高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)典型例題精講(詳細(xì)版)

1、厚德啟智心懷天下 導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題精講高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)共14頁(yè)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限幾個(gè)常用極限：(1)1=0，nma0(刖1)；，阮三-.X兩個(gè)重要的極限：(1)limS?_T x函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：若lim f(x)二a，limg(x)二b，則(1)xim lLf x -g x 二a -b ； (2)Xim lLf x g x =a b;(3)=b b = 數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：若lim aa.lim bn二b，n_sc7二 e(e=2.718281845,).則(1) lim a. bn 二 a _b ；(2) lim an bn i； = a b(3)”m 孑=a b =

2、0 (4) lm c a* ipm c lim ac a ( c 是常數(shù))：bnf(x)在Xq處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或微商)f (X。) = ylimJim 似f(xo)g .X fi.x-X 0.瞬時(shí)速度:= s(t)=lim 空=lim s(t Ws Go At圧3 :t瞬時(shí)加速度:v(t ；t) -v(t)LVa = v (t) = lim limAtIAtf (X)在(a,b)的導(dǎo)數(shù):f(x)* =魚=生=訕日 “jm PUx)xo.lxXPdx dx函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)是曲線y二f(x)在P(Xo,f(Xo)處的切線的斜率f (Xq)

3、，相 應(yīng)的切線方程是y-y0f(xo)(x-xj.幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) Co(C為常數(shù)).(2)(Xn) =nxn_L(nQ).(3)(sin x)=cosx. (cosx)= sin x(4) (lnx)；(log ax) Jlogal (5) (ex) = ex； (ax/ = ax lna.xx導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則II/ 八/UUV uv(1) (u_v)=u_v. ( 2) (uv) = u v uv . ( 3) (一)2 (v = 0).v v復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)u二:(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)Ux二(x)，函數(shù)y二f(u)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù) yuf(u)，則復(fù)合函數(shù)y = f

4、(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，且y/yu%，或?qū)懽?fQ(x)扌 f u) X )【例題解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念” 1 3 ”例1 . f (x)是f(x) x 2x 1的導(dǎo)函數(shù)，貝y f(-1)的值是考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和能力高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)第#頁(yè)共14頁(yè)厚德啟智心懷天下2 2解答過(guò)程f(x)二x2,. f (_1)h_12=3.故填3.例 2.設(shè)函數(shù) f(x)=x _a ,集合 M= x| f (x) ：0 ,P= x| f(x) .0 若 M=P,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()x _

5、1A. (- g ,1)B.(0,1)C.(1,+ g) D. 1,+ g)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力解答過(guò)程由U ,0,當(dāng)a1時(shí),1 a當(dāng)a1.考點(diǎn)2 曲線的切線(1) 關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P (x,y)的切線，即求出函數(shù) y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切線的斜率(2) 關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線 典型例題1 3 1 2例3.已知函數(shù)f(x) x ax bx在區(qū)間-1,1) , (1,3內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).322(I) 求a -4b的最大值；(II) 當(dāng)a2-4b =8時(shí)，設(shè)函數(shù)y

6、= f(x)在點(diǎn)A(1, f (1)處的切線為丨，若丨在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y = f (x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y = f(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A時(shí)，從I的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)f (x)的表達(dá)式.思路啟迪：用求導(dǎo)來(lái)求得切線斜率.1312解答過(guò)程：(I )因?yàn)楹瘮?shù)f (x) x ax bx在區(qū)間-11),(1,3內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以32f (x) =x2 ax b =0在T,1) , (1 ,3內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為 為,x2 (為：:：x2),則x2 -治=. a2 -4b ,且0 ： x2人 4 .于是0 a2 -4b 4 , 0 : a2 -4b 16 ,且當(dāng) = -1

7、, x 3 ,即 a = -2 , b = -3時(shí)等號(hào)成立故 a2 - 4b 的最大值是16.(II)解法一：由f (1)=1 a b知f (x)在點(diǎn)(1 , f (1)處的切線l的方程是2 1y - f (1) = f(1)(x T),即 y = (1 a b)xa ,32因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1, f (x)處空過(guò)y = f (x)的圖象，2 1所以g(x) = f (x) -(1 a b)xa在x =1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，貝U32x =1不是g(x)的極值點(diǎn).1 3 12 21而 g(x) x ax bx -(1 a b)xa ,且32322 2g (x) = x ax b -(1 a b

