極坐標(biāo)與全參數(shù)方程題型及解題方法48233

1、實(shí)用文檔一、復(fù)習(xí)提問(wèn)1、極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別？學(xué)校老師課堂如何講解極坐標(biāo)參數(shù)方程的？2、如何把極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系？答：將極坐標(biāo)的極點(diǎn) 。作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將極坐標(biāo)的極軸作為直角坐標(biāo)系x軸的正半軸。如果點(diǎn) P在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 （x, y）,在極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 （P,8）,則有下xy列關(guān)系成乂： cos日=一 ,sin日=一,PP2224、圓（xa） +（yb） =r 的參數(shù)方程是什么？5、極坐標(biāo)系的定義是什么？答：取一個(gè)定點(diǎn) O,稱為極點(diǎn)，作一水平射線 Ox,稱為極軸，在 Ox上規(guī)定單位長(zhǎng)度，這樣就組成了一個(gè)極坐標(biāo)系設(shè) op = pop,又/xOP = e . p和8

2、的值確定了，則 P點(diǎn)的位置就確定了。 P叫做P點(diǎn)的極半徑，8叫做P點(diǎn)的極角，（P,8）叫做P點(diǎn)的極坐標(biāo)（規(guī)定p寫在前，日寫在后）。顯然，每一對(duì)實(shí)數(shù)（P, 8）決定平面上一個(gè)點(diǎn)的位置.6、參數(shù)方程的意義是什么？二、題型與方法歸納極坐標(biāo)與普通方程的互相轉(zhuǎn)化1、題型與考點(diǎn)（1） 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化參數(shù)方程與普通方程互化（2） 參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化1利用參數(shù)方程求值域（3） '參數(shù)方程的幾何意義2、解題方法及步驟（1）、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基

3、本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t,先確定一個(gè)關(guān)系x=f（t）（或y=g（t）,再代入普通方程 F（x,y）=0,求得另一關(guān)系y=g（t）（或x = f （t ）. 一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向 線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)） 例1、方程（t為參數(shù)）表木的曲線是（）=2 +2A.雙曲線 B. 雙曲線的上支 C.雙曲線的下支D.圓解析：注意到2tt與2互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含t的項(xiàng)，x2 -y2 =（2t 2上）2 （2t十2,）2 = -4 ,即有x2+y2 =4 ,又注意到 2t >0 , 2t +2之2J2t ,2'=

4、2 ,即y之2 ,可見(jiàn)與以上參數(shù)方程等價(jià)的普通方程為22y - =4（y之2）,顯然它表本焦點(diǎn)在 y軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支，選B.練習(xí)1、與普通方程x2 + y -1 = 0等價(jià)的參數(shù)方程是（）（t為能數(shù)）x =sintx = tant2工y = cos ty =1 - tan21Cx = V1 -1Dx = costJ=ty = sin21標(biāo)準(zhǔn)文案解析：所謂與方程 x2 + y -1 =0等價(jià)，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且x,y的變化范圍也對(duì)應(yīng)相同，按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗(yàn)證即可破解對(duì)于A化為普通方程為對(duì)于B化為普通方程為 對(duì)于C化為普通方程為 對(duì)于D化為普通方程為x2

5、 +y -1 =0, xw-1,1 ，產(chǎn) 01 ；2x +y1=0, x= R, yu(-0°,1;2一_x +y-1=0, xu0,+a), yu(-0°,1;x2 y -1 =0, x 1 -11 1, y 三 0 1 LB.而已知方程為x2+y1=0, xWR, yw （笛,1,顯然與之等價(jià)的為 練習(xí)2、設(shè)P是橢圓2x2+3y2 =12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 x + 2y的最大值是 ,最小值 為 分析：注意到變量（x, y）的幾何意義，故研究二元函數(shù)x + 2y的最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.若設(shè)x+2y=t,則方程x+2y =t表示一組直線，（對(duì)于t取不同的值，方程表示不 同

6、的直線），顯然（x,y）既滿足2x2+3y2 =12,又滿足x+2y=t,故點(diǎn)（x, y）是方程組 2x2 +3v2 =12x y 的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為研究消無(wú)后的一x +2y =t元二次方程的判別式 之 0問(wèn)題.解析：令x+2y=t,對(duì)于（x,y ）既滿足2x2+3y2=12，又滿足x + 2y=t,故點(diǎn)（x, y）22口、 2x2 3y =12 ,是方程組« y 的公共解，依題意得11y28t，y + （2t2-12）=0 ,由 x 2y =t =64t2 4>d1M（2t2 12）至0,解得：J2?WtE J22 ,所以 x + 2y 的最大

