中aeR ).(I) 當(dāng)a = e時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；(II) 假設(shè)/(.V)> 0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(III) 求證：對(duì)任意正整數(shù)n,都有 x-x.xL>A2 + 1 2+1 2n+l e4.(本小題總分值14分)函數(shù)/(x) = ev-x-h xeR.其中，£是自然對(duì)數(shù)的 底數(shù).函數(shù) £久=A37/A 十 CY25A 十 1 , X >

3、 0 .(I) 求/(X)的最小值;(II) 將g(x)的全部零點(diǎn)按照從小到人的噸序排成數(shù)列求證:12 一 171-2-2 + 1龍2-h丄+1111丄+111+ + 1111午丿礙丿1an其中*宀：2 1112 <-.35. (本小題總分值12分)己知函數(shù)Jx) = cix2+x-xnx(a>0).(1) 假設(shè)函數(shù)滿足/(1) = 2/且在定義域內(nèi)f(x)>bx2x恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍:(2) 假設(shè)函數(shù)/(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圉：(3) 當(dāng)-<x<y vl時(shí)，試比擬丄與巴丄的大小. ex1 + lii x、1 + 111 x6. 己知

4、/(%) =X(1)求函數(shù)y = /(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)關(guān)于x的方程/(x) = x2-2x+k有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范闈:(3) 當(dāng)n e N* ji> 2 證：nf (n) < 24-丄+ + + !.2 3n-17. 己知函數(shù) /(x) = ln(x+a)-x2 - x ft x = 0得極值(1)求實(shí)數(shù)a的值:(2) 假設(shè)關(guān)于x的方程f(.x) = -x + b在區(qū)間0,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的 2取值范闈：證明:對(duì)任遨的正整如不等式2 +戀+> ln( +1)都成立8.己知函數(shù) f(x) = ax-l-lnx ( a g /?)(1)討論函數(shù)

5、/(x)的單調(diào)性:(2) 假設(shè)函數(shù)/(兀)在x=l處取得極值，不等式/(%) > bx- 2對(duì)任意xw(X+8)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范|韋|；(3) 當(dāng)x> y> e-1 時(shí)，證明不等式 ex -111(1 + y) >ey -111(1 + x).X 19. 己知函數(shù)f(x) = l.g(x) =兀一lax.e(1> 證明：g(.v)1 :(2)證明：(x-lnx)/(x)>le*10. 己知函數(shù) f(x)=aln xax-3(aGR).(1) 假設(shè)a= l,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖彖在點(diǎn)(2, f(2)處的切線的傾斜角

6、為45° ,對(duì)于任意的tG1,2,函數(shù)g(x)=x'+廣(刃+巴(f(X)是f(x)的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間(t, 3)上總不是單 2調(diào)函數(shù)，求m的取值范鬧；<、亠lu21113ln4liin/ 1 .234nn11. 函數(shù)/x)=lnx假設(shè)曲線g(x)=/x)+#_l在點(diǎn)(2,g(2)處的切線與直線3x+y-l = 0平行，求d 的值；求證函數(shù)/A= 處2_1X+1在0.+8上為單調(diào)増函數(shù):設(shè)八/ e R* I且mn »求證:m-n <m + nIn m-lnn12設(shè)函數(shù)/x = l+x°的定義域是7+8,其中常數(shù)a>0.假設(shè)a > 1,求

7、y = /x的過原點(diǎn)的切線方程.2當(dāng)a>2時(shí)，求最人實(shí)數(shù)A ,使不等式/x> 1 + ax+ AF對(duì)x> 0恒成立.1 n+1a證明當(dāng)a>l時(shí),對(duì)任何從",有1< 一工丁七va.KK(!)令 Z(x) = f (x)幾(x) = Z»,gN*)求厶oh(x)的解析式;2假設(shè)fW + l>ax+cosx在0,兀上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍:證異為打?yàn)?需“谿14. f (x) = lii(x +1), (x) = -ax2 + bx (a,b g R).1假設(shè)b = 2iLhx = fx-l-gx存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范用:(2)

8、 假設(shè)d = 0= l.求證：當(dāng)xg(-1,+oo)W, f(x)-g(x)<0恒成立：X+ V(3) 刊用(2的結(jié)論證明：假設(shè) a > 0, j > 0 , yjij xln a-+ y 111y > (x+ y)In.15. 設(shè)函數(shù) f(x) = In x: (a+l) af(<s>0» a 為常數(shù))2(1) 討論f(x)的單調(diào)性；(2) 假設(shè) a=lf 證明：當(dāng) x>l 時(shí)，f(x)< 丄 2x 眼.2 x + 116. 己知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)/(x) = liix-av4-l.1討論函數(shù)/X的單調(diào)性;2假設(shè)函數(shù)/X有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

