高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題訓(xùn)練

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題組卷一 選擇題(共9小題)1 等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項和為()A. 130 B. 170 C. 210 D. 2602. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an , a1a2a3=5, aza8a9=10,則a4a5ae=()A. _B. 7 C. 6 D.:一 -3. 數(shù)列&的前 n 項和為 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn (n1),則 a6=()A. 3X44 B. 3X44+1 C. 44 D. 44+14. 已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0, a?=-，則a/的前10項和等于()3A.- 6 (1 - 310) B

2、.11 - C. 3 (1 - 310)D. 3 (1+310)9'5. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1, a5=9,則a1=()A. I B.C. - D.33996. 已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4, a3+a5=10,則它的前10項的和S°=()A. 138 B. 135 C. 95 D. 237. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=- 2, Sm=0, Sm+1=3,則m=()A. 3 B. 4 C. 5 D. 68. 等差數(shù)列an的公差為2,若a2, a4, a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn= ( )A. n (n+1) B

3、. n (n- 1)C. D.229. 設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若 a什a2>0,貝U a2+a3>0B.若 a1 +a3<0，貝U a什a2<0C.若 0<a1 <a2,則 a2 ：. , i. D.若 a1 <0,貝U( a2 - a。(a2- a3) >0二.解答題（共14小題）10. 設(shè)數(shù)列an （n=1, 2, 3,）的前 n 項和 Sn滿足 Sn=2cb- a1,且 a1, az+1, a3成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列&的通項公式；(U)記數(shù)列一的前n項和為Tn,求使得|Tn- 1|-'成立的n的最小值

4、.100011. 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為sn,等比數(shù)列bn的公比為q，已 知 bi=ai, b2=2, q=d, Sio=1OO.(1) 求數(shù)列an , bn的通項公式(2) 當(dāng)d > 1時，記Cn='，求數(shù)列cn的前n項和Tn .bn12 .已知數(shù)列an滿足 a1=1, an+1=3a+1.(I)證明an<是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(U)證明：+< ':.al a2 %213.已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1=25，且a1, a“，盹成等比數(shù)列.(I)求an的通項公式；(U)求 a1+cU+a7+-+a3n-2.14 .等差數(shù)列an中，

5、a7=4, a19=2a9 ,(I)求an的通項公式；(U)設(shè)bn= ，求數(shù)列bn的前n項和sn.nan15. 已知等比數(shù)列an中，a，公比q=.I - J(I) sn為an的前n項和，證明：sn=(U)設(shè)bn=IOg3a1+log392+log3an，求數(shù)列bn的通項公式.16. 已知數(shù)列an滿足 an+2=qan (q 為實數(shù)，且1), n N*, a1=1, a2=2, 且 a2+a3, a3+a4, a4+a5 成等差數(shù)列(1) 求q的值和an的通項公式；L o g « a*(2) 設(shè)bn= 1 , n N ,求數(shù)列bn的前n項和.a2n- 117. 已知數(shù)列an是首項為正數(shù)

6、的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為".1 2n+l(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn= (an+1) ?2 ，求數(shù)列bn的前n項和Tn.18 .已知數(shù)列an和bn滿足 ai=2, bi=1, an+i=2an (n N ), bi+丄b2+丄b3+2 3 n*bn=bn+i - 1 (n N )()求 an與 bn；(U)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn,求Tn.19. 已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且ai+=9, a2a3=8.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn.片5田20. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為S,已知2S=3n+3

7、.(I)求an的通項公式；(U)若數(shù)列bn，滿足anbn=log3an，求bn的前n項和Tn.2i .設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sv已知ai=a, an+i=S+3n, n N*.由(I)設(shè)bn=S - 3n,求數(shù)列bn的通項公式；(U)若an+i >an, n N*，求a的取值范圍.22. 已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為Sn,且S,，S成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)令bn= (- i) n"，求數(shù)列bn的前n項和Tn .23. 數(shù)列an滿足 ai=i, nan+i= (n +i) an+n (n+i), n N .(I)證明：數(shù)列丄是等差數(shù)列；n(n)設(shè)b

8、n=3n? 7"，求數(shù)列 bn的前n項和Sn.第3頁(共22頁)高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題組卷參考答案與試題解析一 選擇題（共9小題）1. （ 1996?全國）等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前 3m項和為（）A. 130 B. 170 C. 210 D. 260【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1,d的方程組，用m表示出a1、d,進(jìn)而求出S3m；或利用等差數(shù)列的性質(zhì)，Sm , S2m - Sm, S3m - S2m成等差數(shù)列進(jìn)行求解._ 1)ma - +月二 /?ril歸=3口屮'1 d=3m"盜THv【解答】解：解法1：

