學(xué)而思小升初培優(yōu)六：數(shù)論綜合學(xué)生版

1、小升初培優(yōu)（六）：數(shù)論綜合專題回顧練習(xí)1加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過(guò)三道工序，第一道工序每名工人每小時(shí)可完成6個(gè)零件，第二道工序每名工人每小時(shí)可完成10個(gè)零件，第三道工序每名工人每小時(shí)可完成15個(gè)零件.要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序最少共需要多少名工人？2甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90,乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105,甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126,那么甲數(shù)是多少 ？例題解析枚舉法 :枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對(duì)象分成若干種情況（分類），然后對(duì)各種情況 逐一討論，最終解決整個(gè)問(wèn)題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾诸惖脑瓌t是不重不漏。正確的分類有助于暴露問(wèn)題的本質(zhì)，降低問(wèn)題的難度。數(shù)論中最常用的分

2、類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等?！纠?】 求這樣的三位數(shù)，它除以 11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。【分析】三位數(shù)只有 900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范 圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x, y, z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10,所以x2 +y2 +z2 <10o 從而1WxW3, 0 <y <3, 0 Wz W3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中： 不難驗(yàn)證只有100, 101兩個(gè)數(shù)符合要求。【例2】 寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。【分析】（法一）在尋找質(zhì)數(shù)的過(guò)程中，我們可以看出

3、100以內(nèi)最多可以寫出 7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò) 大一些就行了。用篩選法可以求得在113與127之間共有13個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126。（法二）如果設(shè)這12個(gè)數(shù)分別是a, a+1, a+2,，a+11,如果a2能被2到13中任意 一個(gè)數(shù)整除，那么a, a+1, a+2,，a+11,能分別被 2、3、4,，13整除，所以，只要取 a =13!即可得到符合條件的 12個(gè)數(shù)。（法三）上面的方法

4、雖然巧妙，但是計(jì)算13!非常困難，所以應(yīng)該選取折中的方法，設(shè)這 12個(gè)數(shù)分別是a-5, a-4,，a+4 , a+5, a+6。所以只要使 a能被2至U 6的所有 整數(shù)整除，并且保證 a -1和a +1都是合數(shù)即可，通過(guò)試驗(yàn)可得到a =120即是符合條件的值?！纠?】 如圖，有三張卡片，在它們上面分別寫著"1", "2" , "3"。從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的素?cái)?shù) 都寫出來(lái)。（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)）【分析】因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)字的和為 6 ,能被3整除，所以用這三個(gè)數(shù)字任意排成的三位數(shù)都

5、能被3整除，所以不可能是素?cái)?shù)。再看兩張卡片的情形。因?yàn)?1 +2=3 ,根據(jù)同樣的 道理，用1 , 2組成的兩位數(shù)也能被3整除，因此也不是素?cái)?shù)。這樣剩下要討論的兩位數(shù)只有13, 31, 23, 32這四個(gè)了。其中13, 31 , 23都是素?cái)?shù)。最后一位數(shù)素?cái)?shù)只有2 , 3?！就卣咕毩?xí)】a、b和c都是兩位數(shù)，a、b的個(gè)位分別是7和5, c的十位是1,如果它們滿足 等式 ab +c =2005，則 a +b +c =。0代數(shù)表示法對(duì)于某些研究整數(shù)本身的特性的問(wèn)題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問(wèn)題的解 決。這些常用的形式有：1. 十進(jìn)制表示形式：N =an10n+an 210n+|11

6、+a010° ；2. 二進(jìn)制表示形式：N =an2n +an2n十川十a(chǎn)020 ；3. 帶余形式：a=bq+r；（奇數(shù)可以表示為 2n十1 ,偶數(shù)表示為2n ,其中n為整數(shù)） 4. 標(biāo)準(zhǔn)分解式：pa1P22 111 pj ;5. 2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt；（其中t為奇數(shù)）。6. 最大公約數(shù)與系數(shù)之積式：m=dm1, n=dn1,其中（m,n）=d ,（冉，凡）=1?！纠?】 求一個(gè)四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個(gè)整數(shù)的 平方.【分 析】設(shè)所求的四位數(shù)為x =aabb ,則x =1000a +100a+10b+ b =11（100a+b ）,其中2

7、0<aW9, 0 <b <9 o可見平萬(wàn)數(shù)x被11整除，從而x被11整除.因此，數(shù) 100a+b=99a+（a+b）能被11整除，于是 a+b能被11整除.但 0<a + bE18,以 a+b=11.于是x=112x（9a+1 ）,由此可知 9a+1是某個(gè)自然數(shù)的平方.對(duì)a = 1 ,2,，9逐一檢驗(yàn)，易知僅a=7時(shí)，9a+1為平方數(shù)，故所求的四位數(shù)是 27744 =88 ?！就卣咕毩?xí)】一個(gè)兩位數(shù)，其十位與個(gè)位上的數(shù)字交換以后，所得的兩位數(shù)比原來(lái)小27,則滿足條件的兩位數(shù)共有 個(gè)?！纠?】 求一個(gè)最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個(gè)完全平方（假定劃 掉的