9、<x2；I求實(shí)數(shù)d的取值范鬧：II求證：-<xt< 1且兒+兒>2.注：£為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e-f (x)17函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f ' (x),且對(duì)任意x>0,都有f ' (x)>dX(I )判斷函數(shù)F(x) =(9在(0, +8)上的單調(diào)性：X(II )設(shè) Xl, x：(0» +8),證明：f (xi) +f(X2)<f(Xl + x2)；(IH)請(qǐng)將(H)中的結(jié)論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結(jié)論.18.函數(shù)f(x) = (x-l)e- xeR,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(I )求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值：

10、(II) 假設(shè)函數(shù) y = g(x)對(duì)任意 x 滿足 g(x) = /(4 - x),求證：當(dāng) x>2 時(shí)，f(x) > g(x)；(HI)假設(shè) X H 七，且 /(xj = fx2),求證：xt + x2 > 4./ 119己知函數(shù)/(x) = ax +-Inxx(1) 當(dāng)a<時(shí)，試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性：、 宀 lnl ln2ln(/?-1) Inn n2(2) ut明：對(duì)任意的neN ,有一+<.1 2/?-1 n 2(/7 +1)20 .己知函數(shù)f(x) = ax-bnx + c ( 是常數(shù))在x = e處的切線方程為(e-l)x+ey-e = O, 5

11、.f(1) = 0,(I )求常數(shù)a.hx的值：(II)假設(shè)函數(shù)g(x) = x2+m/(x)(me/?)在區(qū)間(1,3)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)加的取 值范圍;(III)證明:1112 1113 111411120221XXX X <2342022202221.函數(shù) fx) = ax(,r +2x)lna (a0且。工1).(1) 當(dāng)a>e時(shí)，求證：/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞増:(2) 當(dāng)丄J)且蟲1、乜)時(shí),求證:f(2t-l)-2ft)>-e2 +3.e22函數(shù) f (x) = x-hix, g(x) = lnx+ , ( a > 0 ).x(1) 求函數(shù)g(

12、x)的極值;(2)己知兀>0,函數(shù)/心)二 m/也),XW(X,48),判斷并證明/7(x)的單 x-xtX + X(3)設(shè)0 VV®，試比擬/( ； 2 2 )與扌幾勺)+/也)，并加以證明.23. f(x) = x- (a > 0), g(x) = 2Inx x(1)假設(shè)對(duì)l,+8)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)X,不等式f(X)> g(X)恒成立，求實(shí)數(shù)d的取值范I韋I：當(dāng)4 = 1時(shí),求最大的正整數(shù)R ,使得對(duì)匕3 (e = 2.71828-是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 內(nèi)的任意R 個(gè)實(shí)數(shù)xL,x29 ,xk 都有/(XJ + /(“)+ + /g_J516gCq)成立：(3)求證:&

13、#167;4r-l24. 己知函數(shù)f(x) = x-ln(x+a)的最小值為0.其中。>0。(1) 求a的值(2) 假設(shè)對(duì)任意的xw0,+8),/(a) <kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值n 9(3) 證明工 一-ln(2/ + l)<2(/G2V#)2i 1Inx25.己知說數(shù)f(x) = kx> g(x) =xIn r(1) 求函數(shù)g(X)=的單調(diào)遞增區(qū)間：X(2) 假設(shè)不等式/(J) > g(x)在區(qū)間(0,+s)上恒成立，求R的取值范闈;(3)求證:1112 1113liin1I" "*+ + -< 2434/j42e26(此題總分值

14、14分)函數(shù)/(x) = liiav (a 工 0,d g R), g(x)=x(I )當(dāng)a = 3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1 + /W + g(x)>0：(II )當(dāng)a = l時(shí)，記/?(%) = /(%) - g(x),過點(diǎn)(L-1)是否存在函數(shù)y = h(x)圖象 的切線？假設(shè)存在，有多少條？假設(shè)不存在，說明理由：(III)假設(shè)a是使/(x)>g(x)(x>l)恒成立的最小值，對(duì)任意neNn 12-試比擬£與/ (1+町2(j)的大小(常數(shù)o<兄<1).1+AL27.(本小題總分值14分)函數(shù)f (a:) = av2 + lii(x +1).(I)當(dāng)

15、a = -時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；r > 0(II)當(dāng)X60,-WO)時(shí)，函數(shù)V = f(X)圖彖上的點(diǎn)都在丿一' 所表示的平而區(qū)域內(nèi), y - x < 0求實(shí)數(shù)8的取值范闈.94R,皿求證：(“齊護(hù)+辰曲麗)"(2疵門(2廠+"(其中心，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).28. (本小題總分值14分)(注意：仙中、一中、八中的學(xué)生三問全做，其他學(xué)校的學(xué)生 只做前兩問) 己知函數(shù)/(x) = ex-H, xgR(I ) Tik = e,試確定函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;(II)假設(shè)k>0,且對(duì)于任意xwR, /(妙>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)R的取值范闈；

