極坐標與全參數方程題型及解題方法48233

1、實用文檔一、復習提問1、極坐標系和直角坐標系有什么區(qū)別？學校老師課堂如何講解極坐標參數方程的？2、如何把極坐標系轉化為直角坐標系？答：將極坐標的極點 。作為直角坐標系的原點，將極坐標的極軸作為直角坐標系x軸的正半軸。如果點 P在直角坐標系下的坐標為 （x, y）,在極坐標系下的坐標為 （P,8）,則有下xy列關系成乂： cos日=一 ,sin日=一,PP2224、圓（xa） +（yb） =r 的參數方程是什么？5、極坐標系的定義是什么？答：取一個定點 O,稱為極點，作一水平射線 Ox,稱為極軸，在 Ox上規(guī)定單位長度，這樣就組成了一個極坐標系設 op = pop,又/xOP = e . p和8

2、的值確定了，則 P點的位置就確定了。 P叫做P點的極半徑，8叫做P點的極角，（P,8）叫做P點的極坐標（規(guī)定p寫在前，日寫在后）。顯然，每一對實數（P, 8）決定平面上一個點的位置.6、參數方程的意義是什么？二、題型與方法歸納極坐標與普通方程的互相轉化1、題型與考點（1） 極坐標與直角坐標的互相轉化參數方程與普通方程互化（2） 參數方程與直角坐標方程互化1利用參數方程求值域（3） '參數方程的幾何意義2、解題方法及步驟（1）、參數方程與普通方程的互化化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數的）消去法；化普通方程為參數方程的基

3、本思路是引入參數，即選定合適的參數t,先確定一個關系x=f（t）（或y=g（t）,再代入普通方程 F（x,y）=0,求得另一關系y=g（t）（或x = f （t ）. 一般地，常選擇的參數有角、有向 線段的數量、斜率，某一點的橫坐標（或縱坐標） 例1、方程（t為參數）表木的曲線是（）=2 +2A.雙曲線 B. 雙曲線的上支 C.雙曲線的下支D.圓解析：注意到2tt與2互為倒數，故將參數方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含t的項，x2 -y2 =（2t 2上）2 （2t十2,）2 = -4 ,即有x2+y2 =4 ,又注意到 2t >0 , 2t +2之2J2t ,2'=

4、2 ,即y之2 ,可見與以上參數方程等價的普通方程為22y - =4（y之2）,顯然它表本焦點在 y軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選B.練習1、與普通方程x2 + y -1 = 0等價的參數方程是（）（t為能數）x =sintx = tant2工y = cos ty =1 - tan21Cx = V1 -1Dx = costJ=ty = sin21標準文案解析：所謂與方程 x2 + y -1 =0等價，是指若把參數方程化為普通方程后不但形式一致而且x,y的變化范圍也對應相同，按照這一標準逐一驗證即可破解對于A化為普通方程為對于B化為普通方程為 對于C化為普通方程為 對于D化為普通方程為x2

5、 +y -1 =0, xw-1,1 ，產 01 ；2x +y1=0, x= R, yu(-0°,1;2一_x +y-1=0, xu0,+a), yu(-0°,1;x2 y -1 =0, x 1 -11 1, y 三 0 1 LB.而已知方程為x2+y1=0, xWR, yw （笛,1,顯然與之等價的為 練習2、設P是橢圓2x2+3y2 =12上的一個動點，則 x + 2y的最大值是 ,最小值 為 分析：注意到變量（x, y）的幾何意義，故研究二元函數x + 2y的最值時，可轉化為幾何問題.若設x+2y=t,則方程x+2y =t表示一組直線，（對于t取不同的值，方程表示不 同

6、的直線），顯然（x,y）既滿足2x2+3y2 =12,又滿足x+2y=t,故點（x, y）是方程組 2x2 +3v2 =12x y 的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉化為研究消無后的一x +2y =t元二次方程的判別式 之 0問題.解析：令x+2y=t,對于（x,y ）既滿足2x2+3y2=12，又滿足x + 2y=t,故點（x, y）22口、 2x2 3y =12 ,是方程組« y 的公共解，依題意得11y28t，y + （2t2-12）=0 ,由 x 2y =t =64t2 4>d1M（2t2 12）至0,解得：J2?WtE J22 ,所以 x + 2y 的最大