8、兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)非零）。 2一 22一【分析】設(shè)n滿足條件，令 n =100a+b,其中0cb<100。于是n>100,即n之10a+1。因 此b =n2 100a2之20a+1 ,由此得 20a+1<100,所以aM4。經(jīng)驗(yàn)算，僅當(dāng) a=4 時(shí)，n =41滿足條件。若 n >41則n2 -402 >422 -402 >100 o因此，滿足條件的最大 的完全平方數(shù)為412=1681?！纠?】 從自然數(shù)1, 2, 3,，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè) 數(shù)之和能被18整除？【分析】設(shè)a , b, c, d是所取出的數(shù)中的任意 4個(gè)數(shù)，則a

9、+b+c=18m, a + b+d=18n, 其中m , n是自然數(shù)。于是 c-d =18（m -n上式說(shuō)明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r ,則a =18al+r,b =18bl +r ,c=18cl+r ,其中a1,b1, G 是整數(shù)。于是a +b +c =18（a1 +b1 +c1 ）+3r。因?yàn)?181 （a +b +c）,所以 18|3r ,即 6 |r ,推知 r=0, 6, 12。因?yàn)?1000=55父18+10 ,所以，從 1 , 2 ,，1000 中可取 6 , 24, 42,，996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意 3

10、個(gè)數(shù)之和能被18整除?！纠?】 如果（a+2b漱5除余數(shù)為2, （3ab5除所得的余數(shù)為 3,求證：（ab）能被5整除。（a、b都是自然數(shù)）! a a 2b =5k 2 a 7解方程組I得到/3a -b =5l 3,3 15k -5lb =10l 5k 8,所以a_b=15l10k+5能被5整除?！痉治觥浚ǚㄒ唬┰O(shè) a+2b=5k+2, 3ab=5l+4,7（法二）由題目條件2（3a_b ）_3（a+2b）能被5整除，即3a _8b能被5整除，繼而得到 3a-3b能被5整除，所以a-b能被5整除【拓展練習(xí)1】如果（2a+3b ）是5的倍數(shù)，證明：2b+3a也是5的倍數(shù)。（a、b都是自然數(shù)）【拓

11、展練習(xí)2】如果（3a+b譚7的倍數(shù)，求證（2b -a ）也是7的倍數(shù)。（a、b都是自然數(shù)）【拓展練習(xí)3】如果a+b+c是5的倍數(shù)，2a+3b+4c也是5的倍數(shù)，求證 ac是5的倍數(shù)。 （a、b、c都是自然數(shù)）A=15a (X -a) =14a X A =17b (X -b) =16b XA =19c (X -c) =18c X【例8】 有一個(gè)自然數(shù)，它除以 15、17、19所得到的商（>1）與余數(shù)（>0）之和都相等，這樣 的數(shù)最小可能是多少。'A+15=aXa( = X a)=【分析】A-：17 =bXb(=X -b)=A+19=c.Xc(=X c)=14a=16b=18c

12、= 72|a= a 至少為 72, A =15a+Xa =15乂 72+Xa =1080 +Xa14a =16b=18c= 63|b= b 至少為 63, A=17b +Xb =17X63 + Xb =1071 +Xb 14a =16b=18c= 56|c= c 至少為 56, A =19c + Xc =19 X56 + Xc =1054 +Xc 最小為1081。r、如何計(jì)算一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)：a將該自然數(shù)用標(biāo)準(zhǔn)分解式表達(dá)：p1alp22川pkk ；b將該自然數(shù)的約數(shù)用標(biāo)準(zhǔn)分解式表達(dá)：p1blpb21|pbk,則D <a1,b2<a2,，bn can ；c對(duì)于任意的b可以取值0到

13、ai這 份+1 ）個(gè)整數(shù)；d根據(jù)乘法原理不同的約數(shù)有（a1 +1）（a2 +1）+1）個(gè)。）【例9】 在1到600中，恰好有3個(gè)約數(shù)的數(shù)有幾個(gè)？【分析】3只能表示為（2 +1 ）,所以符合條件的數(shù)含有的不同質(zhì)因數(shù)只有1個(gè)，且該質(zhì)因數(shù)有 2個(gè)，注意到有3個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是質(zhì)數(shù)的完全平方，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23這9個(gè)數(shù)的平方數(shù)在1到600之間，共有9個(gè)符合要求?！就卣咕毩?xí)】在1至U100中，恰好有6個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【例10】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”比如16 =52 32, 16就是一個(gè)“智慧數(shù)”.在自然數(shù)列中從1開始數(shù)起，試問(wèn)第 1990