9、設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,z_k=210.故選C.解法2：v設(shè)an為等差數(shù)列, 即30, 70, S3m- 100成等差數(shù)列，30+S3m 100=70X 2,解得 S3m=210.故選C.【點評】解法1為基本量法，思路簡單，但計算復(fù)雜；解法 2使用了等差數(shù)列的 一個重要性質(zhì)，即等差數(shù)列的前n項和為Sn,則Sn, S2n - Sn, S3n - S2n, 成等差 數(shù)列.2. （2010?大綱版I）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列&, a1a2a3=5, a7Sfea9=10,貝 U a4a5a6=()A. 匚B. 7 C. 6 D.【匚【分析】由數(shù)列an是等比數(shù)列，則有aia2a

10、3=5? a23=5； aya8a9=10? a83=10.【解答】解：aia2a3=5? a23=5;&7&8&9=10? a8 =10,2a5 =a2a8,故選A.【點評】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)幕的運算、根式與指數(shù)式的互化 等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.3. (2011?四川)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,若 a1=1, an+1=3S( n> 1),則 a6=()A. 3X4(2013?大綱版)已知數(shù)列an滿足3an+1+an=0, &2=晉，則an的前10項和 B. 3X44+1 C. 44 D. 44+1【分析】根據(jù)已知的

11、an+1=3S，當(dāng)n大于等于2時得到an=3S-1,兩者相減，根 據(jù)Sn-Sn- 1=an，得到數(shù)列的第n+1項等于第n項的4倍(n大于等于2),所以 得到此數(shù)列除去第1項，從第2項開始，為首項是第2項，公比為4的等比數(shù)列， 由a1=1,an+1=3S,令n=1，即可求出第2項的值，寫出2項以后各項的通項公式， 把n=6代入通項公式即可求出第 6項的值.【解答】解：由an+1=3S,得到an=3Sn-1 (n>2),兩式相減得：an+1 - an=3 ( Sn - Sh- 1) =3符，則 an+1=4a)(n2),又 a1=1, a2=3S=3ai=3,得到此數(shù)列除去第一項后，為首項是

12、 3,公比為4的等比數(shù)列，所以 an=a2qn 2=3x 4n 2 (n > 2)則 a6=3X 44.故選A【點評】此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的確定方法， 會根據(jù)首項和公比寫出等比數(shù) 列的通項公式，是一道基礎(chǔ)題.等于（）A.- 6 （1-31°） B."-C. 3 （1 - 31°）D. 3 （1+3°）9'【分析】由已知可知，數(shù)列an是以-1為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知.=可3 j 3求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：t 3an+1+an=0-_ - IJ “3數(shù)列an是以-I為公比的等比數(shù)列3-' - ;a1=44

13、1- （-y）10由等比數(shù)列的求和公式可得，So=3 （1-3-10）1與故選C【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)A.13D.試題 （2013?新課標(biāo)U）等比數(shù)列的前n項和為S，已知S3=a?+10a1，a5=9,則 a1=()第7頁(共22頁)第9頁(共22頁)【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，禾I用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得到a I + a I Q+ a 1= a i q+1 0 a i，解出即可.【解答】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.-S3=a2+10a1， a5=9，a I + a I q+ a j q = a q+1 0 a |引第#頁(共22

14、頁)- :.故選C.【點評】熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵.6. （2008?全國卷I）已知等差數(shù)列an滿足&2+印=4, a3+a5=10,則它的前10項 的和Sio=（）A. 138 B. 135 C. 95 D. 23【分析】本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n項和，根據(jù)a2+a4=4, a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首 項及公差），進(jìn)而代入前n項和公式，即可求解.【解答】解：（as+a5）-（ a2+a4） =2d=6,d=3，ai= - 4，.o “.10X （10- l）d cuSi0=10ai+=95.故

