常微分方程應(yīng)用題和答案

1、應(yīng)用題(每題10分)1、設(shè)f(x)在(3,8)上有定義且不恒為零，又r(x)存在并對任意 x, y恒有f (x +y) = f (x) f (y),求 f (x)。2、設(shè)F(x) = f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(3產(chǎn))內(nèi)滿足以下條件 f(x)=g(x), g(x) = f(x), f(0) =0, f(x) g(x) =2ex(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；(2)求出F(x)的表達式。3、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f (x)=廣f壯Idt +e2x ,求f (x)。034、已知函數(shù)f (x)在(0,一)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)>0, lim f(x)=1,且滿足 x

2、.1limh_.01=ex ,求 f (x)。f(x hx)hf (x)55、設(shè)函數(shù)f (x)在(0, f)內(nèi)連續(xù)，f(1) = ,且對所有x,tw(0,十厘)，滿足條件2xtxtJ1 f(u)du=t( f(u)du+x( f(u)du,求 f(x)。6、求連續(xù)函數(shù)f (x),使它滿足1fo f (tx)dt =f (x) +sin x x。7、已知可微函數(shù) f(t)滿足) 3 f dt=f(x)1，試求f (x)。1 t9、設(shè)位于第一象限的曲線 y = f (x)過點 交點為Q,且線段PQ被x軸平分。(1)求曲線y = f (x)的方程；f (t) t. 一2 x 二 18、設(shè)有微分方程

3、y'-2y=(x),其中5(x)=/。試求在(*嚴)內(nèi)的連續(xù)函0 x 1數(shù)y=y(x)使之在(笛,1)和(1,十資)內(nèi)部滿足所給方程，且滿足條件y(0) = 0。，其上任一點P(x, y)處的法線與y軸的(2)已知曲線y=sinx在0, n上的弧長為 l，試用l表示曲線y = f (x)的弧長s。y = y(x),使得由曲線y = y(x)與直線 x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。10、求微分方程xdy+(x2y)dx = 0的一個解 x=1, x =2以及x軸所圍成的平面圖形繞11、設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為a,已知|MA|=|兩， 且

4、L過點'-,-i,求L的方程。2 212、設(shè)曲線L的極坐標方程為r =(8)，M (r,e)為L上任一點，M 0(2,0)為L上一定點, 若極徑OM0, OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0, M兩點間弧長值的一半，求曲線L的方程。13、設(shè)yi =*和y2 = xln x是二階齊次線性方程y"+p(x)y'+q(x)y = 0 的兩個解，求p(x),q(x)以及該方程的通解。14、設(shè)對任意x>0,曲線y = f (x)上點(x, f (x)勉的切線在y軸上的截距等于1 xJo f (t)dt，求f (x)的一般表達式。15、設(shè)函數(shù) f (x), g(x

5、)滿足 f '(x) = g(x), g '(x)= 2ex 一 f (x),且 f (0) = 0, g (0) = 2, 求憤-卷卜。16、設(shè)函數(shù)y=y(x)在(，,n)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 y'#0, x = x(y)是y=y(x)的反d2xdx函數(shù)。(1)試將x = x(y)滿足的微分方程j+(y+sinx) =0,變換為y = y(x)dy<dyJ所滿足的微分方程；3(2)求變換后的微分萬程滿足初始條件y(0) =0, y'(0)=的解。2 x_17、已知連續(xù)函數(shù) f (x)滿足 J f (tx)dt = x±+f (x) f (t)dt

6、 ,求 f (x). 'ux ' u1 x21*解：設(shè) u=tx,則原式化為一j f (u)du =x + f (x) - - f f (t)dt x 0x 0x .即2 1f (t)dt =x3+xf(x) 由f (x)連續(xù)知上式右端可導(dǎo)即f (x)可導(dǎo)1對上式兩病關(guān)于x求導(dǎo)，得一階線性方程f'( x) - f (x) = -3x所求函數(shù)為x11-dx-dx2,f (x) = e x ( -3xe x dx c) = cx - 3x c 為任意常數(shù)22、4r18、.對于任意簡單閉曲線l,恒有2 2xyf (x )dx + f (x ) - x dy = 0L其中f (