7、值為 歷,最小值為一.22.（2）、極坐標與直角坐標的互化利用兩種坐標的互化， 可以把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與x軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設點P的直角坐標為（x, y）,它的極坐標為(P,0),貝Ux - ：'cosiy = ；sin?222=x y或ytanu =-x若把直角坐標化為極坐標，求極角 日時，應注意判斷點 P所在的象限（即角8的終邊的位置），以便正確地求出角1.0例2、極坐標方程4P sin2 =5表示的曲線是（）2A. 圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支D.拋物線分析：這類問題需要將極坐標方程轉化為普

8、通方程進行判斷.21斛析：由 4; sin 一 =22收十y2 -2x = 5,化簡得一 1 一cosi 一 一 .4= 2 - 2 cOS = 5化為直角坐標系方程為2=5x十生.顯然該方程表示拋物線，故選 D.4練習1、已知直線的極坐標方程為:sing 三）二二，則極點到該直線的距離是 422 一 . 2斛析：極點的直角坐標為 O(0,0),對于方程Psin(H+) =(PsinB + Pcos)=,422可得PcosQ + Psin8 =1 ,化為直角坐標方程為x + y-1 = 0 ,因此點到直線的距離為練習2、極坐標方程P2cos6 - P = 0轉化成直角坐標方程為（）.2222A

9、. x +y =0或y=1 B , x = 1 C . x +y =0或x = 1 D . y = 1分析：極坐標化為直解坐標只須結合轉化公式進行化解解析：P2 cos B P = 0,n P = Jx2 + y2 = 0 ,或 P cos9 = x = 0 ,因此選 C.練習3、點M的直角坐標是（-1,J3）,則點M的極坐標為（）冗A. (2, -) B一 二.2 二一一 二.(2, ) C . (2,一)D . (2,2座 +一),(kWZ)333解析：(2, 2k:),(k w Z)都是極坐標，因此選 C.(3)、參數方程與直角坐標方程互化例3:已知曲線C1的參數方程為x = 2 +71

10、0cose ,(0為參數)，曲線C2的極坐標方程y = . 10 sin為 P =2cos日 +6sin 6 .(1)將曲線&的參數方程化為普通方程，將曲線 C2的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)曲線C1, C2是否相交，若相交請求出公共弦的長，若不相交，請說明理由.x - -2， 10 cos22解：(1)由_得(x+2)2 + y2 =10 ,y =、10sin 二曲線C1的普通方程為(x+2)2+y2 =10,.2.P = 2cos6+6sin日，二 P = 2Pcos6 + 6Psin日，P2 = x2 + y2 , x = Pcos<3 , y = Psin 8,22

11、一22 x2 + y2 =2x +6y ,即(x +2)2 十 y2 =10 ,曲線C2的直角坐標方程為(x+2)2 +y2 =10 ；(2) 圓Ci的圓心為(2,0),圓C2的圓心為(1,3),C1C2=,(-2-1)2 (0-3)2 =3.2 ： 2 10兩圓相交，設相交弦長為 d ,因為兩圓半徑相等，所以公共弦平分線段C1C2. (d)2 +(言)2 =(J10)2, . . d = J22 , 公共弦長為 v'22練習1、坐標系與參數方程.已知曲線C:x=6+2cos"(日為參數，0 MH M2冗), y =1 +2sin8(I)將曲線化為普通方程；(n)求出該曲線在

12、以直角坐標系原點為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系下的極坐標方程.解析：(I)()x2y2 - 2.3x -2y = 0P -2.3 cos sin(4)利用參數方程求值域例題4、在曲線C1 : ，=1 *C0S8(6為參數)上求一點，使它到直線C2 y =sinl-1x - -2*J2 , t22 (t為參數)的距離最小，并求出該點坐標和最小距離.解：直線C2化成普通方程是X十y -222 -1 ,設所求的點為P(1 +cos6,sin0 ),ji=| sin(8 +) +2 |,4則c到直線C2的距離d:cose+sinL-11、2".二3二，.5二，、, 22當H+= 時，即

13、日= 時，d取最小值1 ,此時，點P的坐標是(1 -).42422練習1、在平面直角坐標系 xOy中，動圓x2 + y2 -8Xcos6 -6ysin6 +7cos20 +8 = 0(OWR)的圓心為P(x, y)，求2x y的取值范.x = 4 cos 6解：由題設得3(8為參數，0WR),y =3sin 日于是 2x y =8cose -3sin6 =J73cos(e + 平)，所以mT3 < 2x - y <<73 .練習2、已知曲線C的極坐標方程是P = 2sinH ,設直線L的參數方程是x-t 5(t為參數).(I)將曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程；(n)設直

