第二章 試驗(yàn)的方差分析

1、試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)主講：李兵主講：李兵第二章 試驗(yàn)的方差分析知識回顧（補(bǔ)充）知識回顧（補(bǔ)充） 期望值（均值）期望值（均值） 方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）期望值期望值描述隨機(jī)變量取值的平均特描述隨機(jī)變量取值的平均特征征例例 設(shè)某班設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績及得分人名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績及得分人數(shù)如下表所示：數(shù)如下表所示： 分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 40 60 70 80 90 100 人數(shù)人數(shù) 1 6 9 15 7 2則學(xué)生的平均成績是總分則學(xué)生的平均成績是總分總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)(分分)。即。即)(5 .76271596110029078015709606401分nkkkpxXE1)( 定義定

2、義 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 則稱為為X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，簡稱，簡稱期望值期望值或或均值均值。期望值期望值方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差） 方差方差衡量隨機(jī)變量取值衡量隨機(jī)變量取值波動程度波動程度的一個(gè)數(shù)的一個(gè)數(shù)字特征。字特征。定義 若E(X),E(X2)存在，則稱EX-E(X)2 為X的方差，記為D(X),或Var(X). 稱稱為為X X的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差或或均方差均方差)()(XDX 方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）方差、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）方差分析的基本問題例例2.12.1：考察：考察CrCr元素對某金屬硬度的影響。元素對某金屬硬度的影響。制備四種試樣制備四種試樣CrCr

3、含量分別為：含量分別為：0.1%0.1%、0.3%0.3%、0.5%0.5%、0.7%0.7%。分別用。分別用5 5臺洛氏硬度儀測試對臺洛氏硬度儀測試對四種試樣進(jìn)行測試。問四種試樣進(jìn)行測試。問CrCr含量是否對該金含量是否對該金屬硬度產(chǎn)生影響。屬硬度產(chǎn)生影響。問題的提出四種金屬的洛氏硬度及均值四種金屬的洛氏硬度及均值硬度儀硬度儀( j )水平水平A ( i )0.1%(A1)0.3%(A2)0.5%(A3)0.7%(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)

4、合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值水平均值觀察值個(gè)數(shù)觀察值個(gè)數(shù) x1 =27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值總均值x =28.695問題的提出 方差分析要解決的問題方差分析要解決的問題Xf(X) 1 1 2 2 3 3 4 4f(X) 3 3 1 1 2 2 4 40.10.30.50.71)硬度均值相等硬度均值相等2)硬度均值不等硬度均值不等方差分析的基本思想和原理1 1）隨機(jī)誤差）隨機(jī)誤差 在因素的同一水平在因素的同一水平( (同一個(gè)總體同一個(gè)總體) )下，下，樣本的各觀察值之間的差異樣本的各觀察值之間

5、的差異1. 1. 兩類誤差兩類誤差2 2） 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在因素的不同水平在因素的不同水平( (不同總體不同總體) )下，各觀察值下，各觀察值之間的差異之間的差異比如，同一硬度儀，不同比如，同一硬度儀，不同CrCr含量的試樣硬度含量的試樣硬度也是不同的也是不同的這種差異這種差異可能可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能也可能是由于是由于CrCr含量所造成的，后者所形成的含量所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的2. 2. 兩類方差兩類方差1 1） 組內(nèi)方差組內(nèi)方差因素的同一水平因素的同一水平( (同一個(gè)總體同一個(gè)總體) )下樣本數(shù)據(jù)

6、的方下樣本數(shù)據(jù)的方差差組內(nèi)方差只包含組內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差2 2） 組間方差組間方差因素的不同水平因素的不同水平( (不同總體不同總體) )下各樣本之間的方下各樣本之間的方差差組間方差既包括組間方差既包括隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差，也包括，也包括系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差u如果水平對指標(biāo)沒有影響，那么在組間方差中只如果水平對指標(biāo)沒有影響，那么在組間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值方差與組內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值就會接近就會接近1u如果不同的水平對指標(biāo)有影響，在組間方差中除如果不同的水平對指標(biāo)有影