15、選C【點評】在求一個數(shù)列的通項公式或前n項和時，如果可以證明這個數(shù)列為等差 數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項（首項與公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或 等比數(shù)列的通項公式，寫出該數(shù)列的通項公式，如果未知這個數(shù)列的類型，則可 以判斷它是否與某個等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項公式.7. （2013?新課標(biāo)I）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S，若Sm-1二-2,Sn=0,Sm+1=3, 則 m=（）A. 3 B. 4C. 5 D. 6【分析】由an與S的關(guān)系可求得am+1與am,進(jìn)而得到公差d,由前n項和公式 及Sm=0可求得a1，再由通項公式及am=2可得m值.【解答】 解：am=Sn Sn - 1=2

16、, am+1=Sn+1 Sn=3,所以公差d=3m+1 am = 1 ,Sm =0,得 a1= 2,2第#頁（共22頁）2第11頁（共22頁）所以 am= 2+ (m 1) ?仁2,解得 m=5,2第#頁（共22頁）故選C.【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n項和公式及通項an與Sn的關(guān)系， 考查學(xué)生的計算能力.8. (2014?新課標(biāo)U)等差數(shù)列an的公差為2,若a?, d, as成等比數(shù)列，則a.的前n項和Sn=()A. n (n+1)B. n (n- 1) C. PD.-2 2【分析】由題意可得a42= (a4 - 4) (a4+8),解得a4可得ai,代入求和公式可得.【解答】解

17、：由題意可得a42=a2?as,即 a42= (a4 - 4) (a4+8),解得a4=8,二 ai=a4- 3x 2=2,盼nai+d,=2n+x2=n (n+1),J故選：A.【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題. (2015?北京)設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A.若 a什a2>0,貝U a2+a3>0B.若 a1 +a3<0，貝U a什a2<0C.若 0 < a1 < a2,則 a2 ：. , |, D.若 a1 < 0 ,則(a2 - a)(a2 - a3) > 0【分析】對選項分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.【解答

18、】解：若 a1+a2>0，則 2a1+d >0, a2+a3=2a1+3d>2d, d>0 時，結(jié)論成立， 即A不正確；若 a1+a3<0，貝U a1+a2=2a1+d< 0, a2+a3=2ai+3d<2d, d<0 時，結(jié)論成立，即 B 不正確；an是等差數(shù)列，0<a1<a2, 2a2=a1+a3>2 -,；，二 a2> -. ，即 C正確； 若 a1<0,貝U( a2- a1)(a2- a3)=- d2<0，即 D不正確.故選：C.【點評】本題考查等差數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).二解答題（共

19、14小題）10. （2015?四川）設(shè)數(shù)列an （n=1, 2, 3,）的前 n 項和 Sn滿足 Sn=2an - ai, 且ai, a2+1, a3成等差數(shù)列.（I）求數(shù)列an的通項公式；（n）記數(shù)列亠的前n項和為Tn,求使得I Tn - 1|成立的n的最小值.1000【分析】（I）由已知數(shù)列遞推式得到 an=2an-i （n > 2）,再由已知ai, a2+1,出 成等差數(shù)列求出數(shù)列首項，可得數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，則 其通項公式可求；（n）由（I）求出數(shù)列的通項公式，再由等比數(shù)列的前 n項和求得Tn, 結(jié)合-.1求解指數(shù)不等式得n的最小值.1 1000【解答】解：（

20、I）由已知5=23- ai，有an=Si Si -1 =2an 2an-1（n2）,即 an=2an-1 （n2）,從而 a2=2a1, a3=2a2=4a1,又 a1, a2+1, a3成等差數(shù)列,二 a1+4a1=2 （2a什 1）,解得：a1=2.數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.故.；"（n）由（I）得:_ ?務(wù)2n=TH 1'F-1 7即卩 2n> 1000.211 1000910 29=512v 1000V 1024=2 ,I-由，得 n 10.于是，使|Tn- 1|、.一成立的n的最小值為10.【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、 等比數(shù)列的通

21、項公式與前n項和 公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.11. （2015?湖北）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的 公比為 q,已知 bi=ai, b2=2, q=d, So=1OO.（1）求數(shù)列an , bn的通項公式（2）當(dāng)d > 1時，記Cn='，求數(shù)列Cn的前n項和Tn .bn【分析】（1）利用前10項和與首項、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當(dāng)d> 1時，由（1）知Cn=，寫出Tn、： Tn的表達(dá)式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可.【解答】解：（1）設(shè)a1=a,由題意可得、r10a+45d=100L ad=2， 解