8、) = x ax -a -1 = (x -1)(x 1 a).若1 = _1 _a，則x =1和x二_1 _a都是g(x)的極值點(diǎn).所以 1 = _1 _a，即 a = _2，又由 a2 _4b = 8，得 b - -1，故 f (x) =1 x 一 x2 - x .32 1解法二：同解法一得 g(xf (x) -(1 a b)xa3212 3a3(x-1)x2(1 )x(2：a).322因?yàn)榍芯€I在點(diǎn)A(1, f (1)處穿過(guò)y= f(x)的圖象，所以 g(x)在x =1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在(m 1 m2).當(dāng) rni ： x : 1 時(shí)，g(x) =0，當(dāng) 1 ： x m2 時(shí)，

9、g (x)0 ；或當(dāng) mi| : x : 1 時(shí)，g(x) 0，當(dāng) 1 ： x ： mt 時(shí)，g(x) ： 0 . 設(shè)h(x) =x21空x - 2至，則I 2丿I 2丿當(dāng) mv：x ：1 時(shí)，h(x) 0，當(dāng) 1 ： x : m2 時(shí)，h(x) 0 ； 或當(dāng) m-i : x : 1 時(shí)，h(x) 0，當(dāng) 1 ：x ： m2 時(shí)，h(x) 0 .3a 由h(1)=0知x=1是h(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，貝U h(1)=2 110 ,22132所以 a=-2，又由 a -4b =8，得 b = -1，故 f(x) x - x -x .3例4.若曲線y =x4的一條切線I與直線x：；4y -8 =0垂直

10、，則I的方程為()A .4xy-3=0B .x 4y -5=0C.4xy3=0D.x 4y 3=0考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力=x4 在(1,解答過(guò)程與直線x，4y_8 0垂直的直線l為4x_y，m 0,即y =x4在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4，而y =4x3，所以y1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4x-y-3=0.故選A.例5 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與 x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直線的方程為()2、 1、彳、彳、彳A.y=-3x 或 y=2xB. y=-3x 或 y=- 2x C.y=-3x 或 丫=-丄乂 D. y=3x 或 y=2 x3 333考查目的本題主要考查函

11、數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力解答過(guò)程解法1 ：設(shè)切線的方程為 y =kx,” kx _y =0.又 x -2 2 y 7 2 =：，圓心為 2, -1 .2k 15213k 8k 一3 =0. k ,k 一 -3.k2 1-23.y =1x,或 y = -3x.3故選A.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為(13)怡(2，_2丿，2(x_2)2 +(y +1 J.2(x 一2)2 y 1 yx/ x -2yx.y 1/5 /=0,1 3, k22，_2)1.y - ；x, y =x.kyx/故選A.例6.已知兩拋物線c113 1(2叨32:y =x2x,C2 : y =_x2 a,

12、 a取何值時(shí)C1, C2有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程思路啟迪：先對(duì)C1 : y =x2 2x,C2 : y = -x2 a求導(dǎo)數(shù)解答過(guò)程：函數(shù)y =X2 +2x的導(dǎo)數(shù)為y=2x +2 ,曲線G在點(diǎn)P( x1,x1F2x1 )處的切線方程為y -(x!2 - 2x1) =2(x1 2)(x1)，即卩 y =2(/ 1)x12 曲線 C1 在點(diǎn) Q(x2,x22 - a)的切線方程是 y _( _x2 a) = _2x2(xx2)即y - -2x2x x22 a若直線l是過(guò)點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是丨的方程，故得X亠1 _ -x? , -xj 二 X2 2臼，消去X2得方程，2

13、xj +2x1 +1+a =01y =x4若厶=4 -4 2(1出a) =0，即ar1時(shí)，解得x1二，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合. -2 - 2二當(dāng)時(shí)a=,G和C2有且只有一條公切線，由式得公切線方程為2考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對(duì)于 函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的 方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問(wèn)題：1.求函數(shù)的解析式；2.求函數(shù)的值域；3.解決單調(diào)性問(wèn)題；4.求函數(shù)的

14、極值(最值);5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式. 典型例題例7 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)有極小值點(diǎn)()A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D .4個(gè)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力 解答過(guò)程由圖象可見(jiàn)，在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn).故選A.例8 .設(shè)函數(shù)f (x) =2x3 3ax2 3bx 8c在x =1及x =2時(shí)取得極值.(I)求a、b的值；(n)若對(duì)于任意的x，0,3，都有f (x) ： c2成立，求c的取值范圍.思路啟迪：禾U用函數(shù)f (x) =2x3

