平面奇點(diǎn)的定性理論

1、平面非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)分析（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)）學(xué)生：張西指導(dǎo)老師：杜正東摘 要 :本文主要討論了平面非線性常微分方程組的奇點(diǎn)的定性性質(zhì)，包括其類型和穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)的相圖在奇點(diǎn)附近的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?？偨Y(jié)了平面非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)分析的一些方法和結(jié)果。并將上述結(jié)果應(yīng)用到了三次約化Kukles 系統(tǒng)。關(guān)鍵詞 ：奇點(diǎn)，鞍點(diǎn)，焦點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)。1 引言由常微分方程本身的結(jié)構(gòu)來直接研究和判斷解的性質(zhì)，這是常微分方程定性理論的基本思想。眾所周知， 常微分方程（組）大量存在于描述自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型中，它已成為自然科學(xué)和尖端技術(shù)，包括自動控制理論， 航天技術(shù)生物技術(shù)， 經(jīng)濟(jì)學(xué)等的研究中不可缺少的數(shù)學(xué)工具。常微分方程的定性研究的目的

2、是要搞清楚系統(tǒng)在相空間的軌道分布狀況。相對與高維系統(tǒng)來說，二維自治系統(tǒng)的情況更單純， 因?yàn)樵谄矫嫔嫌蠮ordan 閉曲線定理即： 任何 R2 上的單閉曲線 L 將 R2 分成兩部分 D1 和 D2, 自 D1 內(nèi)任何一點(diǎn)到 D2內(nèi)任何一點(diǎn)的連續(xù)路徑必定與L 相交。只有對奇點(diǎn)的性質(zhì)的研究透徹，才能更好的對其他問題進(jìn)行研究。對于平面非線性系統(tǒng)的的定性分析，最重要的是研究一些特殊的軌道，如奇點(diǎn)（即平衡點(diǎn)）。周期軌等，只要我們把一個(gè)系統(tǒng)在這些特殊軌道附近的狀況分析清楚了， 該系統(tǒng)的整體相圖結(jié)構(gòu)也就大致清楚了。因此作為平面非線性分析的第一步，奇點(diǎn)分析是最簡單，也是最基本的工作。本文則主要討論了平面非線性

3、微分方程組的奇點(diǎn)的定型性質(zhì)?？偨Y(jié)了平面非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)分析的一些方法和結(jié)果。2 平面線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)分析定義 ： 奇點(diǎn) 設(shè) dx(x)0n 滿足 F(x 0) 0，則 x=x 0 叫做方程的一個(gè) 奇點(diǎn) 。dtF若 x R給定一個(gè)平面非線性系統(tǒng)：dxdyQ ( x, y)dtP( x, y) ，dt當(dāng)（ 0,0 ）為奇點(diǎn)時(shí)，若P,Q 均二階可微，則在（ 0,0 ）附近總可以用Taylor 展式展開表示為：dxbyR1 ( xy)axdtdydyR2 (xy)cxdt的形式，其中 R1(x,y),R2(x,y)為高階項(xiàng)，即 :limRi ( x, y),(x20 (i 1,2)( x, y ) (0,

4、0)y2 )自然想到在原點(diǎn)（0,0 ）附近的軌道分布是否和它的第一近似方程組:dxax bydt（ 2.1）dydtcxdy的相似，其中a,b,c,d是實(shí)數(shù)，首先我們必須把平面線性系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的狀況搞清楚。為此我們首先給出平面齊次線性方程（2.1 ）種奇點(diǎn)定性性質(zhì)的分類準(zhǔn)則.系統(tǒng)（ 2.1 ）的系數(shù)矩陣的特征方程為：D( )ab2( a d )ad bc 0 ,cd令 p=-(a+b), q=ad-bc,則 D ()2pq0 ,它的根為：1,2pp24q2奇點(diǎn)的性質(zhì)可總結(jié)如下：（ 1） q 01, 2是異號實(shí)根0 為鞍點(diǎn)2 0,1 ,0 為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（ 2） q 0,p 0,p -4q2 同為