7、x)在(8尸)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 f (0)=2.求f (x).19、設(shè) f (x)滿足 f r(x) =f ( 1-x),求 f(x)x20、設(shè)中(x) =ex _ (x u)邛(u)du,其中中(x)為連續(xù)函數(shù)，求中(x)21、人工繁殖細菌，其增長速度和當時的細菌數(shù)成正比。(1)如果4小時的細菌數(shù)為原細菌數(shù)的2倍，那么經(jīng)過12小時應(yīng)有多少？44(2)如在3小時的時候，有細菌數(shù) 10個，在5小時的時候有4x10個，那么在開始時有 多少個細菌？應(yīng)用題答案1、解：首先從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，證明f(x)處處可微，并求出 f (x)與f'(x)滿足的關(guān)系，最后定出f (x)。由于 f (x)不恒為零

8、，設(shè) f(x0 +0)00,因而f (x0) = f (x0 +0)= f (x0)f (0)得到f(0) =1又由f '(0)存在，對任意x有f (x 匚x) - f (x)f (x)f( x) - f(x)=lim.I；_xf(x)f( ：x)-1二 x=f(x) f (0)LXdf = f (0)dx f一 2dx , 2xF(x) =e .4e由 F(0) = f (0)g(0) =0 得F (x) = e2xC = -1, 2x-e由此可見f (x)處處可微且滿足f '(x) = f (x) f '(0)即解得 f (x) = cef (0)x又由 f(0)=

9、1 所以 f(x) =ef'(0)x。2、解：(1) F (x) = f'(x)g(x) + f (x)g'(x) = g2(x)+ f 2(x)= f(x) g(x)2-2f(x)g(x)=(2e2)2-2F(x)于是F (x)滿足一階線性微分方程y'+2y = 4e2x(2)按一階線性微分方程的通解公式，-2x ；, 4x2x _ -2xe . 4e dx C ' = e Ce3、解：方程兩端同時對x求導(dǎo)，得到f'(x) =3f (x)+2e2x由題設(shè)知道f (0) =0 +e° =1。y -3y = 2e2x 故令 f(x)=y

10、即得 V ,x=0.y - = i3x 2x=Ce -2ey =33'、.|C +2e2x e dx 卜e3x C + 2edx Ix/=1 得到 C=33x 2xf (x) = 3e -2e4、解：設(shè)y因為f(x hx)hmlnf(x) J11y = lim lnh 0hf (x hx )f (x)1 f(x hx) ln y 二 一 ln.h f(x)f (x hx) xln f (x hx) - ln f (x) =limf (x) h w 1 hhx= xln f(x)',由已知條件得xln f (x)e1ex ，xln f (x)e一 一 . 1 一因此 xln f(

11、x)=,即ln x.1f(x)2.x1解之得 f (x) =Ce x 。5、解:由 lim f (x) =1,得xJ ：.C =1。由題意可知，等式的每一項都是1故 f(x) = e x。x的可導(dǎo)函數(shù)，于是等式兩邊對x求導(dǎo)，得tf (xt) =tf(x) 15在(1)式中令x =1 ,由f(1)=得 2tf (u)dutf(t)= 2tt十 11f (u)du ,(2)f （t）是（0,收）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，（2）式兩邊對t求導(dǎo)，得,5f(t)+tf'(t) = + f(t)，f'(t)5-o2t上式兩邊求積分，得55由 f (1) = ,得 C =。于22f (t) =5lnt