16、n(I【I)設(shè)函數(shù)F(x) = /(x) + /(-x),求證：F(1)(2) .F(/)>(c1 + 2)5(/eN*).29. (此題總分值16分)己知函數(shù)f(x) = lnx,g(x) = -(a為實(shí)常數(shù)).2x(I) 當(dāng)G = 1時(shí)，求函數(shù)0(X)=/(X)-g(X)在兀“4,48)上的繪小值；(II) 假設(shè)方程e2M = g(x)在區(qū)間*,1上有解，求實(shí)數(shù)d的取值范惘；51“(III) 證明：-/； + <2f(2k +1)-f(k)-f伙+ 1)v2 + 1jwN*460 =(參考數(shù)據(jù)：1112 « 0.6931 )30. (此題總分值12分)函數(shù)/(兀)=疋

17、宀，(xeR).(1)求函數(shù)/*(“)的單調(diào)區(qū)間和極值:(2) 己知函數(shù)y = g(x)的圖彖與函數(shù)y = f(x)的圖象關(guān)于直線x = l對(duì)稱;證明：當(dāng) X>1 時(shí)，/(X)> g(x)(3)如果兀工耳且=證明兀+丕>231. (本小題總分值 12 分)函數(shù) /(X)=(6/ + -)111 .V+ - - .V ( 6F > 1 ).a x(1) 試討論/(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性；(2) 當(dāng) a w3, + s)時(shí)，曲線 y = f(x)上總存在相異兩點(diǎn) Pg, f(xj), Q(x2, f(x2),便得曲線/(x)在點(diǎn)P , Q處的切線互相平行，求證：不+

18、 ®.32. (此題總分值15分)己知換數(shù)/(x) = lii.v.(1) 求函數(shù)g(x) = /(x+l)-x的最大值:(2) 假設(shè)V.v> 0 .不等式/(.v)<av< X2 +1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范闈；(3) 假設(shè)再>尢>0,求證：心)一心)Xt-X2Xf +x;33.(本小題總分值14分)設(shè)函數(shù)/(x) = lnx+x2+avo(1) 假設(shè)/(x)在.v = |處取得極值，求a的值：(2) 假設(shè)/(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范缶 1；(3) 設(shè)g(x) = /(x)-x2 + l> 當(dāng)a = _l時(shí),求證：g(x)<0在

19、其定義域內(nèi)怛成立；求證:lii 22In 3+2232lii/?2tr2if -n-134.(本小題總分值12分)己知函數(shù)/(x) = lii.v + (neR) x+19(1) 當(dāng)。=時(shí)，求/(X)的極值；(2) 當(dāng)a = 2時(shí)，試比擬/(x)與1的大小:(3) 求證：ln(/? + 1)> + + + -4- (/zeN* ). 3572/2 + 135.(本小題總分值13分) 己知函數(shù)/(A)= _丄匚(-VE/?).1 + X+X-(I)求函數(shù)/(H的極人值:()假設(shè)(# + 2)F+Kx+&-2M 0對(duì)滿足Rwi的任意實(shí)數(shù)X恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍(這里幺是自然對(duì)數(shù)的

20、底數(shù))：(ID)求證：對(duì)任意正數(shù)a. b. 恒有Aa2 + pb1、-JAa + pb Y Aa1 + “/FA + /A + jLl36(本小題總分值14分)己知函數(shù)/(x) = l-+ln-(a為實(shí)常數(shù)).X X(I )當(dāng)a = l時(shí)，求函數(shù)gx) = f(x)-2x的單調(diào)區(qū)間;(II)假設(shè)函數(shù)/(“)在區(qū)間(0.2)上無極值，求a的取值范圉;(Ill)nwM且"23,求證：In<1+丄+丄+十丄.3 3 4 5n1 r37. (本小題總分值15分)己知函數(shù)f(x) = +lnx(a>0)av(1) 假設(shè)函數(shù)/(X)在1,2)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)d的取值范削：(2) 當(dāng)

21、a = l時(shí)，求/(x)在|,2±的最大值和最小值：(3) 當(dāng)0 = 1時(shí)，求證對(duì)任意人于1的正整數(shù)，ln>： + ： +丄+丄恒成立.2 34 n38. 函數(shù)f(x) = nx+-(aeR).(I) 當(dāng)« = |時(shí)，如果函數(shù)g(x) = f(x)-k僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)R的取值范熱(II) 當(dāng)« = 2時(shí)，試比擬/&)與1的大?。?III) 求證：ln(?j +1) > 丄 + 丄+ 丄+ +-(n e N").3 572/ + 139. 函數(shù) /(x) = xlnx.(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值：(H) 假設(shè)函數(shù)%)=

22、m在i疋上是最小值為2,求°的值；x21 1(III)當(dāng)b > 0W,求證：bh>(-y (其中£二2. 718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).e40. 設(shè)函數(shù)/(x) = X2 4-feln(x+1)» 其中 b 工 0(I) 當(dāng)b>時(shí)，判斷函數(shù)/(小在定義域上的單調(diào)性；(2 )求/(X)的極值點(diǎn)：(3證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式In(丄+ 1)丄-匕都成立。it n n41. 定義 y = logu+°F(x,y),兀、yw(0,xo),(I )令函數(shù)/(x) = F(x,2)-3x,過坐標(biāo)原點(diǎn)0作曲線C： y = f(x)的切線/,切點(diǎn)為