5、負(fù)實(shí)根，這時(shí)奇點(diǎn)（ 3） q0,p 0,p 2-4q 011i 2 , 21i 2 ,1p4q p22 , 2此時(shí)奇點(diǎn) 0 為穩(wěn)定焦點(diǎn)。（ 4） q 0,p 0,p 2-4q 0,1 , 2 同是正實(shí)根，此時(shí)奇點(diǎn)0 為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。（ 5） q0,p 0,p 2-4q 0， 此時(shí)奇點(diǎn)0 為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。（ 6） q0,p 0， 1, 2是一對共軛虛根，這時(shí)奇點(diǎn)0 為中心。(7)q 0,p 0,p 2-4q 012 是一對負(fù)實(shí)重根：a) 設(shè)初等因子是單的，這時(shí)奇點(diǎn)0 為穩(wěn)定臨界點(diǎn)。 b）設(shè)初等因子是重的，這時(shí)奇點(diǎn)0 為穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)。(8)q 0,p 0,p 2-4q 0， 12是一對實(shí)重根：a) 設(shè)

6、初等因子是單的，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定臨界點(diǎn)。 b):初等因子是重的，奇點(diǎn)0為不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)。(9)q=0， a)a=b=c=d, 這時(shí)（ x,y ）平面上每一點(diǎn)都為奇點(diǎn)。b)a=b=0 或（ c=d=0）但 c2+d20或（ a2+b2 0）此時(shí) x=c 是解，直線cx+dy=0 上都是奇點(diǎn)。 c) c2+d2 0,a 2+b2 0, 再者或者 ac0或 bd 0 設(shè) ac o 則原方程可化為：dycay cx kodxa是解3 平面非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)分析的一般方法在 2 節(jié)我們討論了線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的定性性質(zhì)，對于非線性系統(tǒng)來說。當(dāng)其線性部分的系數(shù)矩陣的特征值實(shí)部全部不為 0 時(shí)，它在奇點(diǎn)附近的相圖的拓?fù)浣Y(jié)

7、構(gòu)是一樣的。 但當(dāng)其線性部分的系數(shù)矩陣的特征值有零實(shí)部時(shí)， 情況就要復(fù)雜得多。 本節(jié)給出了討論非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相圖結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一處理方法。給定方程：dxX (xy )dt（3.1 ）dyY(xy)dt設(shè) 0（ 0,0 ）是（ 3.1 ）的奇點(diǎn)，即X(0,0 ） =Y(0,0)=0設(shè) Z(x,y),Y(x,y),在原點(diǎn)附近對 x,y 有高階偏導(dǎo)數(shù) , 則（ 3.1 ）可寫為：dxX m (xy)(xy )dt（3.2 ）dyYn ( xy)(xy)dt其中 Xm,Yn, 分別是 x 和 y 的 m,n 次齊次多項(xiàng)式， m,n 1,當(dāng) r 0,=o(rm) ，=o(r n) 其中 rx2y2，

8、進(jìn)一步假設(shè) Xm,Yn,互質(zhì)。定義 3.1設(shè) L 是方程的軌線，點(diǎn) A(r,) 是 L 上的動點(diǎn)，若當(dāng)r 0時(shí)有 0則軌線 L叫做沿固定方向0 進(jìn)入奇點(diǎn) 0(0,0).定義 3.2設(shè)原點(diǎn)0 為方程組（ 3.1 ）的孤立奇點(diǎn)。如果存在序列AnA(rn n ) , 當(dāng) n時(shí)有r 0， 0且 n0 ，其中 n 是（ 3.1 ）在 An 點(diǎn)的方向場的向量， （或稱場向量）與坐標(biāo)向n量的夾角（從向量半徑逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)向場向量）的正切，則 =0 叫做（ 3.1 ）的特殊方向 。令是 P(r) 點(diǎn)處的坐標(biāo)向量與場向量的夾角，便有：tanlim rrr dr 0dr由定義 3.2若0是特殊方向，則在點(diǎn)列An（

9、rn , n ）上必有：lim tgnlim rddrnn0( rn , n )令 xr cos , yr sin則, （ 3.2 ）變?yōu)?:令：A Xm (r cos, r sin )(r cos,r sin)BYn (r cos, r sin)(r cos,r sin)1 drA cosB sinM (r)r dB cosAsinI (r)令：G ( )cosY (cos,sin),當(dāng) mn時(shí)nG() sinX n (cos,sin ),當(dāng) mn時(shí)(3.3)G ()cosYn (cos ,sin) sin X n (cos,sin),當(dāng) mn時(shí)則由上式得：1 drA(r), r0,(3.4