7、值為 歷,最小值為一.22.（2）、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化利用兩種坐標(biāo)的互化， 可以把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，這二者互化的前提條件是（1）極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）極軸與x軸正方向重合；（3）取相同的單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x, y）,它的極坐標(biāo)為(P,0),貝Ux - ：'cosiy = ；sin?222=x y或ytanu =-x若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角 日時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn) P所在的象限（即角8的終邊的位置），以便正確地求出角1.0例2、極坐標(biāo)方程4P sin2 =5表示的曲線是（）2A. 圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支D.拋物線分析：這類問(wèn)題需要將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普

8、通方程進(jìn)行判斷.21斛析：由 4; sin 一 =22收十y2 -2x = 5,化簡(jiǎn)得一 1 一cosi 一 一 .4= 2 - 2 cOS = 5化為直角坐標(biāo)系方程為2=5x十生.顯然該方程表示拋物線，故選 D.4練習(xí)1、已知直線的極坐標(biāo)方程為:sing 三）二二，則極點(diǎn)到該直線的距離是 422 一 . 2斛析：極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 O(0,0),對(duì)于方程Psin(H+) =(PsinB + Pcos)=,422可得PcosQ + Psin8 =1 ,化為直角坐標(biāo)方程為x + y-1 = 0 ,因此點(diǎn)到直線的距離為練習(xí)2、極坐標(biāo)方程P2cos6 - P = 0轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為（）.2222A

9、. x +y =0或y=1 B , x = 1 C . x +y =0或x = 1 D . y = 1分析：極坐標(biāo)化為直解坐標(biāo)只須結(jié)合轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行化解解析：P2 cos B P = 0,n P = Jx2 + y2 = 0 ,或 P cos9 = x = 0 ,因此選 C.練習(xí)3、點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是（-1,J3）,則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（）冗A. (2, -) B一 二.2 二一一 二.(2, ) C . (2,一)D . (2,2座 +一),(kWZ)333解析：(2, 2k:),(k w Z)都是極坐標(biāo)，因此選 C.(3)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程互化例3:已知曲線C1的參數(shù)方程為x = 2 +71

10、0cose ,(0為參數(shù))，曲線C2的極坐標(biāo)方程y = . 10 sin為 P =2cos日 +6sin 6 .(1)將曲線&的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線 C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)曲線C1, C2是否相交，若相交請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)，若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.x - -2， 10 cos22解：(1)由_得(x+2)2 + y2 =10 ,y =、10sin 二曲線C1的普通方程為(x+2)2+y2 =10,.2.P = 2cos6+6sin日，二 P = 2Pcos6 + 6Psin日，P2 = x2 + y2 , x = Pcos<3 , y = Psin 8,22

11、一22 x2 + y2 =2x +6y ,即(x +2)2 十 y2 =10 ,曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x+2)2 +y2 =10 ；(2) 圓Ci的圓心為(2,0),圓C2的圓心為(1,3),C1C2=,(-2-1)2 (0-3)2 =3.2 ： 2 10兩圓相交，設(shè)相交弦長(zhǎng)為 d ,因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段C1C2. (d)2 +(言)2 =(J10)2, . . d = J22 , 公共弦長(zhǎng)為 v'22練習(xí)1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程.已知曲線C:x=6+2cos"(日為參數(shù)，0 MH M2冗), y =1 +2sin8(I)將曲線化為普通方程；(n)求出該曲線在

12、以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下的極坐標(biāo)方程.解析：(I)()x2y2 - 2.3x -2y = 0P -2.3 cos sin(4)利用參數(shù)方程求值域例題4、在曲線C1 : ，=1 *C0S8(6為參數(shù))上求一點(diǎn)，使它到直線C2 y =sinl-1x - -2*J2 , t22 (t為參數(shù))的距離最小，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)和最小距離.解：直線C2化成普通方程是X十y -222 -1 ,設(shè)所求的點(diǎn)為P(1 +cos6,sin0 ),ji=| sin(8 +) +2 |,4則c到直線C2的距離d:cose+sinL-11、2".二3二，.5二，、, 22當(dāng)H+= 時(shí)，即

13、日= 時(shí)，d取最小值1 ,此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1 -).42422練習(xí)1、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，動(dòng)圓x2 + y2 -8Xcos6 -6ysin6 +7cos20 +8 = 0(OWR)的圓心為P(x, y)，求2x y的取值范.x = 4 cos 6解：由題設(shè)得3(8為參數(shù)，0WR),y =3sin 日于是 2x y =8cose -3sin6 =J73cos(e + 平)，所以mT3 < 2x - y <<73 .練習(xí)2、已知曲線C的極坐標(biāo)方程是P = 2sinH ,設(shè)直線L的參數(shù)方程是x-t 5(t為參數(shù)).(I)將曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(n)設(shè)直