23、P(/,r)(n>0),設(shè)曲線C與/及y軸曲成圖形的而枳為S,求S的值。< II)令函數(shù)g(x) = F(x,2) + alnx,討論兩數(shù)g(x)是否有極値，如果有，說明是極 人值還是極小值。(11【)證明：當(dāng)x,y e<yW,F(;r,y) > F(y,x);42. (本小題總分值12分)d為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = ex-2x-2ayxGR(1) 求/(x)的單調(diào)區(qū)間(2) 求證：當(dāng)a>ln2-1 且x>0時(shí)，有ex >x2-2axl(3) 假設(shè)/(x)在區(qū)間(O.+s)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范I韋1.43.(本小題總分值12分)Y2 4- (

24、I己知函數(shù)/(x)= (xe R)(£是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).e«2.71).ex(1)當(dāng)。=一15時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間:(2)假設(shè)/(X)在區(qū)間丄疋上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范由; e(3) 證明上LL+空_+上字+上v耳對(duì)一切nN*恒成立. eee 4y/e44.(本小題總分值16分) 函數(shù)/a)=in竺)2.x + b(1) 留神1時(shí)，假設(shè)函數(shù)/(X)在(0.乜)上為單調(diào)增兩數(shù)，求a的取值范鬧；(2) 當(dāng)“>0且b = 0時(shí)，求證：函數(shù)f (%)存在唯一零點(diǎn)的充要條件是« = 1；(3) 設(shè)/,/?e(0,+ao), 且m#n » 求證： 一-

25、<"宀"lnz/7-ln/j 245.(本小題總分值14分)函數(shù)f(x) = x-hi(x+a)(a是常數(shù)).(1>求函數(shù)/(片)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當(dāng)y = f(x)£x = l處取得極值時(shí)，假設(shè)關(guān)于x的方程/(x) + 2x = x:4-|,2± 恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：(3) 求證：當(dāng)n>2jieN.時(shí)，有(1 +丄)(1 +丄r)(1 + 丄)ve23-礦46.定義：己知函數(shù)f (x)與g (x),假設(shè)存在一條直線尸kx +b,使得對(duì)公共定義域內(nèi) 的任意實(shí)數(shù)均滿足g (x) Wf (x) Wkx+b恒成立，其

26、中等號(hào)在公共點(diǎn)處成立，那么稱直 線y二kx +b為曲線f (x)與g (x)的“左同旁切線.f(X)= lnx,g(X)= l-丄.X(I) 證明：II線y=x-l是f (x)與g (x)的“左同旁切線：(II) 設(shè)P (召是函數(shù)f (x)圖象上任意兩點(diǎn)，且0<&<&, 假設(shè)存在實(shí)數(shù)&>0,使得fx)=fX2)fXl)請(qǐng)結(jié)合(I)中的結(jié)論證明：<x3 <x,.47(本小題總分值12分)己知函數(shù)/X=在X = i處取得極值為2,設(shè)函數(shù)y = fx圖象上任意一點(diǎn)jr +b從，/兀處的切線斜率為気1求k的取值范闈：2假設(shè)對(duì)于任意0 VX】V不V1

27、,存在k,使得,求證：48此題總分值 14 分aeR 函數(shù) fx = - + lnx-l gx = nx-lex + x 其 x中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).I判斷函數(shù)/X在0,習(xí)上的單調(diào)性:H是否存在實(shí)數(shù)Xo G 0,-KXD,使曲線v = x在點(diǎn)x = x0處的切線與軸垂直？假設(shè)存在，求出X。的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；(III)假設(shè)實(shí)數(shù)加,/!滿足m>0,n>0,求證：nnen>mnen.49. 己知函數(shù)/x = x+llnx-x+l.I 假設(shè)Afxx2求a的取值范I制;II證明：xi/xno .50. 函數(shù)fx = anx + -x2-l + ax.I求函數(shù)/X的單調(diào)區(qū)間：

28、II假設(shè)/x0對(duì)定義域每的任總兀恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍:III 證明：對(duì)于任意正整數(shù) nun ，不等式>恒成立。 lii(/n + n) m(m + /)參考答案1.當(dāng)d>0時(shí)，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1,單調(diào)減區(qū)間為1.+OO)：當(dāng)d<o時(shí)，f(x) 的單調(diào)增區(qū)間為1,+s)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1； (2) a<elC (3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)函數(shù)y = /(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)町導(dǎo)，那么假設(shè)廣(x)>0,那么f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) 單調(diào)遞增，假設(shè)/V)<0,那么/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減：(2)對(duì)于恒成立的問題，常用到 兩個(gè)結(jié)論：(