10、)r dG ()o(1)其中 A(r , )K ,當(dāng) rn時(shí)H ()cosXn (cos,sin),當(dāng)m1 時(shí):o(r m 1 ),o(r n 1 ), r0則（ 3.2 ）只有唯一軌線沿k 進(jìn)入奇點(diǎn) 0.定理 3.8 ：設(shè)k 是 G()=0的 L 重根， L 是偶數(shù)， G(L ) ( k )H ( k )0 令：1A(r ) r n (ln 1 )l 1r(r , )cos(r cos, r sin) sin (r cos , r sin)設(shè)在扇形區(qū)域OAB :k,0rr1 ，當(dāng) , r1充分小時(shí)有，(r ,)C1 A(r ),0 C1 D則 在OAB中有方程（3.2）的無數(shù)條軌線沿k 進(jìn)

11、入 奇 點(diǎn) 0設(shè) ：(r , )C2 A(r ), C2D 則在 OAB 無方程（ 3.2）的軌線沿著k 進(jìn)入奇點(diǎn)，其中常數(shù) :D (H(11k ) ) l 1 G (l ) (k )(l 1)l 1l定理 3.9如果不存在 12 使對一切 12 ，都是方程（ 3.1）的特殊方向，則（3.1 ）的軌線如果進(jìn)入奇點(diǎn) 0，它只能螺旋形地進(jìn)入或沿一定方向進(jìn)入。定理 3.10若原點(diǎn) 0 是方程（ 3.1 ）地孤立奇點(diǎn)， X(x,y)，Y(X,Y) 在原點(diǎn) O地領(lǐng)域 S (o) 上解析，則（ 3.1 ）如果有軌線進(jìn)入奇點(diǎn)0，它只能螺旋形地進(jìn)入或沿著固定方向進(jìn)入。4 特征根實(shí)部不為零和是一對純虛根時(shí)附加非

12、線性項(xiàng)地情形這一節(jié)我們將用上面一節(jié)地方法對兩種特殊情況奇點(diǎn)的判定?？疾旆匠蹋篸xbyaxdt（4.1 ）dydycxdtdxaxby(x, y)dt（4.2 ）dycxdy(x, y)dt其中 a,b,c,d,是實(shí)數(shù)； (0,0)(0,0) 0且在原點(diǎn)地領(lǐng)域中( x, y) ，(x, y) 對（ x,y ）連續(xù)，還滿足唯一性條件，我們對（4.2 ）引入 3 個(gè)條件：a)( x, y) ,(x, y) =o(r),r 0b)( x, y) ,(x, y) 在原點(diǎn)地小領(lǐng)域內(nèi)對x,y可微。c)( x, y) ,( x, y) o(r 1) ,r0, 其中0 是任意小的正數(shù)，則可得出結(jié)論：）當(dāng)線性方程

13、組（4.1 ）地奇點(diǎn)是焦點(diǎn)，如果方程組（4.2 ）地附加項(xiàng),滿足條件a) ，則奇點(diǎn) 0 仍是（ 4.2 ）地焦點(diǎn)，且穩(wěn)定性不變。）當(dāng)奇點(diǎn)0 是（ 4.1 ）地鞍點(diǎn)和正常結(jié)點(diǎn)，如果,滿足條件a) 和0 仍分別是（ 4.2 ）的鞍點(diǎn)和正常結(jié)點(diǎn)，且對正常結(jié)點(diǎn)來說，不改變穩(wěn)定性。）當(dāng)奇點(diǎn)0 是（ 4.1 ）的退化結(jié)點(diǎn)時(shí)，如果,滿足條件c）則奇點(diǎn)b) ，則相應(yīng)地奇點(diǎn)o 仍是（ 4.2 ）的退化結(jié)點(diǎn)，且不改變穩(wěn)定性。）當(dāng)奇點(diǎn)o 時(shí)（ 4.1 ）的臨界點(diǎn)時(shí)，如果,滿足條件b) 和 c)，則奇點(diǎn)0 仍是（4.2 ）的臨界點(diǎn)，且不改變穩(wěn)定性。下面是當(dāng)特征根是一對純虛根情形的討論：定理 4.1 ：設(shè) 0(0,0)

14、是（ 4.1 ）的中心，又設(shè)（則 0（0,0 ）是（ 4.2 ）的中心，焦點(diǎn)或中心焦點(diǎn)。4.2 ）的附加項(xiàng)（x,y）和 (x,y)都滿足條件a),中心焦點(diǎn)的判別法：考察方程dxykdyk 1（ 4.3）dykdtk 2取形式級數(shù)：F (x, y)x2y2Fkk 3其中k ，k ， Fk 都是 x，y 的 k 次齊次多項(xiàng)式， FK中的系數(shù)待定，使之滿足dF0 ，dt(5.16)然后若能證明一下級數(shù)收斂，則奇點(diǎn)0 就是中心 :dF(2xFk )( yk )(2 yFk )( xk ) ，dt(5.16)k 3 xk 2k 3yk 2( y Fkx Fk )( x k y k )( kFmkFm )