14、線L與x軸的交點是 M , N曲線C上一動點，求|MN |的最大值.解：(1)曲線C的極坐標方程可化為：P2=2Psin8又 x2 + y2=P2, x = PcosB, y = Psin6.所以，曲線C的直角坐標方程為：x2+y22y =0.（2）將直線L的參數方程化為直角坐標方程得:y = _g(x_2),令y=0得x =2即M點的坐標為（2,0）,又曲線C為圓，圓C的圓心坐標為（0,1）,半徑r=1,則 | MC |=木，二| MN 國 MC | +r = 75 +1 .（5）直線參數方程中的參數的幾何意義例5、已知直線l經過點P（1,1）,傾斜角0 一，6寫出直線l的參數方程；設l與圓

15、x2 + y2 = 4相交與兩點A, B ,求點P到A, B兩點的距離之積T 1J3x = 1 tcos x =1 t解 （1）直線的參數方程為66,即I 2 .nI1y =1 +tsin! y=1+ t工6I2工73x =1 t(2)把直線«2 代入x2 + y2 =4 ,1y =1 t 2得(1 + t)2 +(1 +1t)2 =4,t2 +(V3 + 1)t -2 = 0 , t1t2 = -2 ,22則點P到A, B兩點的距離之積為2 .x =1 +4t練習1、求直線5（t為參數）被曲線3y = -1 t.5P = J2cos（8 +：）所截的弦長.J x =1 + t 解：

16、將方程53y - -1 一 t 5P = J2cosg +-）分別化為普通方程:43x+4y +1 =0,八 一、11、，-2y = 0 ,圓心C（-,一一）,半徑為 ，222圓心到直線的距離d =,弦長l =252 -d2 =21-1- =7 102 1005（6）、參數方程與極坐標的簡單應用參數方程和極坐標的簡單應用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某 些函數的最值問題.例6、已知AABC的三個頂點的極坐標分別為 A（5,-） , B（5,-） , 0（-473,-）, 323判斷AABC的形狀，并計算其面積.分析：判斷AABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊

17、長較為容 易，不妨先計算邊長.5 二解析：如圖，對于 NAOB ZBOC =，ZAOC36又|OAROB| = 5, |OC|=4j3,由余弦定理得： 222AC =|OA +|OC -2OA OC cos/AOC=52 +(473 2 -25473 cos5 =133,二| AC |= ?夜，同理 | BC |= <133，二| AC |=| BC | , 所以AABC為等腰三角形，又| AB ROAROB |=5, 所以 AB 邊上的高 h =J(AC/'g(AB(j =1331 13,365,3SABC=2 = 5.練習1、如圖，點A在直線x=5上移動，等腰AOPA的頂角/

18、OPA為1200 （O, P, A 按順時針方向排列），求點P的軌跡方程.解析：取。為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系， 則直線x = 5的極坐標方程為 P cos日=5 ,設A（p0,8。）, P（P,設）,因點A在直線Pcos6=5上,二為cos日0=5 <1>AOPA為等腰三角形，且/OPAA =120°,而 |OP 尸 P, 10Atp0,以及/POA = 30 口，二 P0=5/3 P,且 =日30© <2>,把 <2> 代入 <1>, 得點P的軌跡的極坐標方程為：J3Pcos（e 30） = 5.三、趁熱打鐵x

19、:intA.B.1-y =y =t 2. sint1 .把方程xy =1化為以t參數的參數方程是（）x = costx=tantC.1 D.1y 二 y 二cost. tant解析：D , xy=1, x取非零實數，而 A, B, C中的x的范圍有各自的限制x = 2 5t2.曲線y =1-2t（t為參數）與坐標軸的交點是（A. （0,2）、（工,0）B -（0,1）、（1,0）C.（0, -4）、（8,0）D.（0,5）、（8,0）5 25 2921 1斛析：b,當x = 0時，t = 一，而y =1 -2t ,即y =，得與y軸的交點為（0,一）；5551_ _11當y=0時，t =,而x