15、，3ax2，3bx，8c在x =1及x=2時(shí)取得極值構(gòu)造方程組求a、b的值.2解答過(guò)程：(I) f(x)=6x 6ax 3b,因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在x=1及x=2取得極值，則有 f(1) = 0, f(2)=0 亦6 +6a +3b =0,即24 12a 3b =0.解得 a - -3 , b = 4 .(n)由(I)可知， f(x) =2x3 -9x2 12x 8c ,2f (x) =6x -18x 12=6(x-1)(x-2).當(dāng) x (0,)時(shí)，f (x)0 ；當(dāng) x (1,2)時(shí),f (x) :：: 0 ;當(dāng) x (2,3)時(shí)，f (x)0 .所以，當(dāng)X=1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)

16、=58c,又f(0)=8c,f(3)=98c .則當(dāng)0,3 1時(shí)，f (x)的最大值為f(3)=98c .因?yàn)閷?duì)于任意的10,3 1,有f(x) ：c2恒成立，所以 9 - 8c ： c2,解得 c ： -1或c 9 ,因此c的取值范圍為(-：，-1)(9,：).例9.函數(shù)y = = 2x +4 _Jx +3的值域是 .思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過(guò)圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的 單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。 解答過(guò)程：由2x 4 -0得，x_? 即函數(shù)的定義域?yàn)?；)lx +3 201 12、；x +3 r

17、；2x +4y、2x +4 2$x +3 2J2x +4+3又 2 x 3-2x 4 =2x +82 x 32x 4高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)第6頁(yè)共14頁(yè)厚德啟智心懷天下當(dāng) X _ -2時(shí)，y .0 ,-函數(shù)y = 2x4 - x 3在(2 ；)上是增函數(shù)，而f(-2)-1 , . y = 2xx 3 的值域是-1, ：)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)第#頁(yè)共14頁(yè)厚德啟智心懷天下高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)第#頁(yè)共14頁(yè)厚德啟智心懷天下例10 .已知函數(shù)f x =4x3 -3x2cosr3 cos，其中X，Rj為參數(shù)，且Or 2二.L16(1) 當(dāng)時(shí)cosv - 0 ,判斷函數(shù)f x是否有極值；(2) 要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求

18、參數(shù)二的取值范圍；(3) 若對(duì)(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)8,函數(shù)f(x在區(qū)間(2a-1,a )內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.考查目的本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解答過(guò)程(I)當(dāng)COST-0時(shí)，f(x) =4x3，貝y f (x)在(-：，；)內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值.(U) f (x) -12x26xcost，令 f (x) -0，得 x -0,x2 -2由(I),只需分下面兩種情況討論.當(dāng)cos 0時(shí)，隨x的變化f (x)的符號(hào)及f (x)的變化情況如下表:x(q,0)0(0,

19、響cose2,cose丄、2f (x)+0-0+f (x)/極大值極小值/因此，函數(shù)f(x)在XhCOS，處取得極小值f(叱)，且3 一2 22416要使 f(C) 0，必有COSWOS2 V -3) . 0，可得 0 :“cos，.2 442由于0空cos3，故或31.- _ 2 6 2 2 6錯(cuò)誤！未找到引用源。 當(dāng)時(shí)cosv ：0，隨x的變化，f(x)的符號(hào)及f(x)的變化情況如下表:xcos日(q,-)2cos02cos日(,0)20(0,七C)f (x)+0-0+f (x)極大值極小值因此，函數(shù)f(x)在x =0處取得極小值f(0)，且f(0)16若f (0)0，則cosv 0.矛盾

20、.所以當(dāng)cosv ：:0時(shí)，f (x)的極小值不會(huì)大于零綜上，要使函數(shù)f(x)在(亠,兄)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù) 日的取值范圍為(匹,匹)5竺,少).6 2 j 2 6(錯(cuò)誤！未找到引用源。)解：由(錯(cuò)誤！未找到引用源。)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(二,七c)與(型 訟)內(nèi)都是增函數(shù)。 由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù)，貝U a須滿足不等式組2a -1 :a2a -1 ：a 2a T 丄1 cos2由(錯(cuò)誤！未找到引用源。),參數(shù)時(shí)日蘭)5竺 竺)時(shí)，OccosGc3.要使不等式2a-1cos日關(guān)于參數(shù)日恒成立,62 26 2 2必有2a-1,，即心溝4 8綜上，解得aF或43乞a