14、個(gè)“智慧數(shù)”是哪個(gè)數(shù)？并請(qǐng)你說(shuō)明理由?！痉治觥匡@然1不是“智慧數(shù)”，而大于 1的奇數(shù)2k+1 =（k +1）2-k2,都是“智慧數(shù)”。 224k =（k +1 ） -（k -1 ）,可見大于4且能被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”而 4不是“智慧數(shù)”，由于 x2y2 = （x+y I x y ）（其中x、yN ）,當(dāng)x, y奇偶性相同時(shí)，（x+y'fx y ）被4整除。當(dāng)x, y奇偶性相異時(shí)，（x+y（x y ）為奇數(shù)，所以形如4k+2的數(shù)不是“智慧數(shù)”，在自然數(shù)列中前四個(gè)自然數(shù)中只有3是“智慧數(shù)”，此后每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”，由于1989 = 3663,所以2656= 4父664是第

15、1990個(gè)“智慧數(shù)”。【拓展練習(xí)1】如果自然數(shù)n使得2n +1和3n +1都恰好是平方數(shù)，試問(wèn) 5n +3能否是一個(gè)素?cái)?shù)？_ . 1 ,【拓展練習(xí)2】將表示成兩個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)之和，有多少中表示方法？請(qǐng)給出所有的答案。613,假設(shè)n是自然數(shù)，d是2n2的正約數(shù).證明：n2+d不是完全平方。22【分析】設(shè)2n =kd , k是正整數(shù)，如果n+d是整數(shù)x的平萬(wàn)，那么 2 22222一 一2 2 .2k x =k (n +d )=n (k +2k)但這是不可能的，因?yàn)?k x與n都是元全平方，而2. 222由k <k +2k <(k +1 )得出k +2k不是平萬(wàn)數(shù)。14,設(shè)正整數(shù)d不等于

16、2、5、13。求證：2d1、5d1、13d -1這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不 是完全平方數(shù)?！痉治觥?d-1、5d-1、13d -1這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不是完全平方數(shù)即可.用反證法，設(shè) 2d -1 =x225d -1 =y (2)213d -1 =z 其中x、y、z是正整數(shù).由式知，x是奇數(shù)，不妨設(shè) x =2n 1。2 .2代入有 2d -1 =(2n -1 )即 d =2n -2n +1式說(shuō)明d也是奇數(shù).于是由、知 v、z是偶數(shù)， 設(shè)y =2p , z =2q ,代入、相減后除以4有2d =q2 p2 =( q + p j q - p卜因2d是偶數(shù)，即 q2 一 p2是偶數(shù)，所以 p、q同為偶數(shù)或

17、同為奇數(shù)，從而 q十p和 q -p都是偶數(shù)，即 2d是4的倍數(shù)，因此 d是偶數(shù).這與 d是奇數(shù)相矛盾，故命題正 確。15,將95寫成若干個(gè)(至少兩個(gè))連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種不同的寫法？給出全部可能的答 案?！痉治觥吭O(shè)這個(gè)自然數(shù)可以表示為k個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的形式，如果 k是奇數(shù)，那么一定存在中間數(shù)，即為p,則這k個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為 kp ,即為一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)自然數(shù)的乘積形 式，如果k是偶數(shù)，那么存在兩個(gè)中間的數(shù)，即為 q, q+1 ,則這k個(gè)聯(lián)系自然數(shù)的 和為k(2q +1 ), (2q +1 )是奇數(shù)，k為偶數(shù)，所以k為整數(shù)，也是奇數(shù)與一個(gè)自然數(shù) 的乘積形式。95=5父19,其大于1的奇約數(shù)有5, 19, 95這三個(gè)，如果有奇數(shù)個(gè)連 續(xù)自然數(shù)相加：當(dāng)k=5時(shí)，p =19 ,即5個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，中間數(shù)為19,有17, 18, 19,20, 21;當(dāng)k =19或95時(shí)，在在自然數(shù)范圍內(nèi)沒有符合條件的連續(xù)數(shù)。 如果有偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加：k當(dāng)=1時(shí)，2q +1 =95 ,即2個(gè)自然數(shù)相加，中間兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)是47,有247, 48;k當(dāng)-=5時(shí)，2q +1-19 ,即10個(gè)自然數(shù)相加，中間兩數(shù)中較小的是9 ,有5 ,26,，14;k當(dāng)k =19或95時(shí)，自然數(shù)范圍內(nèi)不存在符合條件的連續(xù)數(shù)。 2所以符合條件的自然數(shù)一共有3種