7、響，在組間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方組間方差就會大于組內(nèi)方差，組間方差與組內(nèi)方差的比值就會大于差的比值就會大于1u當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在著顯著差異之間存在著顯著差異3. 3. 方差比較方差比較單因素方差分析觀察值觀察值 ( j )因素因素(A) i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x12 x1k x21 x22 x2k : : : : : : : : xn1 xn2 xnk 單因素方差分析的數(shù)

8、據(jù)結(jié)構(gòu)單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量1.1.樣本（組內(nèi)）平均值樣本（組內(nèi)）平均值例例2.1中：中： =(26.5+28.7+27.2)/5=27.321x2.2.總平均值總平均值例例2.1中：中： =(26.5+28.7+32.8)/25=28.695x3.3.離差平方和離差平方和SST (SST (Sum of Squares for TotalSum of Squares for Total) )全部觀察值全部觀察值 與總平均值與總平均值 的離差平方和的離差平方和 反映全部觀察值的離散狀況反映全部觀察值的離散狀況例例2.1中：中：SST=(26.5-28.695)2+(28

9、.7-28.695)2+(32.8-28.695)2=115.9304.4.誤差項(xiàng)平方和誤差項(xiàng)平方和SSESSE 反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又 稱組內(nèi)離差平方和稱組內(nèi)離差平方和 該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小例例2.1中：中：SSE1=(26.5-27.32)2+(28.7-27.32)2+(27.2-27.32)2=10.688SSE2=(31.2-29.56)2+(29.6-29.56)2=8.572SSE3=(27.9-26.44)2+(26.5-26.442=13.20SSE4=(30.8-31.46)2+(32.8

10、-31.46)2=6.632SSE=10.688+8.572+13.22+6.632=39.0845.5.水平項(xiàng)平方和水平項(xiàng)平方和SSASSAu各組平均值各組平均值 與總平均值與總平均值 的離差的離差u平方和平方和u反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和間平方和u該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差例例2.1中：中：SSA=5 (27.32-28.695)2 + 5 (29.56-28.695)2 +5 (26.44-28.695)2 + 5 (31.46-28.695)2 =76.8455總離差平方

11、和總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和水平項(xiàng)離差平方和 (SSA) 之之 間的關(guān)系間的關(guān)系 6.6.三個(gè)平方和的關(guān)系三個(gè)平方和的關(guān)系各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差平均，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和的自由度分別是三個(gè)平方和的自由度分別是SST 的自由度為的自由度為n-1，其中，其中n為全部觀察值的

12、個(gè)數(shù)為全部觀察值的個(gè)數(shù)SSA的自由度為的自由度為k-1，其中，其中k為因素水平為因素水平(總體總體)的的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)SSE 的自由度為的自由度為n-k7.7.均方均方MSMS1 1） SSASSA的均方也稱組間方差，記為的均方也稱組間方差，記為MSAMSA，計(jì)算，計(jì)算公式為公式為SSESSE的均方也稱組內(nèi)方差，記為的均方也稱組內(nèi)方差，記為MSEMSE，計(jì)算公，計(jì)算公式為式為例例2.1中：中：MSA=76.8455/(4-1)=25.6152例例2.1中：中：MSE=39.0840/(20-4)=2.44288.8.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量將將MSAMSA和和MSEMSE進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)

13、量進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F F例例2.1中：中：F=25.6152/2.4428=10.4869.F9.F分布與拒絕域分布與拒絕域 單因素方差分析表基本結(jié)構(gòu)方差來源方差來源平方和平方和SS自由度自由度df均方均方MSF 值值組間組間(因素影響因素影響) 組內(nèi)組內(nèi)(誤差誤差) 總和總和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSA/MSE例例2.1中：中：F=25.6152/2.4428=10.486, 取取 0.05，查表，查表 F （k-1,n-k） F 0.05 （3,16）3.23887由于由于F F ，故可以認(rèn)為在顯著性水平故可以認(rèn)為在顯著性水平0.05或可因度為或