21、 48所以a的取值范圍是(嚴(yán)心“応.例11.設(shè)函數(shù)f(x)=ax (a+1)In(x+1)，其中a_-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法，函數(shù)的極值的判定，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 解答過(guò)程由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，范)，且f(x)=2(a1),x+1(1) 當(dāng)T _a _0時(shí)，f(x) ：:0,函數(shù)f (x)在(T,：)上單調(diào)遞減，(2) 當(dāng)a 0時(shí)，由f(x) =0,解得X.af(x)、f (x)隨x的變化情況如下表x(1丄)a1 a1(一，g af(x)一0+f (x)極小值從上表可知當(dāng)XEU1)時(shí)，f(x)0時(shí)，函數(shù)f (x)

22、在(二,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(丄，切上單調(diào)遞增象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，aa，例12 已知函數(shù)f(x)二ax3 bx2 cx在點(diǎn)怡處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)(1,0) , (2,0)，如圖所示.求：(I) x0的值；(D) a,b,c 的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)的綜 合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力解答過(guò)程解法一：(I)由圖像可知，在-：:,1上f x：込、0，在1,2上f X嚴(yán)0，在2,亠上f x：“、0,故f (x)在(_：:, 1),( 2, +：)上遞增，在(1,2)上遞減，因此f x在x

23、 =1處取得極大值，所以x0 =1(u) f(x) =3ax2 2bx c,由 f (1) =0,( 2)= 0,( 1)= 5,3a 2b c =0,得 I得 12a 4b c -0,a b c =5,解得 a =2,b =-9,c =12.解法二：(I)同解法一(n)設(shè) f (x) =m(x -1)(x -2) =mx2 -3mx - 2m, 又 f (x) =3ax2 亠2bx 亠c,所以a=m,b=3m,c=2m32f(x) =mx3 -3mx2 2mx,3 2由 f(1)=5,即 m _-m 2m =5,得 m =6,3 2所以 a =2,b =-9,c =12例13 .設(shè)x =3是

24、函數(shù)f x = x2亠ax亠b e3 * x R的一個(gè)極值點(diǎn).(I)求a與b的關(guān)系式(用a表示b )，并求fx的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)a 0 , g = a2 25 ex.若存在,；2 0,4使得f ?-g 2卜;:，1成立，求a的取值范圍 I 4丿考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力 解答過(guò)程(I) f、(x) =- x2 + (a 2)x+ b a e3_x.由 f(3)=0，得 一32+ (a 2)3 + b a e33= 0,即得 b = 3 2a,則 f (x) = x2+ (a 2)x 3 2a a e3 x=x? + (a 2)x

25、3 3a e x = (x 3)(x+ a+ 1)e x.令f(x) = 0，得Xi = 3或X2= a 1，由于x= 3是極值點(diǎn)，所以x+a+ 1工0 ,那么a工一4.當(dāng) a3 = xi，貝U在區(qū)間(一a, 3) 上, f (x) 0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(一a 1 ,+)上，f (x) 4 時(shí)，x23 = x1，貝U在區(qū)間(一a, a 1) 上, f (x) 0 , f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間(3 ,+a)上，f (x) 0時(shí)，f (x)在區(qū)間(0, 3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3, 4)上單調(diào)遞減，那么4上的值域是min(f (0) , f)，f,而 f (0) =( 2a +

26、3) e30 , f =a+ 6 ,那么f (x)在區(qū)間0, 4上的值域是(2a + 3) e3, a+ 6.又 g(x) =(a2 ?5)ex 在區(qū)間0 , 4上是增函數(shù)，4且它在區(qū)間0, 4上的值域是a2 + 25 , (a2+ 25 ) e4,4 4由于(a2+ 25 ) ( a + 6)= a2 a + 1 =( a ) 2 0，所以只須僅須442(a2+ 25 ) ( a + 6) 0，解得 0a 0;當(dāng) 1v xv -時(shí)，V (x)v 0,3故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V (x)的最大值。從而最大體積 V = V( x)= 9 x 12-6 x 13 (m3

27、)，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m，高為1.5 m.答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。例16 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：y =一1X3 七(0 CX蘭120)已知甲、乙兩地相距100千米.128000 80(I) 當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(II) 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？考查目的本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力解答過(guò)程(I