12、C25是 f (t)=a(lnt+1)。1 x 一一6、斛：令 u =tx, du = xdt ,原方程變?yōu)橐籪 (u)du = f (x) + xsin xx 0X2.0 f (u)du = xf (x) x sinx.兩邊求導(dǎo)數(shù)，得到積分得f (x) = f (x) xf (x) 2xsin x x2 cosxf '(x) = -2sin x - xcosxf (x) = 2cosx - xdsin x = 2cosx -xsinx cosx C =cosx - xsinx C .7、解：首先從題設(shè)可求得f(1)=1,方程兩邊求導(dǎo)得J(x) =f'(x).x3f(x) x記

13、 y = f(x)y' = -vy x y考慮xx = x(y),方程可化為伯努利方程dx 13-x = xdy yxL13 .du =-2x dxdu 2u - -2 dy yC + |-2-dy e'y '一 3y變量還原得或者f2(x)23f 3(x) = C .x 3又因為f (1)=1 ,代入上式可得-2_f(x)2f35-T(x)=.x338、解:當 x<1 時，y'2y=22dx一 2dxy = eC1 i2e dx2x 二e2e'xdx = C1e2x -1y(0) = 0 代入得 C1 = 1所以 y2x=e -1(x ： 1)x

14、 >1時通解為y = C2ey - 2 y = 02dx = C2e2x=1 處y(x)是連續(xù)的所以是若補充函數(shù)值C22 xe(x 1)m0c2e2x2=1 - e .2 2x=C2e = lim (e - 1)=e2 -1.-1 ,則得到(*,七)上連續(xù)函數(shù)是所求的函數(shù)2xe -1x -1是所求的函數(shù)。-2x 2xJ1-e )e9、解：(1)曲線y = f (x)在點P(x, y)處的法線方程為1,Y-y =-(X -x)，其中(X,Y)為法線上任意一點的坐標，令 X =0,則y xy ，y故Q點坐標為 0,y + A o由題設(shè)知< y'Jxy + y + = 0,即 2

15、 ydy + xdx = 0。 y'積分得x2 +2y2 =C ( C為任意常數(shù))。,122由 y 產(chǎn)=知 C =1 ,故曲線y = f(x)的萬程為x +2y =1 (x20, y >0) o x=22曲線y =sin x在0,捫上的弧長為l /X+coJxdx.曲線y = f (x)的參數(shù)方程為x = cos1,2=sin 二2ji0£u E,2故其弧長為s=12Jsin2H +1cos28d6 =j=0 22312 dsin2 1 d- 0(令日=-1)10、11、1=21F篇 1 +cos2t(dt)21 2二l .241=2解：原方程可以改寫為一階線性方程-d

16、x應(yīng)用其通解公式得 y = e x體積為Co解:令dx x-f2dx)fe x dx =x-1 .C 2 dxx2=Cx x由y=Cx2+x, x=1, x=2, y = 0所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體V(C) = 2二(x Cx2)2dx ' I31C2 15C 71523V'(C) =n ：62C +17=0 解得駐點 C 5275, 八0 =,由于 V''(C)12462=ji5754 一 ，,是唯一的極小值點，因而也是最小值點，于是得所求曲線為 124設(shè)點M的坐標為由切線 MA的方程為 Y y = y'(X -x) X =0,則 Y

17、= y -xy',故點 A的坐標為(0, y -xy')| MAHOA|,有| y -xy'|= (x -0)2 (y - y xy')275 2 y = x -x12412化簡后彳導(dǎo)2yy' y2x令 z = y2 ,得 dz - dx=-x 。z一 =x。x12、13、14、口dx (_r!dx)解得 z=e x Jxe x dx+C =x(x + C)。IJ即 y2 = -x2 +Cx 。由于所求曲線在第一象限內(nèi)，故y = Cx -x2 。再以條件 y , 3 =色；代入得 C = 3。于是曲線方程為22y = 3x - x2(0 ： x : 3)