29、1)a> /(x)恒成立 Odh /(x), (2) a < /(x)恒成立 <=>« < /(x): (3) 利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的根本方法足構(gòu)造函數(shù) (x)=/(x)g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者旳數(shù)的最值證明函數(shù)/心)>0,其中一 個(gè)重要的技巧就是找到函數(shù)/心)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破 I I.觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證明不等式.試題解析：(1) f(x)=W7)(x0),X當(dāng)G>0時(shí)，f(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1,單調(diào)減區(qū)間為1.+0O).3分當(dāng)d<0時(shí)

30、，/(x)的單調(diào)増區(qū)間為1,+8),單調(diào)減區(qū)間為(0,1：4分(2) 令尸(x) = alnx-dx-3 + ar + x + 4- = alnx + x + l-£F (x) = 0x假設(shè)-a <e a>-e F(x) xe e,e2 是增函數(shù)，八ye 1F(x)z =尸(礦)=2。+ 礦一 a +1 5 0,a S 無解5 分2假設(shè)e<-a<e-e1 <a<-et F(x) xee-a是減函數(shù).xe-a,e2t 是增函數(shù),rC 1 F(e) = a + l <0.a <-lF(e2) = 2a-e2 -el<0.a <2

31、r e 1 L S a S 6 分假設(shè)一 d>，a <-e21 F(x) xe e,e2 是減函數(shù)，尸(比照=尸(£)= a + 1 5 0,a <-1, ；. a <-e27 分e-l-e2八綜上所述a <8分(3)令a = -l (或a = l)此時(shí) f(x) = -liix + x-3 ,所以 f (1) = -2 ,由(I )知/(x) = -lnx + x-3 在(1,+8)上單調(diào)遞増,當(dāng) x g (1,4-co)時(shí)/(x)> /(I),即一 lnx+x-l>0, /. In x < jv -1 對(duì)一切 x g (1,-ko

32、)成立，9 分n >2,neN*» 那么有 In(丄 +1) v 丄 < -=-,n n (n - l)n n-1 n10分要證 lii(2: +1) + lii(32 +1) + lii(4: +1) + + ln(/r +1) < 1 + 2In“»(/? >2,/g*) 只需證 ln(A + l)+ln(4r + l) + ln(A" + l) + +ln(4r + l)vl(/i >2,zi g AT)234-ii-ll 分lng +l) + ln 注+ 1) +ln+l)+!】(+1)ry4irzl 11 111 112 2

33、 334n-l所以原不等式成立12分考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、恒成立的問題；3、證明不等式.1 V2. 解：(1) g/(.v) = x-lii(l + x)> 那么廠(“) = 1 一 l+X X+1當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，廠(x)<0, /(x)單調(diào)遞減：當(dāng)xe(0,+<»)時(shí),廠(x)>0, /(x)單調(diào)遞增：故函數(shù)/(“)有最小值/(0) = 0 .那么111(1 + x) < x恒成立：3分(2) 取加= 1,2,3,4 進(jìn)彳亍驗(yàn)算：(1 +?"=2, (1+|):= = 2.25 , (1 +£)'=導(dǎo)

34、 a 2.37 , (1 +丄=竺俎244,猜想：2V(1 +丄)加二2,345,，5分4 256m存在a = 2,使得av丄£(l + »va + l恒成立.鋁 k證明：對(duì)mwN ,且/w > 1,有(i+丄尸=c+u(丄)+仝(丄尸+ ci(-/+c：(lrmtnmmm“+】+呼占+巴斗怦也占+沖出占2! mk'.mmm11 1 11 1 1 1v 2 + + + + + + V 2 + + + + 又因G()* >°伙=2,3,4,加)2!3! k m 2x13x2 斤也一】) m(m-l)故2<(1 +丄廣<3,mn|I n

35、從而有2/i < £(1 + -)k v 3“成立，即4 V丄?(1 +丄r < a +1 a-ikn £.ik所以存在a = 2.使得“V丄±(1 +技va + l恒成立.10分皿 k證明二由(1)知：當(dāng)xe(0.1時(shí)，ln(l + x)vx,那么 hXl + -)<- > 所以 kln(l + 丄)vl ln(l +丄 / <1 (1 +丄 / <e<3. k kkkk當(dāng)k22時(shí)，再由二項(xiàng)式定理得：a+# =ck + G(*)+U($+c：G)* >V+C(+)=2,即2 v a +v 3對(duì)任總?cè)薐'-1

36、的自然數(shù)R怛成立，KnII nI從而有 2/: < y(l + -/ < 3/i 成立，即 a<- y(l + -)A < fl +1.A.iKn uik所以存在a = 2,使得“V丄f (1 + fy va + 1恒成立.10分n A-i k【解析】試題分析：(1)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求最值；(2)取/n = l,2.3,4進(jìn)行驗(yàn)算，得圧2,用二項(xiàng)式定理 證明考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二項(xiàng)式定理點(diǎn)評(píng)：此題考查了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二項(xiàng)式定理等綜合應(yīng)用，屬難題.3. (I)函數(shù)/(刃在x=l處取得極小值/(l) = -e,函數(shù)/(x)無極大值.(II) 0,1 (III)證明 略【解析