14、可因度為1- 95情況下，不情況下，不同同Cr含量對金屬硬度有顯著影響。含量對金屬硬度有顯著影響。差異源差異源SSSSdfdfMSMSF FP-valueP-valueF critF crit組間組間76.845576.84553 325.6151725.6151710.486210.48620.0004660.0004663.2388723.238872組內(nèi)組內(nèi)39.08439.08416162.442752.44275總計(jì)總計(jì)115.93115.931919Excel輸出的方差分析表（例輸出的方差分析表（例2.1）多重比較簡介 在確認(rèn)因子在確認(rèn)因子A的的k個(gè)水平均值間有顯著差異的個(gè)水平均值

15、間有顯著差異的情況下，進(jìn)一步要問：哪些水平均值間確有顯情況下，進(jìn)一步要問：哪些水平均值間確有顯著差異，那些水平均值間無顯著差異，這就要著差異，那些水平均值間無顯著差異，這就要進(jìn)行多重比較。進(jìn)行多重比較。 多重比較的檢驗(yàn)法則很多，一般分為二類：多重比較的檢驗(yàn)法則很多，一般分為二類：(1)重復(fù)數(shù)相等的情況；重復(fù)數(shù)相等的情況；(2)重復(fù)數(shù)不等的情況重復(fù)數(shù)不等的情況重復(fù)數(shù)相等的多重比較重復(fù)數(shù)相等的多重比較(T法法)mMSfkqccyyeeji/),(1其中其中 是統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布的分位數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布的分位數(shù)，可從有關(guān)表中查得可從有關(guān)表中查得),(1efkq重復(fù)數(shù)不等的多重比較重復(fù)數(shù)不等的多重比

16、較(S法法)ejieijMSmmfkFkc11), 1() 1(1ijjicyy雙因素方差分析 雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量SST = SSA +SSB+SSE總離差平方和總離差平方和( (SST SST ) )、水平項(xiàng)離差平方和、水平項(xiàng)離差平方和 ( (SSASSA和和SSBSSB) ) 、誤差項(xiàng)離差平方和、誤差項(xiàng)離差平方和( (SSESSE) ) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 3) 3) SSE SSE的均方，組內(nèi)方差，記為的均方，組內(nèi)方差，記為MSEMSE，計(jì)算公，計(jì)算公式為式為均方均方 為檢驗(yàn)因素為檢驗(yàn)因素A A的影響是否顯著，采用下面的的影響是否顯著

17、，采用下面的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 為檢驗(yàn)因素為檢驗(yàn)因素B B的影響是否顯著，采用下面的的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量包裝方式（包裝方式（A）A1A2A3A4A5銷銷售售地地區(qū)區(qū)BB12012201014B2221020126B32414181810B41648618B52622162010例例2.22.2：某商品有五種包裝（因素：某商品有五種包裝（因素A A），在五個(gè)不同地），在五個(gè)不同地區(qū)銷售（因素區(qū)銷售（因素B B），每個(gè)地區(qū)物種包裝方式的銷售資），每個(gè)地區(qū)物種包裝方式的銷售資料見下表。問包裝方式和地區(qū)是否對銷售量產(chǎn)生影響。料見下表。問包裝方式和地區(qū)是否對銷售量產(chǎn)生影響。例例2.2中：中：

18、 SST=(20-15.04)2+(10-15.04)2=880.96 SSA=5(21.6-15.04)2+5(11-15.04)2=335.36 SSB=5(15.2-15.04)2+5(18.8-15.04)2=199.36 SSE=880.96-335.36-199.36=346.24 MSA=335.36/(5-1)=83.84MSB=199.36/(5-1)=49.84MSE=346.24/(5-1)(5-1)=21.46差異源差異源SSSSdfdfMSMSF FP-valueP-valueF critF crit行行(B)(B)199.36199.364 449.8449.842.3031422.3031420.1031950.1031953.0069173.006917列列(A)(A)33