22、得*篇時，an=2n- 1, bn=»1；當(dāng),an冷(2n+79), 5=9?(春嚴(yán) _1;第15頁（共22頁）第#頁（共22頁）(2)當(dāng) d > 1 時，由(1)知 an=2n 1, bn=2n1,2耳-1' Tn=1+3?+5?_ +7?+9? + (2n- 1) ?，A 1 Tn=1? +3?+5?+ (2n 3) ?、+ (2n 1) ?,2 2 2 2 2 2a 1 Tn=2/ + + + .+(2n 1) ? =3 2 2 22 23 24 2n_2 2n 2n Tn =6-.2n_1【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注 意

23、解題方法的積累，屬于中檔題.第#頁（共22頁）12. （2014?新課標(biāo)U）已知數(shù)列an滿足 ai=1,力+i=3an+1.(I)證明&+是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(U)證明：+<.al a22【分析】(I)根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項與前一項的比是常數(shù)，即二常bn數(shù)，又首項不為0,所以為等比數(shù)列;再根據(jù)等比數(shù)列的通項化式，求出an的通項公式；(U)將一進(jìn)行放大，即將分母縮小，使得構(gòu)成一個等比數(shù)列，從而求和，證 明不等式.【解答】證明(I)第#頁(共22頁)第#頁(共22頁)數(shù)列&+是以首項為公比為3的等比數(shù)列;二an+三'，即3n- 1 .-n"；

24、(U)由(I)知-一一1當(dāng)n>2時3n-1>心-，當(dāng)n=1時，一、二成立,當(dāng)n > 2時,+ 一 一 < 1+al a2 an 3 32 3宀=| 一 <- 一 <3對 n N+時，+ + +al a2 an【點評】本題考查的是等比數(shù)列,用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列,只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行;的方法之一，數(shù)列與不等式常結(jié)合在一起考，放縮法是常用第#頁(共22頁)通過放大或縮小，使原數(shù)列變成一個等比數(shù)列，或可以用裂項相消法求和的新數(shù) 列屬于中檔題.13. (2013?新課標(biāo)U)已知等差數(shù)列an的公差不為零，ai=25,且ai, aii, ai3

25、成等比數(shù)列.(I) 求an的通項公式；(U) 求 a計su+a7+a3n-2.【分析】(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為dM 0，禾I用成等比數(shù)列的定義可得，af1 = aiai3,再利用等差數(shù)列的通項公式可得(知+Wd)冷+12d)，化為d(2ai+25d) =0,解出d即可得到通項公式an；(II) 由(I)可得a3n-2=- 2 (3n- 2) +27=- 6n+3i,可知此數(shù)列是以25為首項，-6為公差的等差數(shù)列.利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出a什a4+a7+-+a3n-2.【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為dM0,由題意ai, aii, ai3成等比數(shù)列,二. 一、.1 -

26、9;.-I I，化為 d (2ai+25d) =0,v dM 0,二 2X 25+25d=0,解得 d=- 2 .an=25+ ( n - i )X( 2) = 2n+27.(II)由(I)可得a3n-2=- 2 (3n- 2) +27=- 6n+3i,可知此數(shù)列是以25為首項，-6為公差的等差數(shù)列.Sn=ai+a4+a/+a3n-2=一,j(25 一 6n+31)=-3n2+28n.【點評】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式是解題的關(guān)鍵.i4.(20i3?大綱版)等差數(shù)列an中，a7=4, ai9=2ag,(I)求an的通項公式；第17頁(共22頁)（U）設(shè)bn二一，求數(shù)列

27、bn的前n項和Sn.nan【分析】（I）由為=4, ai9=2ag，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求 ai, d，進(jìn)而可求 an（II）由.一一 =Y =，利用裂項求和即可求解nn（n+l） n n+1【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為dT a?=4，ai9=2a9,aj+6d=4a+l 8d=2 （a j+8d）解得，ai=1，d=2 u = i（II）.=£=二-'_hiA S1=':'1 n!:='：'【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及裂項求和方法的應(yīng)用，試題比較 容易15. （2011?新課標(biāo)）已知等比數(shù)列an中，aj，公比q=

