人教版高中數(shù)學選修（2-1）-3.2《立體幾何中的向量方法（第3課時）》教學課件3

1、3.2立體幾何中的向量方法（三）立體幾何中的向量方法（三）空間中的角空間中的角想一想想一想：當一條直線：當一條直線l與一個平面與一個平面的夾角為的夾角為0時，這條直時，這條直線一定在平面內嗎？線一定在平面內嗎？提示提示不一定，這條直線還可能與平面平行不一定，這條直線還可能與平面平行概念引領概念引領投影投影夾角夾角02.空間中的角空間中的角提問：空間角有哪些類型，各自的取值范圍是什么提問：空間角有哪些類型，各自的取值范圍是什么角的分類角的分類向量求法向量求法范圍范圍異面直線異面直線所成的角所成的角設兩異面直線所成的角為設兩異面直線所成的角為，它們的方，它們的方向向量分別為向向量分別為a，b，則，

2、則cos _直線與平直線與平面所成的面所成的角角設直線設直線l與平面與平面所成的角為所成的角為，l的方向的方向向量為向量為a，平面，平面的法向量為的法向量為n，則，則sin _二面角二面角設二面角設二面角l的平面角為的平面角為，平面，平面、的法向量為的法向量為n1，n2，則，則|cos |_0，|cosa，b|cosa，n|cosn1，n2|1直線與平面所成角的求法直線與平面所成角的求法(1)幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成幾何法：找出斜線在平面上的射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構角就是線面角，可通過解由斜線段、垂線段和射影線段構成的直角

3、三角形獲解成的直角三角形獲解2(1)平移法：兩異面直線所成角的求法即通過平移其中一條平移法：兩異面直線所成角的求法即通過平移其中一條(也也可兩條同時平移可兩條同時平移)，使它們轉化為兩條相交直線，然后通過解，使它們轉化為兩條相交直線，然后通過解三角形獲解三角形獲解空間角的求法空間角的求法二面角的求法二面角的求法(1)幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲幾何法：作出二面角的平面角，然后通過解三角形獲解解(2)向量法：設二面角向量法：設二面角 l的兩個半平面的法向量分別為的兩個半平面的法向量分別為n1，n2.當平面當平面、的法向量與的法向量與、的關系如圖所示時，二面角的關系如圖所示時，二

4、面角 l 的平面角即為兩法向量的平面角即為兩法向量n1，n2的夾角的夾角n1，n23當平面當平面、的法向量與的法向量與、的關系如圖所示時，二面角的關系如圖所示時，二面角 l 的平面角與兩法向量的平面角與兩法向量n1，n2的夾角的夾角n1，n2互互補補求異面直線的夾角求異面直線的夾角 正方體正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是A1D1、A1C1的中點，求異面直線的中點，求異面直線AE與與CF所成角的余弦值所成角的余弦值【例例1】解解不妨設正方體棱長為不妨設正方體棱長為2，分別取，分別取DA、DC、DD1所在直線為所在直線為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標軸建立

5、如圖所示空間直角坐標系，則系，則規(guī)律方法規(guī)律方法 在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構建空間在解決立體幾何中兩異面直線所成角問題時，若能構建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解但應用向量法直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解但應用向量法時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別時一定要注意向量所成的角與異面直線所成角的區(qū)別 四棱錐四棱錐PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA與平面與平面ABCD所成的角為所成的角為60，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出點建立適當?shù)淖鴺讼?，并?/p>

6、出點B、P的坐標；的坐標；(2)求異面直線求異面直線PA與與BC所成的角的余弦值所成的角的余弦值【變式變式1】解解(1)如圖，建立空間直角坐標系如圖，建立空間直角坐標系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得 思路探索思路探索 利用正三棱柱的性質，建立適當?shù)目臻g直角利用正三棱柱的性質，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出有關點的坐標求角時有兩種思路：一是由坐標系，寫出有關點的坐標求角時有兩種思路：一是由定義找出線面角，取定義找出線面角，取A1B1的中點的中點M，連結，連結C1M，證明，證明C1AM是是AC1與平面與

7、平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平所成的角；另一種是利用平面面A1ABB1的法向量的法向量n(，x，y)求解求解求線面角求線面角【例例2】規(guī)律方法規(guī)律方法 用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的用向量法求線面角的一般步驟是：先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量有關知識求幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量有關知識求解線面角法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先解線面角法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算求平面法向量與斜線夾角，再進行換算【例例3】如圖所示，正三棱柱如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的的所有棱長都為所

8、有棱長都為2，D為為CC1的中點，求二面角的中點，求二面角AA1DB的余弦值的余弦值二面角的求法二面角的求法 解答解答如圖所示，取如圖所示，取BC中點中點O，連結，連結AO.因為因為ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因為在正三棱柱因為在正三棱柱ABC A1B1C1中，平中，平面面ABC平面平面BCC1B1，所以，所以AO平面平面BCC1B1.【題后反思題后反思】 幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該幾何法求二面角，往往需要作出其平面角，這是該方法的一大難點而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面方法的一大難點而用向量法求解二面角，無需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，轉化為兩直線角，只需求出平面的法向量，轉化為兩直線(或兩向量或兩向量)所成的角，所成的角，通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性 空間向量的具體應用主要體現(xiàn)為兩種方法空間向量的具體應用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標向量法和坐標法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、法這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空