雙曲線綜合題(含答案)

1、精心整理雙曲線綜合題(含答案)22、p(x y0)( X0產(chǎn)土 a)是雙曲線 E :、當=1(a>0,b>0)上一點, a bM,N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM,PN的斜率之積為1.5L 二-八一工(1)求雙曲線的離心率；r|5 (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于 A,BI - i.:兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足OC =KOA+OB，求九的值.22解：(1)點P(Xo,yo)(X0 # ±a)在雙曲線與-與=1上，a b22有"-*=1由題意又有.“=工a bx0 -a x0 a 5 ,j. "XTTT4曰 222

2、2, 22C 30川彳寸 a =5b,c = a +b =6b，則 e =二a 52 -5 2 =5b2(2)聯(lián)立 «，得 4x -10cx +35b = 0,設(shè) A(x1，y1)，Bd, y2)y =X -c、r rr r Tx3 二，x,x2V2設(shè) OC =(為,y1),OC =九OA +OB,即 3精心整理又 C 為雙曲線上一點，即x25y2=5b2,有,、2_ ,、22( Xi X2) -5( yi y2) =5b化簡得：九2(x2 5y；)+(x2 5y2)+2K(XiX2 5y1y2)=5b2 (2)又 A(x1, y1), B(x2, y2)在雙曲線上，所以 x；5y2

3、 =5b2,x25y； =5b2由(1 )式又有I l/彳得：入2 +4九=0,解出九=0,或九=一4.二、已知以原點O為中心，F(xiàn)(x/5,0 )為右焦點的雙曲線C的離心率 ill,1 I I I I，I . 1; * / / /5e o 2(I) 求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；(II) 如題(20)圖，已知過點M(Xi,yi )的直線li：Xix + 4yiy = 4與過點N(x2,y2 )(其中X2#x)的直線I2: x?x + 4y2y =4的交點E在-一|1 I X 雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與 G、H兩點，求AOGH的面積。22I)設(shè)C的標準方程為三-*=1(aA0

4、,bA0),則由題意 a b因止匕 a =2,b = Vc2 -a2 =1 ,2c的標準方程為Tyi1 一C的漸近線方程為y=±-x,即x-2y =0和x+2y=0.2(II)解法一：如答(20)圖,由題意點E(XeTe)在直線li：XiX 4yy = 4 和12: x2x+4y2y =4 上， 因止匕有 x1xE+4y1yE =4, x2xE+4y2yE = 4 .故點 M、N均在直線XEx+4yEy=4上，因此直線MN的方程為i x.x XeX 4yEy =4.I I-4 ,2!Xe|Xe| xR -4yE解法二：設(shè)E(Xee),由方程組!XlX'4y1y =4X2X 4

5、y2y =4,解得 Xe = 4(yyi) . = x12 . xiy2 -x2y1xy2 -x2因X2#x1，則直線MN的斜率k="y2"=一生".X2 -X14yE-1 j->I，1I；故直線MN的方程為y - y1 =-2E(x-x1)4yE注意到xXe+4yyE =4 ,因此直線MN的方程為XeX+4yEy=4.下同解法一.三、已知定點A( 1 , 0) , F(2 , 0),定直線l: x=1,不在x軸 上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點P的軌 跡為E,過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l 于點M、N(I )求E的

6、方程；(II)試判斷以線段 MN為直徑的圓是否過點F,并說明理由.解:(1)設(shè) P(X,y),則 J(x_2)2+y2 =2|x_g|化簡得x2-r2二=i(y*0)3I /> j4 分.(2)當直線BC與x軸不垂直時，設(shè) BC的方程為y = k(x 2)( k?0)工 122、J 乏 J ki 門/ I2與雙曲線 x2 =1 聯(lián)立消去 y得(3 k)2x2 +4k2x (4k2 + 3) =03由題意知 3 k2*0 且4。 設(shè) B(x1, y1), C(x2, y2),4k2乂22k2 -3=4k2 3一 k2 -3+ 4k2(4k2 3 _ 8k2 k2 -3 k2 -3+ 4)=

7、2匚因為x1、X2，-1y1y2 = k2(x1 2)( x2 2) = k2x1x22(x1 + x2)所以直線 AB的方程為y=(x+1) 因此 M點的坐標為(1,)2 2(x1 1)3y133FM =(一，2 2(xi 1)同理可得FN=(十七)二帚=(中訴%9 4(-81k2k2 -34k2 3 4k2 八2- - 1) k2 -3 k2 -3=0I I f )當直線BC與x軸垂直時，起方程為x = 2,則B(2,3), C(2,T.二一 ；K-'I JI I3)AB的方程為y = x + 1,因此M點的坐標為(二:)，F(xiàn)M =(-,-) 2 22 2同理可得/=(-3, -3