28、)當(dāng)X=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100 =25小時(shí)，40要耗沒(méi)(一1一 X403 _丄0時(shí)，f(0)為極大值C、b=0D、當(dāng)a0 且 a 工 1)的單調(diào)區(qū)間 .16. 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽?時(shí)它的面積最大.三、解答題17. 已知曲線C: y=x3 3x2+2x,直線l:y=kx,且 l與C切于點(diǎn)他$0)&0工0)，求直線I的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)18. 求函數(shù) f(x)=p x(1-x)p(p N+)，在0, 1內(nèi)的最大值.19. 證明雙曲線xy=a 2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù)20. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22x(1)y=(x 2x+3) e ; y=

29、3 x .1 -x21. 有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開(kāi)墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開(kāi)墻腳1.4 m時(shí)，梯子上端下滑的速度.22. 求和 Sn=1 2+22x+32x2 + , +n2xn1,(x工 0,n N*).23. 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定 a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間24. 設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)試確定常數(shù)a和b的值；試判斷x=1, x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說(shuō)明理由25. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且b a e,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：abba.26. 設(shè)

30、關(guān)于x的方程2x2 ax 2=0的兩根為a、3 (a 3 )，函數(shù)f(x)= 4x-a .x2書(1) 求 f(a ) f( 3 )的值；(2) 證明f(x)是a , 3】上的增函數(shù)；(3) 當(dāng)a為何值時(shí)，f(X)在區(qū)間a , 3 上的最大值與最小值之差最?。俊緟⒖即鸢浮恳?、1.解析：y =esinx cosxcos(sin x) cosxsin(sin x) ,y (0)= e0(1 0)=1.答案：B2. 解析：設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則切線的斜率為k= Y0 ,另一方面，y =(_ ) = -4 2，故 x0X 七(x 托)2y(xo)=k,即-4二 y二x9 或Xo2+18xo+45=

31、O 得Xo(1)= 3,y (2)= 15,對(duì)應(yīng)有y=3,y =-15,9=3,因此得兩個(gè)(Xo +5)2 Xo xo(xo 七)一15+5 5切點(diǎn)A( 3,3)或B( 15, 3),從而得y (A)=1及y (B)= 二41，由于切線過(guò)原點(diǎn)，故得切線：lA：y=5 (3七)3(75+5)225x 或 lB:y = A .25答案：A3. 解析：由 limf(o)= 1,故存在含有 0 的區(qū)間(a,b)使當(dāng) x (a,b),x 0 時(shí) f(。) 0,當(dāng) x (0,b) x_0* XX時(shí)，f (0) 1 或 x v 2,f (x)=logae.(3x2+5x 2) = (6x logae,33x

32、2 +5x _2(3x_J)(x+2)若 a 1,則當(dāng) x 1 時(shí)，log ae 0,6x+5 0,(3x 1)(x+2) 0, a f (x) 0, a函數(shù) f(x)在(丄,+ )上是增函數(shù)，xv 2 時(shí),33f (x)v0. A函數(shù)f(x)在(8， 2)上是減函數(shù).若Ov a v 1,則當(dāng)x 1時(shí)，f (x)v 0, A f(x)在(1，+ 8)上是減函數(shù)，當(dāng)xv 2時(shí),33f (x) 0, A f(x)在(8， 2)上是增函數(shù). 答案：(一8， 2)h=AO+BO=R+. r2_x2 ,解得16. 解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2x,高為h，那么x2=h(2R h),于是內(nèi)接三角形的

33、面積為S=x h= (2Rh -h2) h = (2Rh3 _h4),1從而 S 0,兩端取對(duì)數(shù)，得22x2Iny=ln(x 2x+3)+In e =ln(x 2x+3)+2 x,221. (x _2x 3)2x -22(x _x 2)y2222 廠yx _2x 3x _2x 3 x _2x 3.2 22(x -x 2) y2(x -x 2)23) e2x.y = 2y 2(x -2x 3) e .x _2x +3x _2x +322x= 2(x _x 2) e .(2)兩端取對(duì)數(shù)，得In |y|=l(l n|x| ln|1 x|),3兩邊解x求導(dǎo)，得11/1 -1、y3 x 1 -x,1 1yy3 x(1 _x)1 13x(1 _x)1x3 3x(1x) 1x21.解：設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米,則s=5 .25 -9t2,當(dāng)下端移開(kāi)1.4 m時(shí)，滸口二73151又 s = 1 (25 9)勺.(一9 2t)=9t1 2225 _9t所以 s (to)=9 x 7151=0.875(m/s).i