15、0k 3xyk 2k 2xym 3記 :nFnak xn k ykk 0n1FkFk )An 2( x n 1y n 1 )( n k 1n k 1k3xynbk xnk ykk 0約定 a 1 an 10nn( k 1)ak 1(n k 1)ak 1 xn k ykbk xn k ykk 0k 1即 (k 1)ak1(n k 1)ak 1bk , k0, n（4.4 ）其系數(shù)行列式 :0, n 2k（4.2.1）(2 k1)! 2 , n2k 1（對于一切奇數(shù)2m+1，相應(yīng)方程（ 4.4 ）必有解，若對于一切偶數(shù)2m，相應(yīng)的線性方程組4.4也有解，則奇點(diǎn)0是方程（ 4.3 ）的中心， F(x

16、,y) c 是方程（ 4.3 ）的第一積分，若存在偶數(shù)2m，相應(yīng)的方程 4.4無解，而對應(yīng)于偶數(shù)2 2（ m+1）相應(yīng)的方程組（4.4 ）有解，這時(shí)引進(jìn)新的未知數(shù)方程組：F2 myFm( x2y 2 ) mA2 myx必有解，且 0，這時(shí)奇點(diǎn) o 為穩(wěn)定焦點(diǎn)，當(dāng) 0，為不穩(wěn)定焦點(diǎn)當(dāng) 0。5 奇點(diǎn)的幾何分類在非線性奇點(diǎn)一節(jié)里，我們引進(jìn)了特殊方向，并討論了有無軌線以及有多少條軌線沿特殊方向進(jìn)入奇點(diǎn)， 但僅僅有了這些信息還不足以確定奇點(diǎn)領(lǐng)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)； 為此，還必須弄清楚兩個(gè)特殊方向之間軌線的可能走向。 在這一節(jié)里， 我們將把奇點(diǎn)的領(lǐng)域分成一些曲邊扇形， 然后討論平面孤立奇點(diǎn)附近究竟可能有多少種不同

17、的曲邊扇形。 知道了某以孤立奇點(diǎn)領(lǐng)中有那些不同類型的曲邊扇形以及他們的相對位置，這個(gè)奇點(diǎn)領(lǐng)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就確定了。在這一部分我們除了要求平面微分方程的右側(cè)函數(shù)式連續(xù)的并且滿足條件確保的唯一性。定義 ：如果對于任給 0，在孤立奇點(diǎn)0 的領(lǐng)域 S (0) 中，都包含圍繞0 的閉軌線，這時(shí)奇點(diǎn) 0 或是中心或是焦點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)0 就叫做 中心型 。定理 5.1設(shè) 0 是非中心型孤立奇點(diǎn)，則至少存在兩條或當(dāng)t +時(shí)或者 t - 時(shí)進(jìn)入 0 的半軌線 L 即 0 時(shí)它的唯一極限點(diǎn)。定理 5.2設(shè) 0 是非中心型孤立奇點(diǎn)，則存在S (0) ， f(Q,I+) 及 f(Q,I - ) 都有這樣的性質(zhì)：他或者進(jìn)

18、入奇點(diǎn)0，或者離開 S (0)。即所謂 f(Q,I+) （或 f(Q,I- ) ）離開 S (0) ，是指對任意 T 0，T T, f(Q,I+)( 或 f(Q,I - )S(0) )1由定理 5.2 我們從 S (0) 0 中出發(fā)軌線分成三類：1 ）： f(Q,I)叫做拋物線型軌線，若f(Q,I+) 和 f(Q,I- ) 之一進(jìn)入奇點(diǎn)，另一離開 S (0) 。2）： f(Q,I)叫做雙曲型軌線，若f(Q,I +) 和 f(Q,I - ) 都離開 S (0) 。3）： f(Q,I)叫做橢圓心型軌線，若f(Q,I+) 和 f(Q,I- ) 都進(jìn)入奇點(diǎn) 0。定理 5.3設(shè) 0 為非中心型孤立奇點(diǎn)，