14、線L與x軸的交點(diǎn)是 M , N曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN |的最大值.解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為：P2=2Psin8又 x2 + y2=P2, x = PcosB, y = Psin6.所以，曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y22y =0.（2）將直線L的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得:y = _g(x_2),令y=0得x =2即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,又曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（0,1）,半徑r=1,則 | MC |=木，二| MN 國(guó) MC | +r = 75 +1 .（5）直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義例5、已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1,1）,傾斜角0 一，6寫出直線l的參數(shù)方程；設(shè)l與圓

15、x2 + y2 = 4相交與兩點(diǎn)A, B ,求點(diǎn)P到A, B兩點(diǎn)的距離之積T 1J3x = 1 tcos x =1 t解 （1）直線的參數(shù)方程為66,即I 2 .nI1y =1 +tsin! y=1+ t工6I2工73x =1 t(2)把直線«2 代入x2 + y2 =4 ,1y =1 t 2得(1 + t)2 +(1 +1t)2 =4,t2 +(V3 + 1)t -2 = 0 , t1t2 = -2 ,22則點(diǎn)P到A, B兩點(diǎn)的距離之積為2 .x =1 +4t練習(xí)1、求直線5（t為參數(shù)）被曲線3y = -1 t.5P = J2cos（8 +：）所截的弦長(zhǎng).J x =1 + t 解：

16、將方程53y - -1 一 t 5P = J2cosg +-）分別化為普通方程:43x+4y +1 =0,八 一、11、，-2y = 0 ,圓心C（-,一一）,半徑為 ，222圓心到直線的距離d =,弦長(zhǎng)l =252 -d2 =21-1- =7 102 1005（6）、參數(shù)方程與極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡(jiǎn)單應(yīng)用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某 些函數(shù)的最值問(wèn)題.例6、已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為 A（5,-） , B（5,-） , 0（-473,-）, 323判斷AABC的形狀，并計(jì)算其面積.分析：判斷AABC的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)或角，在本題中計(jì)算邊

17、長(zhǎng)較為容 易，不妨先計(jì)算邊長(zhǎng).5 二解析：如圖，對(duì)于 NAOB ZBOC =，ZAOC36又|OAROB| = 5, |OC|=4j3,由余弦定理得： 222AC =|OA +|OC -2OA OC cos/AOC=52 +(473 2 -25473 cos5 =133,二| AC |= ?夜，同理 | BC |= <133，二| AC |=| BC | , 所以AABC為等腰三角形，又| AB ROAROB |=5, 所以 AB 邊上的高 h =J(AC/'g(AB(j =1331 13,365,3SABC=2 = 5.練習(xí)1、如圖，點(diǎn)A在直線x=5上移動(dòng)，等腰AOPA的頂角/

18、OPA為1200 （O, P, A 按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，求點(diǎn)P的軌跡方程.解析：取。為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 則直線x = 5的極坐標(biāo)方程為 P cos日=5 ,設(shè)A（p0,8。）, P（P,設(shè)）,因點(diǎn)A在直線Pcos6=5上,二為cos日0=5 <1>AOPA為等腰三角形，且/OPAA =120°,而 |OP 尸 P, 10Atp0,以及/POA = 30 口，二 P0=5/3 P,且 =日30© <2>,把 <2> 代入 <1>, 得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為：J3Pcos（e 30） = 5.三、趁熱打鐵x

19、:intA.B.1-y =y =t 2. sint1 .把方程xy =1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是（）x = costx=tantC.1 D.1y 二 y 二cost. tant解析：D , xy=1, x取非零實(shí)數(shù)，而 A, B, C中的x的范圍有各自的限制x = 2 5t2.曲線y =1-2t（t為參數(shù)）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（A. （0,2）、（工,0）B -（0,1）、（1,0）C.（0, -4）、（8,0）D.（0,5）、（8,0）5 25 2921 1斛析：b,當(dāng)x = 0時(shí)，t = 一，而y =1 -2t ,即y =，得與y軸的交點(diǎn)為（0,一）；5551_ _11當(dāng)y=0時(shí)，t =,而x

20、 = 2+5t ,即x =,得與x軸的交點(diǎn)為（一,0）.222x =1 2t223.直線（t為參數(shù)）被圓x2十y2 =9截得的弦長(zhǎng)為（）y =2 t12B.A.5解析：Bx =1 2ty =2 tx = 1 % 5t2.，把直線x = 1+2t代入1y = 2 t、,522 一一 一 2_2_2_x +y =9 得（1+2t） +（2+t） =9,5t +8t4=0,t1 -t2t1 - t2=乜）2-4垃2幻（-8）2十生=學(xué)弦長(zhǎng)為T5|555x =4t 一一 “一4,若點(diǎn)P（3, m）在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線（t為參數(shù)）上，則PF等于（）y=4tA. 2B. 3 C. 4D. 5解析：C 拋