28、. a（I）sn為an的前n項和，證明：Sn=?|二（U）設(shè)bn=log3a1+log3a2+log3an，求數(shù)列bn的通項公式.【分析】（I）根據(jù)數(shù)列an是等比數(shù)列，a1=，公比q=，求出通項公式an和前 n項和然后經(jīng)過運算即可證明.（II）根據(jù)數(shù)列an的通項公式和對數(shù)函數(shù)運算性質(zhì)求出數(shù)列bn的通項公式.【解答】證明：（I）.數(shù)列an為等比數(shù)列，aj，qjJV1 丄一 ：2 2又=S Sn=(II)： an=3口 bn=log3ai+log3a2+log3&= Iog33+ (- 2log33) + (- nlog33) =（1+2+-+ n）=n（n+l）數(shù)列 bn的通項公式為：b

29、n=-十亠2前n項和以及對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì).【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、16. （2015?天津）已知數(shù)列an滿足an+2=qan（q為實數(shù)，且q工1）,n N*, ai=1, a2=2，且 a2+a3, a3+a4, a4+a5 成等差數(shù)列（1）求q的值和an的通項公式；1 O £ Q Hl*（2） 設(shè)bn= 1 , n N ,求數(shù)列bn的前n項和.a2n- 1【分析】（1）通過 an+2=qan、6、a2，可得 a3、氏、d,利用 a2+a3, a3+su, d+a5 成等差數(shù)列，計算即可；（2）通過（1）知bn=, n N*，寫出數(shù)列bn的前n項和Tn、2Tn的表達(dá)

30、2n式，禾U用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可.【解答】解：（1）： an+2=qan （q 為實數(shù)，且1）, n N , a1=1, a2=2, a3=q, a5=q2, a4=2q,又：a2+a3, a3+su, a4+a5 成等差數(shù)列，2X 3q=2+3q+q2, 即 q2 3q+2=0,第19頁（共22頁）解得q=2或q=1 (舍),n為奇數(shù)7為偶數(shù)(2)由(1)知 bn=a2n- 1log2a2rL log22n2n-1 占，" N*，第仃頁(共22頁)第仃頁(共22頁)記數(shù)列bn的前n項和為Tn，則 Tn=1+2?丄+3? +4?+ +2 22 23兩式相減，得T

31、n=3+ '2(n - 1) ?+n?，- 2人=2+2+3? +4?+5?+ (n- 1) ?+n?，' J廠：廠二+ + + n?=3+n?=3+1 n?2心=4 二【點評】本題考查求數(shù)列的通項與前n項和，考查分類討論的思想，利用錯位相 減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題.17 . (2015?山東)已知數(shù)列an是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列.的前an+ln項和為r'-2n-+l(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)bn= (an+1) ?2，求數(shù)列bn的前n項和T.【分析】(1)通過對Cn=分離分母，并項相加并利用數(shù)列的前n項和為.即得首項和公差

32、，進(jìn)而可得結(jié)論；2n+l(2)通過bn=n?4n,寫出Tn、4Tn的表達(dá)式，兩式相減后利用等比數(shù)列的求和公 式即得結(jié)論.【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項為ai、公差為d,則ai>0, 二 an=ai+ (n 1) d, an+i=ai+ nd,令 Cn=,J*則Cn=aj+(n- l)d (aj+nd)=丄:d a+(nl)d第仃頁(共22頁)第仃頁(共22頁)Ci +C2+ +Cn_ 1 +Cn丄-+-+ +U-d 乩】 3+d3+d 且+2d且+(口一ljd第仃頁(共22頁)第仃頁(共22頁)FL(I)求 an與 bn；(U)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn,求Tv【分析】(I)

33、直接由ai=2, an+i=2an,可得數(shù)列 何為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的 通項公式求得數(shù)列an的通項公式；再由 bi=1, bi+ b2+ b3+- + bn=bn+i - 1,取 n=1 求得 b2=2,當(dāng) n2 時，得另一23 n遞推式，作差得到b,整理得數(shù)列厶為常數(shù)列，由此可得bnn n rtH nn的通項公式；(n)求出 、，然后利用錯位相減法求數(shù)列anbn的前n項和為Tn.【解答】解：(I)由 ai=2, an+i =2an,得.： - / :.由題意知，當(dāng)n=1時，bi=b2- 1,故b2=2,當(dāng)n >2時，b1 b2+ b3+. =bn - 1,和原遞推式作差得,'

34、.，整理得:23n -1111n+1 n"）由（I）知，.11 Q因此 _ 一 _ _ : - - ：,- /： - ：- - 丨,兩式作差得：9 f 1 口巧1 : 1 _ _ ,-亠 1 :1-二（n N*）.【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識, 同時考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題.19. (2015?安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且 a1+a4=9, a2a3=8.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)sn為數(shù)列an的前n項和，bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項和公比即

