新人教版八級數(shù)學(xué)下冊勾股定理知識點(diǎn)和典型例習(xí)題(2024023042)

1、IHntJOnJN FDCATinN新人教版八年級下冊勾股定理全章知識點(diǎn)和典型例習(xí)題根底知識點(diǎn)：1 勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a , b，斜邊為c，那么a2 b2 c2勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短的直角邊 稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了勾三，股四，弦五勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾

2、股定理的思路是 圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理 常見方法如下：8HEF -Gba_形式的方法：4SS正方形EFGHS正方形ABCD， 4babal(1122ab (b a) c ,化簡可證.c c2c.b|ca方法二:四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為1 2 2S 4 ab c 2ab c2大正方形面積為S (ab)22ab b2方法三：S梯形-(a b) (ab)， S弟形2S ADE S ABE2丄ab2-c2，化簡得證2所以a2 b3 勾

3、股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的 三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形4 勾股定理的應(yīng)用直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在ABC 中,C 90，那么 ca2 b2 ,b . c2 a2 ,a.c2 b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題5 .勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a , b , c滿足a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過數(shù)轉(zhuǎn)化

4、為形來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比擬，假設(shè)它們相等時，以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形；假設(shè)a2 b2 c2，時，以a , b , c為三邊的三角形是鈍角三角形；假設(shè) a2 b2 c2，時,以a , b , c為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如假設(shè)三角形三邊長a , b , c滿足2 2 2a c b,那么以a , b , c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時

5、，這個三角形是直角三 角形6 .勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 b2 c2中，a , b , c為正整數(shù)時，稱a , b , c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等7.勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理 時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng) 設(shè)法添加輔助線通常作垂線，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.8 勾股定理逆定理的應(yīng)

6、用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中,應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比擬，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比擬而得到錯誤的 結(jié)論.9 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定 個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.常見圖形：10、互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫 做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。敎育tD

7、CATlW題型一：直接考查勾股定理 例 1 在 ABC 中， C 90 AB 17, AC 15，求BC的長AC 6 , BC 8 求AB的長題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?例題2如圖8，水池中離岸邊 D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水局部BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC.題型三：勾股定理和逆定理并用 一一例題3 如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB 為什么？1 AB那么 DEF是直角三角形嗎?4圈3注：此題利用了四次勾股定理，

8、是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長度一一例題4如圖4，長方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn) 丘，將厶ADE折疊使點(diǎn) D恰好落在BC邊 上的點(diǎn)F，求CE的長.CVLN EDCAWN 題型五：利用勾股定例題5有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至 一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好翻開？題型六：旋轉(zhuǎn)問題:A3fC 1 5hlN5米以內(nèi)，燈就自動翻開,例題6如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB= 2.3 ,PC=4,求厶ABC的邊長.變式 如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=9

9、0 , E、F是BC上的點(diǎn)，且/ EAF=45試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由題型七：關(guān)于翻折問題例題7如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm， 邊上的點(diǎn)G處，求BE的長.BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD變式 如圖，AD是厶ABC的中線，/ ADC=45 的長，把 ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C 的位置，BC=4,求BC題型八：關(guān)于勾股定例1、如圖，公路 MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) 假使拖拉機(jī)行駛時，周圍 100米以內(nèi)會受到噪音影響, 影響，請說明理由；如果受到影響，拖拉機(jī)的速度是A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距

10、離為80米, 那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1 - 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊 緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它成心不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋 路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請問壁虎至少要爬行多少路程才 能捕到害蟲？n取3.14，結(jié)果保存1位小數(shù)，可以用計算器計算變式：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是 1cm，

11、假設(shè)一只螞蟻每秒爬行 2cm,那么它從下地面 A點(diǎn)沿外表爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？571、.三、課后訓(xùn)練：一、填空題米DBEOABA4.6cmB這種草皮每平方米售價a元BEDACBCF25點(diǎn)DF 第3題圖225a 元169D、32C、150a 元D、300a 元1 如圖，在高2米，坡角為12，假設(shè)36cm28，周長為、48那么第三邊長的平方是C、7另兩邊為自然數(shù)，那么C、1325 : 12,那么斜邊上的高與斜邊的比為C、12 : 13D、a+b=14cm, c=10cm,C、48cm232,那么三角形的面積為C、40、60那么Rt ABC的面積是D、60cm2 測得內(nèi)部底面半徑為2.

12、5 cm,高為12 cm,吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出30的樓梯外表鋪地毯，地毯的長至少需C亠 cmD后直接躍2. 種盛飲料的圓柱形杯如圖cm,問吸管要做3. ：如圖， ABC中，/ C = 90，點(diǎn)O ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，OD丄BC , OE丄AC , OF丄ABE、F分別是垂足，且 BC = 8cm , CA = 6cm，那么點(diǎn)O到三邊AB , AC和BC的距離分別等于 4. 在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的 A處。另一只爬到樹頂?shù)紸處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，那么這棵樹高米。5如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高

13、分別為20dm、3dm、2dm, A和B是這個臺階兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)最短路程是A 20二、選擇題1. 一個 Rt的兩邊長分別為 3和4A、 25B、 142. Rt一直角邊的長為 11,A、 121 B、 1203. 如果Rt兩直角邊的比為A、60 : 13 B、54. Rt ABC 中，/ C=90A、24cm2B5. 等腰三角形底邊上的高為A、56B6. 某市在舊城改造中， 方案在市內(nèi)一塊如下列圖的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境 那么購置這種草皮至少需要A、450a 元20m .150 -30mD、7或Rt 的周長為D、不能確

14、定第7題圖圖1-I-FI8 7V乂JA7.，如圖長方形 ABCD 的面積為 中，AB=3cm , AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為 EF，那么 ABEA、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2&在 ABC 中，AB=15 , AC=13，高 AD=12，那么 ABC 的周長為33A . 42B. 32C . 42 或 32D . 37 或9.如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC，假設(shè)小方格邊長為 1,那么厶ABC是 A丨直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D以上答案都不對敎育EDCATCh三、計算1、如圖，A、B是筆直公路I同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是30

15、0m和500m，兩村莊之間的距離為dd2=400000m2，現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？2、如圖1-3-11，有一塊塑料矩形模板 ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上不與A、D重合，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點(diǎn) P： 能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C?假設(shè)能，請你求出這時AP的長；假設(shè)不能，請說明理由 . 再次移動三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動，直角邊PH始終通過點(diǎn)B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q,與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2cm ?假設(shè)能，請你求出這時 AP的長；假設(shè)不能，請你說明理由 四、思維訓(xùn)練:1、葛藤是一