18、.解：由已知條件得兩邊對日求導(dǎo)得dr從而r ,，r2 -1-J°r2d=- f 白Jr2 + r '2d ,2 02 0r2 = Jr2 +r'2 , 即 r' = ±r Jr2 -1 ,=±d °一、， dr11.因為一f二一arcsin 一 十 C , 所以 arcsin 一+ C = ±0r .r2-1rrI- Ar n ,一 fn丁 C由條件r(0) =2 ,知C =,故所求曲線L的方程為 rsin,一+日=1。66解：由. 1必=1, y1 = 0, y2 = ln x +1,、2=_ ;分別代入方程得到xp(

19、x) xq(x) = 0p(x)(ln x 1) q(x)xln x = 0曰1r1(1)M|nx(2) 得 一p(x)= 即 p(x)= 一 xx11把 p(x)=一 代入(1)式得 q(x)=xx 一、11所以原方程為 y -1y 2y=0 x x又由于y1/y2=lnx不為常數(shù)，y1,y2是齊次方程的基本解組原方程的通解為y =c1x+c2xln x。解：曲線y = f (x)上點(x, f (x)處的切線方程為過 令 X=0,得截距 Y = f (x) xf'(x)。Y - f(x) = f '(x)(X -x)1 x由題思，知 一 f f (t)dt = f (x)

20、-xf '(x),即 x 0x10 f (t)dt=xf(x)xf'(x),d上式對 x 求導(dǎo)，化簡得 xf "(x)+ f'(x) =0,即 2(xf'(x) =0。dx積分得xf'(x)=Ci,因此 f (x) =C/n x+C2 (其中Ci,C2為任意常數(shù))15、解：(解法一)由是 f'(x)=g(x)得 f"(x) = g'(x) =2ex f(x),于是有 f "(x) f(x) =2ex,f(0)=0,解之得 f (x) =sinx cosx 十 ex。f'(0) =2,二%_ 0 ItV

21、x x)2dxf (x) dx = Tg(x)(1+x) f(x)*姮_ 0(1 x)2二 f'(x)(1 x) - f (x) 二 f(x)一2 dx 0(1 x)0 1 xf(x)二f (二)1 ex=T (0)=1 x 01 二1 二(解法二)同解法，得 f (x) =sinx - cosx ex二 g(x)- 2 ，0 It 1 - x (1 x)2二 1dx 0f(x)dr一 fx)dx0 1 x(*)(2)方程 y -y 0的通解為 Y = C1exC2e'o設(shè)方程(*)的特解為y = Acosx + Bsinx ,二 g(x)1= 巨dx f(x)0 1 x1 x

22、芳一 f(0)：魯 dx 一;代入原微分方程得y,y = sin x。x1 exdx1dx16、解：(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式=一 得 y'=1。dyy'dy兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得y.dx+dHhy')2 =0dy dy2dx,2y由此得到二一叟r 一七。dy2(y )2(y)31 .1代入萬程(*)求得a = 0, b =,故 y = sin x ,2 21從而方程(*)的通斛是y=C1e +C2e -sinxo,.3 一 由y(0) =0, y(0)=得C1 =1, C2 = 1。故所求值問題的解為2x_x 1 .y =e -e sin x。21 x21 x17、解：設(shè)

23、u=tx ,則原式化為 一 f (u)du =x + f (x) - - f f (t)dt x 0x 0x3即21(t)dt =x3+xf(x) 由f(x)連續(xù)知上式右端可導(dǎo)即f(x)1對上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，得一階線性方程f'(x) -2 f (x) = -3xx-dx_ dx2f(x)=e x (J3xe x dx+c)=cx 3xc 為任意常數(shù) 18、解：根據(jù)積分與路徑無關(guān)的充要條件有- L、xyf(x j 1 = - If (x ；) -x '1.y二 x22、即 2xf(x2)=-22x -4x3或-2-f(x2)=2x2二 x二 x設(shè) x2=tf) - f (t) = 2tdt1dtdt由一階線性方程