37、】 試題分析：第一步把a(bǔ) = a代入函數(shù)解析式，f(x) = ex-ex-e,求極值要先求導(dǎo)數(shù),AA)= e'-e,令.廠(x) = 0,求出極值點(diǎn)x = l,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出極小值：第二步f(x) = e-ax-a.求導(dǎo)數(shù)r(.v) = ex-«,下面針對(duì)a進(jìn)行討論，由于/(x)>0恒成立，只需f(x)的敲小值人丁或等于冬，最后求實(shí)數(shù)a的取值范I韋I：第三步依據(jù)第二步的結(jié)論，令。=1,那么ex > J + 1»有x>ln(.r + l),令x = * (“ w NJ, 即唄+帶)<*，把從取1-一“時(shí)的n個(gè)不等式相加，之后用放縮法證明出結(jié)

38、論.試題解析：(I)當(dāng)"=e 時(shí)，f(x) = cl -cx-c , fx) = ex - c ,當(dāng)xv 1 時(shí)，f'(x)<0 ；當(dāng)x>l 時(shí)，/V) >0 所以函數(shù)/(x)在(-00,1)±單調(diào)遞減，在(1,+oc)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(-V)在x=1處取得極小值/(I) = -e,函數(shù)f(x)無極人值.(II)由 f(x) = ev - ax-a , fx) = cx - a ,假設(shè)avO,那么廣W>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x趨近于負(fù)無窮人時(shí)，/(力趙近于負(fù)無窮人; 當(dāng)x趙近于正無窮大時(shí)，/(x)趨近于正無窮大，故函數(shù)/S)存在唯

39、一零點(diǎn)兒，當(dāng).v<.v0時(shí),/W<0；當(dāng)x>x0時(shí)，f(x) > 0 .故。vO不滿足條件.假設(shè)d = 0, /(x) = ex>0恒成立，滿足條件.假設(shè) a>0,由廠(x) = 0,得 x=lna，當(dāng) xvlna 時(shí)，f(x) < 0 :當(dāng) x>lna 時(shí)，fr(x) > 0 ,所 以函數(shù)/(x)在(yo,1ii")上單調(diào)遞減，在(lnd,-wc)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/ 在x = hia處取得極小值 f (ln“)=嚴(yán) 一a Ina-a = -a Ina ,由 /(lnt/)n 0 得一a Ina >0 ,解得0 <

40、a 51 綜上，滿足/(a) > 0恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范鬧是0,1.(Ill)由(II)知，當(dāng)。=1時(shí)，/(x)>0恒成立，所以f(x) = ex-x-L> 0恒成立，即 e* >x + l,所以ln(x+l)<x ,令x=r(neN，),得ln(l + *)v*，那么 111(1 + ) +111(1 + ) + + 1b(1 + ) V + 2 2- 2" 22-所 以 (1 + 丄)(1 + r) (1 + 二7) v e , 所 以 :> 9 即2 222"1x x ><> 2 + 1 2-+12+1 e考點(diǎn)：

41、1.利用導(dǎo)數(shù)求極值；2.利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值：3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式：此題是導(dǎo) 數(shù)的綜合應(yīng)用：4(I ) 0 ( II )證明見解析【解析】試題分析：(1)解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求 函數(shù)y = f(x)在區(qū)間ab內(nèi)使f (x)= 0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù))，=/(%)在區(qū)間內(nèi)所有使-2(】+孰+卡)t c fx= 0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，瑕后比擬即得；(2)證明不等式，利用函數(shù)的單調(diào) 性很常見，一定要注意選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及單調(diào)區(qū)間(3)不等式雋有放縮功能，常常用于證 明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好切入點(diǎn).試題解析：(I)r(x

42、) = er-l,當(dāng)xw(-8,0)時(shí),fx) <0:當(dāng)xw(0,+s)時(shí)，fx) > 0:所以,函數(shù)/(x)4(0,0)±是減函數(shù),在(0,+s)上是增函數(shù),所以/(Q込=f(0) = 0,綜上所述，函數(shù)/(x)的最小值是0.4分(II)證明：對(duì)g(x)求導(dǎo)得g*(x) = sm,v+ xcosx-sitvc = xcosx(x>0),令g，(x) = 0(k g N*),當(dāng) xw(2R/r+壬,2氏+乎(kwN)時(shí)，cosxvO,此時(shí)g'(x)vO：當(dāng) xw 2k-,2k7T+ (k g A*)時(shí)，cos x > 0,此時(shí) g'(x)>