21、物線為y2=4x,準(zhǔn)線為x = 1, PF為P（3, m）到準(zhǔn)線x=1的距離,即為4.x =3sin ： ： 4cosi6.圓的參數(shù)方程為 但為參數(shù)），則此圓的半徑為y =4sin 1-3cos?, x =3sin n 4cos 122解析： 由:得x2 + y2 =25y = 4sin 1-3cosi故半徑為5.7.分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程x4(ety =2(8e,）cos 二化為普通方程:-e'）sin 二（1） 8為參數(shù)，t為常數(shù)；（2） t為參數(shù),日為常數(shù);解:(1)當(dāng) t=0時(shí)，y=0,x = cos9即 x E1,且y = 0;x當(dāng) t 豐 0時(shí)，cose =1 t

22、2(e e ),sin 二1 /12(e-e)而 sin 2 6 +cos2 8=1,即1t 工2(e e )2y_11 解析：B 轉(zhuǎn)化為普通方程:，1 / t_t、2(e -e )4(2)當(dāng) k =kn,kw Z 時(shí)，y =0,1 ,x = ±5(e+e ),即 x 之 1,且y = 0；當(dāng) e =kn +；,k w Z 時(shí)，x=0,1 / ty = -2(e-e-t),即 x = 0 ；t e,kZ時(shí)，得ee”2xcos12ysin f2ecos2xasin 12ycos- sin 1t t / 2x得 2e 2e =(-cos2xcos2 U8.過(guò)點(diǎn).10 j fP(,0)作傾

23、斜角為2口的直線與曲線x2+12y2=1交于點(diǎn)M ,N ,求PM PN的值及相應(yīng)的 豆的值.10解：設(shè)直線為x=2" tcos"（t為參數(shù)），代入曲線并整理得 y =tsin ;2，1 sin 二(1 +sin2a)t2 +(Mcosu)t +- =0,則 PM PN = 11t2 =22所以當(dāng)sin a =1時(shí)，即a =TTPM PN3 ，一，的最小值為一，此時(shí)49,參數(shù)方程戶cos8（sin8+co刈（日為參數(shù)）表示什么曲線?y = sin i（sin 二 cosi）-y-,COs2 =cos y21xx =cossi幣COS2srn 212 t ancos丁2 1 t

24、anico s2、 x21 wxy 1 x21 Xx2,x(1+當(dāng))=2+1 ，x x0.即x2四、溫故強(qiáng)化x = sin2 二1.下列在曲線廣（e為參數(shù)）上的點(diǎn)是（）y =cosi sin?C. (2, 73)D. (1,73),、“3一，=1 + x ,當(dāng) x = 一一時(shí)，y4x = 2 sin2 12,將參數(shù)方程22（6為參數(shù)）化為普通萬(wàn)程為（y =sin -D.A. y=x2B. y=x+2 C. y = x -2(2 < x 3)解析：C轉(zhuǎn)化為普通方程：y=x2,但是xW2,3, yW0,1.（其中O是極點(diǎn)）3 .若 A(3, -), B(-3,%)，則 |AB|=解析：在極坐

25、標(biāo)系中畫出點(diǎn)A、B,易得NAOB =1500,在 AAOB 中，由余弦定理得： AB2 =OA2+OB2 2OA OBcos/AOB ,-J ABB |= v32 + 32 - 2 x 3 x 3xcos1500 = 3；2 + 43 = 3 «6 + V2),一 1 一 一所以 SAB = 2OA Q6 * B19sin AOB = 3 3 sin150 = .x =2t4 .直線«2（t為參數(shù)）被圓x2 +y2 =4截得的弦長(zhǎng)為y = -1-t1,2d =-=,弦長(zhǎng)的一半為222解析：JT4直線為x + y -1 = 0 ,圓心到直線的距離222巫,得弦長(zhǎng)為J14.25.直線（t為參數(shù)）上任一點(diǎn) P到的距離為解析：所求距離為21t| （把直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式）F2(3,0),5cos?-3 35cos1由重心坐標(biāo)公式，得:334sin - 0 0 _ 4sin -（8為參數(shù)），消參，得點(diǎn)G的軌跡方程為7.若方程mPcos28+3Psin28 6cos9 =0的曲線是橢圓，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.解析：將方程兩邊同乘以，化為：m（Pcos9）2 +3（Psin9）2 6Pcos8 =0 ,22+匕=1,若方程表示橢圓, 33