19、S (0) 滿足定理 5.2 ，則 S (0) 內(nèi)的雙曲扇形及雙曲橢圓扇形的個(gè)數(shù)是有限的， 橢圓扇形的個(gè)數(shù)也是有限的（指的是與S (0) 有公共點(diǎn)而整個(gè)落在S (0) 內(nèi)的橢圓花瓣） 。定義 5.1設(shè) 0 為中心型孤立奇點(diǎn)，S (0) 滿足定理 5.2 的條件。對p S (0) , 若 f(Q,I+) 0 或（ f(Q,I- ) 0 ），且對任給 0，使S ( p)S (0) ，或者 S ( p) 中不存在同類型的軌線（包括f(Q,I)），或者 S ( p) 中都是橢圓型型軌線但存在Pn S ( p) , 當(dāng) n時(shí)Pn P, 且limf ( pn , I )f ( p, I ) ，則稱 f(Q

20、,I+) （或 f(Q,I- ) 或 f(Q,I)）是奇點(diǎn)的分界線。n6 有零特征根時(shí)附加非線性項(xiàng)的情形在下面一部分我們要研究線性方程足組中的q 0，加上非線性項(xiàng)后的情形，也即線性方程組的特征根一個(gè)是零或兩個(gè)都是零，但線性系數(shù)不全為零時(shí)，附加非線性項(xiàng)后奇點(diǎn)的性質(zhì)。） q=0 p 0這時(shí)相應(yīng)的線性方程的特征根一個(gè)為零，另一個(gè)不為零，不失一般性，可設(shè)平面系統(tǒng)以化為如下形式：dxP2 ( x, y)dt(7.1)dydtyQ2 ( x, y)此外，還假設(shè)0（ 0,0 ）是（ 6.1 ）的孤立奇點(diǎn)，P2 和 Q2 是在點(diǎn) 0（ 0,0 ）附近次數(shù)不低于2 的解析函數(shù)。定理 6.1 設(shè) 0（0,0 ）是

21、 (6.1) 的孤立奇點(diǎn)，且P2 和 Q2 是 S (0)內(nèi)次數(shù)不低于2 的解析函數(shù)，于是當(dāng)充分小時(shí)，存在解析函數(shù)( x)滿足：( x)Q2 ( x,( x)0, x令 :(x)P2 (x, ( x)am xm x m 1其中 am0,m2于是有：a): 當(dāng) m是奇數(shù)且 am0 時(shí)， 0（ 0.0 ）是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)b): 當(dāng)m 是 奇數(shù) 且am0（0, 也可以推出 a 0, 相反的，如果a 0， a 0 則可以推出 D 0, 則推出 D 0， a10 和 a52a2a4可得 B- 是細(xì)焦點(diǎn)（或中心）和B+是鞍點(diǎn)。a12a14a47.2.2)在這部分我們將考察T0,0, D0 的情況。因?yàn)?0 當(dāng)

22、且僅當(dāng)：2a1a42a1a431a54 2a4 2 (a124a4 ) 4（7.2 ）a12a124a4 (a1 a123a14a4a14a4 ) 2則 B 是不穩(wěn)定焦點(diǎn)或，當(dāng) T0,a 40 和（ 7.2 ）成立，則 B 是不穩(wěn)定焦點(diǎn)， B是鞍點(diǎn)，如果 a10,a 40 和（ 7.3 ）成立，則 B是穩(wěn)定焦點(diǎn)， B+是鞍點(diǎn)。（ ） :在這部分我們考察T0,0, D0 ，我們可以得出a40，a10， x0,x 0， a 0，則 B 是鞍點(diǎn)，而且：412a1a431（ 1）如果 a54 2a4 2 (a124a4 )4，則 B是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。a1a124a4a23( a4a ) 21142a1a434a4 )1（ 2）如果 a4 2a4 2 (a124，則 B 是穩(wěn)定非正常結(jié)點(diǎn)。35a1a124a4(a1a124a4 ) 22a1a434a4 )1（ 3）如果 a54 2a4 2 (a124，則 B 是不穩(wěn)定非正常結(jié)點(diǎn)。a1a124a4a123(a14a4 ) 22a a3(a24a )1 44 2a 2（ 4）如果 a514414，則 B 是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。a1a124a4a123(a14a4 ) 2（ 7.2.4）這部分我們考慮D 0.定理（ 7.4 ）如果 a40，則 B 和 B是鞍點(diǎn)，如果a10, 則 B 是鞍點(diǎn)而且：