43、;0.所以, i22丿0與和函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2畑+彳,2熾+乎'|(£丘2),單調(diào)遞增區(qū)間為又g(0) = 2,所以aL>-2£兀一號(hào)，2k;r+彳(k w N *) 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)M 0,-上單調(diào)遞增,< 2丿為g(號(hào)鬥g(駕£卜(-1廠旦嚴(yán)+旦嚴(yán)+ 1卜0, 11函數(shù)£("的圖像是連續(xù)不斷的，所以g(x)在區(qū)間(力；1)：(刀；1)龍 內(nèi)至少存在一個(gè)零 點(diǎn)，又 /(%)在區(qū)間,2-1)兀(2 + 1)上是單調(diào)的，故I 22)(2 - 1)兀(2舁 + 1)兀2 5V - .9 分(2)證明：由(I )

44、知，ev-x-l>0.那么lii(l + x)<x,因此.當(dāng)nwN*時(shí),idS=hi 1 十+ 111+ 111十 十1h"1+丄/1丿1“3丿<an)1111那么 S< + + + ai a2 坷11分由知，sv, "- + +tv ?3。51(21 匚1 1+1x33x51(2 - 3)(2 -1),6 2< <t,證畢.715121 (2 冇考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，利用單調(diào)性及放縮法證明不等式. y < i+iny.(2) «>： (3) x 1 + S 尤2e1(即.S< 1+二 1-7114分5.

45、(1) bWO【解析】試題分析：(1)由/(1) = 2R入函數(shù)解得a的值，既得函數(shù).f(x)的解析式，再由f(x)>bx2x恒成立，別離變量得b<-丄一恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)g(x) = l一丄一些 的單調(diào) X XX X性，從而得g(x)的址小值，既得實(shí)數(shù)b的取值范出I ： ( 2 )先求導(dǎo)函數(shù)fx) = 2a x- lnx,(x > 0),假設(shè)函數(shù)/(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù).那么f(x)、O或廠(x)M 0恒成立.當(dāng)廣(X)> 0時(shí).2a求函數(shù)h(.x)= 的最 XXIn YIn Y大值，可得a的取值范【札 當(dāng)廣(x)W0時(shí).2a .由于函數(shù)h(x)= 無最小值

46、,XX那么f(x) < 0不恒成立，可得解；(3)由(1)知g(x) = l -1 + luxX在(0,1)上單調(diào)遞減，那么-<x<y<l e時(shí)，g(x) > g(y)即1 + lnx 1 +111 v1時(shí)，< ,而 一 vxvyvixye-1 < hix < 0 1 + lux > 0.y i+inyX 1 + 111X試題解析：(1) V /(I) = 2 » Aa=l. f (x) =x2+x-xlnx.由 x2+x-xlnx>bx2+2x <=> 1-也丄 > bX X令g(丄一些X X'可

47、得g(x)在(0上遞減,在1,+8)上遞增，所以() = (1) = 0,即 /? <0(2) fx) = lax-Inx,(x > 0)z、 lux 設(shè)(x)=X力(Qmax =-當(dāng)d n丄2eQ<a< 2e時(shí)，函數(shù)f(x) 在(O.+oo)單調(diào)遞增.g(x) = 2qy-1iix,(x> 0),g(x) = 2d 丄Xxe(0,±),.x)<0,xe(±,W),(x)>01*. X =2a 而珠)s v丄H寸2e時(shí)取得極小值即最小值<0f(x)f (x) = 0必有根必有極值，在定義域上不單調(diào).a n 2e(3)由(1)知

48、 g(X)= 1 -<x<y<l在(0)上單調(diào)遞減g(x) > g(y)BP1 + liix v l + h】y試題解析:解:(1) v/(x) =仝/v)=X_x-(l + lnx)JT111X-1 clnx < 0.*. 1 + liix > 0*' X 1 + 111X考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及鍛值：2、恒成立問題：3、不等式、函數(shù)及導(dǎo)函數(shù) 的綜合應(yīng)用.6. (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)；在區(qū)間(1,+8)為減函數(shù)；(2) k <2： (3)詳見解析.【解析】I/JY試題分析：(I)先求出廣(力=一竽，從而得函數(shù)

49、f (X)在區(qū)間(0, 1)上為增函數(shù)； x在區(qū)間為減函數(shù).(1【)由(I)得f(x)的極大值為f(l)=l»令g(x) = X，2兀十& ,得函數(shù)g (x)取得最小值g (1) =k-l,由g(x) = x'2x+R有實(shí)數(shù)解，k-l<l,進(jìn)而得實(shí)數(shù)k的取值范闈.(III )由/(1 + 1)</(1) = 1 ,得l + lu(l +丄)<1+丄，從而 nnnln = ln2 lnl + ln3-ln2 + + ln一ln(一l) <14-丄 + 丄+ + , BP2 3/-I當(dāng) X G (0.1)時(shí) J'(x) >0:當(dāng) X