8、)因此大京14(-3)2 3 M(-3)= 0綜上22222fMu"fin= 0,即FM XFN故以線段 MN為直徑的圓經(jīng)過點F12 分二 四、已知F1 (-2, 0), F2(2, 0),點P滿足| PR |-| PF21= 2 ,記點P的軌跡為-II I E. ,j .Jr -.(I )求軌跡E的方程；(II)若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點.(i)設(shè)點M(m, 0),問：是否存在實數(shù)m ,使得直線l繞點F2無論一 r上 a 、一- tw怎樣轉(zhuǎn)動，都有MP MQ=0成立？右存在，求出頭數(shù) m的值；若不存在，請說明理由.(ii)過P、Q作直線x=1的垂線PA、QB ,垂足分

9、別為A、B,2記九= |PA|+|QB|求九的取值范圍.| AB| '解：(I)由|PFJ-|PF2| = 2c|FiF2|知，點P的軌跡E是以Fi、F2為焦點的雙曲線右支，由c = 2, 2a =2 ,b2 =3 ,故軌跡E的方程為2x2 -匕=1(x 21).(3 分)3(H)當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l方程為y = k(x-2),與雙曲線方程聯(lián)立消 y 得(k2 -3)x2 -4k2x + 4k2 +3=0 ,設(shè) P(x1, y1)、Q(x2,y2),2k2 -30A >04k2八x1 + x2 = 2> 0，k2 -324k2 3xi x2 =2k2 -3k23(

10、7分)(5分)(1) MP MQ =(x1m)(x2m) + y1y2一. 23 -(4m - 5)k2mk - 3假設(shè)存在實數(shù)m ,使得MP MQ = 0 ,故得3(1-m2) +k2(m2 -4m-5)=0對任意的k2 >3恒成立,1 -m2 = 0 2,解得 m = -1m -4m -5 = 0/.當 m = -1 時，MP MQ = 0.當直線l的斜率不存在時，由P(2,3), Q(2, -3)及M (T,0)知結(jié)論也成立,綜 上 ， 存 在 m = -1, 使 得（8分）MP1 MQ =0 .（ii ） ; a =1 c = 2, .二直線x =是雙曲線的右準2線，（9分）由雙

11、曲線定義得：FaTp&Tpr1，儂T*1，|PQ| J k2 |x2 -x1 | 1 k2 |x2 -x1 |2|AB|21y2-yJ21k乂 -x1）|“1 k21=2|k|10分）k2 3、33C 110 、2 :k 3（11 分）注意到直線的斜率不存在時,gg,此時",1 、3 兒一2, 3（12分） 五、設(shè)四點A、B、C、D均在雙曲線x2-y2 =1的右支上。（1 ） 5 AB = >CD （實數(shù)九 #0）,證明：OA'OB=OCOD （ O 是坐標精心整理精心整理原點)；(2)若| AB | =2, P是線段AB的中點，過點P分別作該雙曲線的兩條漸近線

12、的垂線，垂足為 M、N ,求四邊形OMPN的面積的最大 值。、I '1解：(1) ,/ AB = ?.CD, /. AB / CD311直線AB的斜率不存在日寸，設(shè)方程為x=m (m>1),設(shè)A (m, y1), 貝U B ( m,-y1)且 m2- y2 = 1. oA oB =m2- y12=1 同理 oC .oD=if I I I/. OA OB =OC OD直線AB斜率存在日寸，設(shè)方程為y = kx +b與 x2 -y2 =1 聯(lián)立得(1 -k2)x2 -2kbx -b2 -1 = 0_22kbb2 1設(shè) A(x1,y1)B(x2, y?)貝U Xi +x2 =2 , X

13、iX2=1 k，k -1則 OA OB = XiX2y1y2 = xx2+(kx1 +b )( kx2 +b )2 , 2 k 1=(1 k ) x1x2+kb(x1x2)+b = 2k -1AB "CD J.直線CD與直線AB斜率相等,同理前而二總/. OA OB =OC OD 綜上，OA OB =OC OD(2) AB 斜率存在時，4=AB2=(1+k2)(刈 + x2)2 -4xx222由(1)得 b2 =2 < x1 x2 >0 . k2 > 1,設(shè) P(x0, y0),則1 kXo1-(Xi X2)2kb1 -k2y° =kx° b1

14、- k22c Xoyo Xo+yo 1 b2iS = = _ .=1 _222 k2 一11 k2n1 k2>1. _<S<1 ; AB斜率不存在時，易得S=12綜上，四邊形OMPN面積的最大值為1。22六、已知雙曲線二一二=1的右焦點是F,右頂點是A,虛軸的上端 a b點是B,且aB aF = -1,/BAF=12。°, （1）求雙曲線C的方程；（2） .r I i過點P（o,4）的直線l交雙曲線C于M,N兩點，交X軸于點Q （點Q與雙曲線C的頂點不重合），當PQ = %dM = K2QN ,且及+% =-當時,7求點Q的坐標。2七、設(shè)F1F2分別是雙曲線 J-y2 =1的兩焦點，點O為坐標原點， 3-' I X圓。是以FF2為直徑的圓，直線l:y=kX+b與圓O相切，（1）求b ,j .Jr1和k之間滿足的關(guān)系式；（2）若直線l與已知雙曲線交于M,N兩點,向量AN在向量FF；方向的投影是 m,當（OM,ON） m2 =力時，求| MN22直線l的方程；（3）當（OM ON