35、可，求數(shù)列 an的通項公式；（2）求出bn=，利用裂項法即可求數(shù)列bn的前n項和Tn.S審旳【解答】解：（1）v數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且ai+a4=9, a2a3=8.-ai +a4=9, aia4=a2a3=8.解得 ai=1, a4=8 或 ai =8, a4=1 （舍），解得q=2,即數(shù)列an的通項公式an=2n_1;（2） S= i=2n- 1,1 _ Q.an+l Sn+1 Sn-旗數(shù)列bn的前亍咗亡寸亡=1_1第仃頁(共22頁)此時，2&=2Sn 2Sn-i=3n- 3n_1=2X 3n匕 即卩 an=3n1所以an=P! I】l 疔 n>l.(U)因為 anbn

36、=log3an,所以 bi=丄3當(dāng) n > 1 時，bn=31-n?log33n-1= (n - 1)X 31-n所以 Ti=bi=;3當(dāng) n> 1 時，Tn=bi+b2+bn=】+ (1 X3- 1+2X 3-2+ (n - 1)X 31-n),3所以 3Tn=1 + (1X 30+2X 3-1+3X 3- 2+-+ (n- 1)X 32-n),兩式相減得：2Tn=: + (30+3-1+3-2+-+32-n- (n- 1) X 31- n) -1)X 31-n_13 _ 6n+362X3“所以Tn_-竺丄，經(jīng)檢驗，n_1時也適合，12 4X 3n綜上可得Tn_-竺12 4X 3

37、n突出考查錯位【點評】本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用, 相減法”求和，考查分析、運算能力，屬于中檔題.21. (2008?全國卷U)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1_a，an+1_S+3n, n N* .由(I)設(shè)bn_S-3n,求數(shù)列bn的通項公式；(U)若an+1 >an, n N*，求a的取值范圍.【分析】(I)依題意得Sh+1_2Si+3n,由此可知Sn+1 - 3n+1_2 (S - 3n).所以bn_S -3n_ (a- 3) 2n-1, n N*.(n )由題設(shè)條件知 Sn_3n+ ( a - 3) 2n-1 , n N* ,于是，an_S - Sn-1

38、_- I ,由此可以求得a的取值范圍是-9, +x).【解答】解：(I)依題意，Si+1 - Si_an+1_Sh+3n，即卩 Sn+1 _2Sn+3n, 由此得 S+1 - 3n+1_2Sn+3n- 3n+1_2 (S - 3n) . (4 分) 因此，所求通項公式為bn_S-3n_ (a-3) 2n-1, n N* .(6分)(U)由知 Sn=3n+ (a-3) 2"1, n N*, 于是，當(dāng)n > 2時，an=Sn- Sn- 1=3n+ (a-3)x 2n-1 - 3n-1-( a-3)x 2n-2=2X3n-1+ (a-3) 2n-2,-q n 2an+i - an=4

39、x 3+ (a-3) 2“ ？=j當(dāng) n > 2 時l -.? a>- 9.又 a2=ai +3 > ai.綜上，所求的a的取值范圍是-9, +x). (12分)【點評】本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要仔細(xì)審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含 條件.22. （2014?山東）已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為和且S,，S2，S4成等比數(shù)列.（I）求數(shù)列 an的通項公式；（n）令bn= （- 1） n-1 '亠，求數(shù)列bn的前n項和Tn.anarrbl【分析】（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；"）由（I）可得bn= -''

40、;,：.對n分類討論裂項求和”2n_ 1 zn+1即可得出.【解答】解：（I）：等差數(shù)列an的公差為2,前n項和為sn，2 ,-S=1=n - n+na1， S,S4成等比數(shù)列，:;廠-:,:I . I I - J化為 1 .: 1，解得 a1=1.an=a1+ (n - 1) d=1+2 (n - 1) =2n - 1.(2n 1) (2n+l)(n )由(I )可得 bn= ( - 1) n-1 r =-'anarrH"T島)*-Tn =-+當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=1 -宀-1 =1 - = .V2n- 1 2n+l ' 2n+l 2n+l當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn= _一一-1廣仔1=2汩2Sn- 1 2n+l ' 2n+l 2n+l '£占+Tn=2n+l2n+22n+l,n為偶數(shù),為奇數(shù)【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前 n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力、裂項求和”、分類討論思想方法，屬于難題.23