20、 = 2+5t ,即x =,得與x軸的交點為（一,0）.222x =1 2t223.直線（t為參數）被圓x2十y2 =9截得的弦長為（）y =2 t12B.A.5解析：Bx =1 2ty =2 tx = 1 % 5t2.，把直線x = 1+2t代入1y = 2 t、,522 一一 一 2_2_2_x +y =9 得（1+2t） +（2+t） =9,5t +8t4=0,t1 -t2t1 - t2=乜）2-4垃2幻（-8）2十生=學弦長為T5|555x =4t 一一 “一4,若點P（3, m）在以點F為焦點的拋物線（t為參數）上，則PF等于（）y=4tA. 2B. 3 C. 4D. 5解析：C 拋

21、物線為y2=4x,準線為x = 1, PF為P（3, m）到準線x=1的距離,即為4.x =3sin ： ： 4cosi6.圓的參數方程為 但為參數），則此圓的半徑為y =4sin 1-3cos?, x =3sin n 4cos 122解析： 由:得x2 + y2 =25y = 4sin 1-3cosi故半徑為5.7.分別在下列兩種情況下，把參數方程x4(ety =2(8e,）cos 二化為普通方程:-e'）sin 二（1） 8為參數，t為常數；（2） t為參數,日為常數;解:(1)當 t=0時，y=0,x = cos9即 x E1,且y = 0;x當 t 豐 0時，cose =1 t

22、2(e e ),sin 二1 /12(e-e)而 sin 2 6 +cos2 8=1,即1t 工2(e e )2y_11 解析：B 轉化為普通方程:，1 / t_t、2(e -e )4(2)當 k =kn,kw Z 時，y =0,1 ,x = ±5(e+e ),即 x 之 1,且y = 0；當 e =kn +；,k w Z 時，x=0,1 / ty = -2(e-e-t),即 x = 0 ；t e,kZ時，得ee”2xcos12ysin f2ecos2xasin 12ycos- sin 1t t / 2x得 2e 2e =(-cos2xcos2 U8.過點.10 j fP(,0)作傾

23、斜角為2口的直線與曲線x2+12y2=1交于點M ,N ,求PM PN的值及相應的 豆的值.10解：設直線為x=2" tcos"（t為參數），代入曲線并整理得 y =tsin ;2，1 sin 二(1 +sin2a)t2 +(Mcosu)t +- =0,則 PM PN = 11t2 =22所以當sin a =1時，即a =TTPM PN3 ，一，的最小值為一，此時49,參數方程戶cos8（sin8+co刈（日為參數）表示什么曲線?y = sin i（sin 二 cosi）-y-,COs2 =cos y21xx =cossi幣COS2srn 212 t ancos丁2 1 t

24、anico s2、 x21 wxy 1 x21 Xx2,x(1+當)=2+1 ，x x0.即x2四、溫故強化x = sin2 二1.下列在曲線廣（e為參數）上的點是（）y =cosi sin?C. (2, 73)D. (1,73),、“3一，=1 + x ,當 x = 一一時，y4x = 2 sin2 12,將參數方程22（6為參數）化為普通萬程為（y =sin -D.A. y=x2B. y=x+2 C. y = x -2(2 < x 3)解析：C轉化為普通方程：y=x2,但是xW2,3, yW0,1.（其中O是極點）3 .若 A(3, -), B(-3,%)，則 |AB|=解析：在極坐

25、標系中畫出點A、B,易得NAOB =1500,在 AAOB 中，由余弦定理得： AB2 =OA2+OB2 2OA OBcos/AOB ,-J ABB |= v32 + 32 - 2 x 3 x 3xcos1500 = 3；2 + 43 = 3 «6 + V2),一 1 一 一所以 SAB = 2OA Q6 * B19sin AOB = 3 3 sin150 = .x =2t4 .直線«2（t為參數）被圓x2 +y2 =4截得的弦長為y = -1-t1,2d =-=,弦長的一半為222解析：JT4直線為x + y -1 = 0 ,圓心到直線的距離222巫,得弦長為J14.25.直線（t為參數）上任一點 P到的距離為解析：所求距離為21t| （把直線的參數方程化為標準形式）F2(3,0),5cos?-3 35cos1由重心坐標公式，得:334sin - 0 0 _ 4sin -（8為參數），消參，得點G的軌跡方程為7.若方程mPcos28+3Psin28 6cos9 =0的曲線是橢圓，求實數 m的取值范圍.解析：將方程兩邊同乘以，化為：m（Pcos9）2 +3（Psin9）2 6Pcos8 =0 ,22+匕=1,若方程表示橢圓, 33