50、w a +00)時(shí) J'(x) < 0 :函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)：在區(qū)間(1,+8)為減函數(shù)4分(2) 由(1)得/(X)的極人值為/=1,令g(x) = x + lii/ v 2 +丄+丄+一，問題得以解決 377-1 -2x+k,所以當(dāng)X = 1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值g(l) = k-,又因?yàn)榉匠蘤(x) = x2-2x + k有實(shí)數(shù)解，那么m 即k<2,所以實(shí)數(shù)k的取值范闈是：k<28分(3) 函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,+co)為減函數(shù)，而1 + > 1(/1 eN*,n>2)tn:./(1+-)v/=1 1+ln(l+丄)v 1+

51、丄月卩l(xiāng)ii(n + 1)-Inn<-nn nn1/-Ilii/z = hi 2-lnl + lu3-ln24-4-In/? - In(“ 一1)<1 + * + 扌+ + 即 1 + In <2 + + - + +2 31一 1M() <2 +丄+ + +!結(jié)論成立.12分.2 3/-I考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：2.導(dǎo)數(shù)在最人值、最小值問題中的應(yīng)用.7. (1) a = l(2) ln3 lWbvln2 + ±(3)見解析 2【解析】 試題分析：(1)函a/(x) = ln(.v + a)-x2-x,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在x = 0處取得極值,可得f(O)

52、=。,求得a值：(2)關(guān)升的方程購=嶺*在區(qū)間陰上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為次0=0,在區(qū)間0,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對(duì) 此丫)對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出b的范國：(3) /(.v)=ln(x4-l)-x2-x的定義域?yàn)閤|x>-l.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln(x+l)-x:-x<0,令乳=丄, n町以得到式進(jìn)行放縮證明；試題解析：(1) fXx) = -2x-l ,.20時(shí)，/(.丫)取得極值，二廣(0) = 0x + a故一-2x0-l = 0,解得a = l0+a經(jīng)檢驗(yàn)° = 1符合題意.(2) 由 a = l 知/(x) = ln(x+l) 一.丫

53、由 f(x) = x+b , f51n(x+l)-x" + |x-/? = 0 令<p(x) = ln(x + l)-x2+Lx-b那么/(刃=-|® 在區(qū)間0,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等 價(jià)于.v) = 0在區(qū)間0,2上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.當(dāng)xe04時(shí)，0(x)>O.于是傾丫)在0J上單調(diào)遞増;當(dāng)xe(l,2時(shí)，0(羽<0.于是風(fēng)丫)在2上單調(diào)遞減.久0) = -b W 0,依題意有“ (1) = ln(l +1)-1 + "I-/>>0,解得ln3-lWb<ln2 +丄(p(2) = ln(l + 2)-4 + 3-bW0

54、(3)/(.v) = ln(.v +1) - 一 x 的定義域?yàn)?丫卜 >-1，由(1)知 f'x) = 丫' ；：),令廣(羽=0 得，x = 0»£x = -| (舍去)，.當(dāng)-KxvO 時(shí)，fx)>O,f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x>0時(shí)，fx)<Q, f(.x)單調(diào)遞減/為/(x)在(-l,+oo)上的最大值./(x)W/(O),故ln(x+l) FxWO (當(dāng)且僅當(dāng)工=0時(shí),等號(hào)成立)對(duì)任意正幣數(shù)，取x =丄>0得，ln(- + l)<丄+丄，)< nn n rrn ir3 44 9(方法二)數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)

55、=1時(shí)，左邊=上丫 = 2, + l . 3 . 4. n + 1 . z lv >ln2 + ln+ ln+ +ln= ln( + l)右邊= ln(l + l) = ln2,顯然2>ln2不等式成立.tr23it假設(shè) M k(k e Nk 1)時(shí),3 4 k + I2 +帶加+>噸+】)成立,Q d k 亠。 L -L. 0那么“2時(shí)，有2 +花+ +丁+ E>聞+ S(屮.作差比擬:.八八£ + 2. k + 2k + 2B111In 伙 + 2)- In 伙 +1) _r = In_r = ln(l +) - (+r(£ + )* + (&#

56、163; + 1)Zr + T '* + 1 (k +1)2構(gòu)建函數(shù) F(x) = ln(l + x)-x-x2(xe(0,1),那么 Fx)= “ 十習(xí) <0> /. F(x)在(0,1) x+1單調(diào)遞減，二 F(x)vF(0) = 0.取x=T(kl,keN*)9 ln(l +-)-(-!4-1)<F(0) = 0R + lk + 1 k + 1 伙+ 1)£+2k+2k+2k+2即噸+ 2)7(屮-丙廠in吋-丙嚴(yán)，亦即科+ Sg)>W + 2),34£ + 1 k + 2. k + 2故“2時(shí)，有：+花+亍+丙廠科+噸+“噸+幼不等式成立.綜上可知，對(duì)任意的正整數(shù)幾不等式2 + - + -+-+11> 111(/7 + 1)都成立4 9 tr考點(diǎn)：1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.8. 1 /X在0丄上單調(diào)遞減，在丄，杉上單調(diào)遞增；2 >,1-41：