隨機實驗報告1Poisson過程模擬

1、v1.0可編輯可修改理工數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院實驗報告實驗項目名稱隨機數(shù)及Poisson過程的模擬所屬課程名稱隨機過程實驗類型綜合實驗日期班級學(xué)號姓名一、實驗概述：【實驗?zāi)康摹客ㄟ^模擬產(chǎn)生隨機數(shù)，進一步編程實現(xiàn)對possion過程樣本軌道的模擬。掌握生成隨機變量的方法，深入了解poisson過程的性質(zhì)?！緦嶒炘怼?、隨機變量的生成(逆函數(shù)法)：利用均勻分布并結(jié)合分布函數(shù)的逆變換，生成分布函數(shù)為F(x)的變換：若U是0,1區(qū)間上的均勻分布，F(xiàn)(x)為任一給定的分布函數(shù)，定義F1(x)inft:F(t)x,則隨機變量YF1(U)的分布函數(shù)為F(x);2、Poisson過程的模擬：(1)利用事件發(fā)生的

2、間隔時間是獨立同分布的隨機變量序列，(2)給定事件發(fā)生次數(shù)的條件下，事件發(fā)生的時刻與該區(qū)間上對應(yīng)的均勻分布的順序統(tǒng)計量相同【實驗環(huán)境】硬件環(huán)境Windows7MicrosoftCorporationInter(R)Core(TM)i5-3210軟件環(huán)境Matlab二、實驗內(nèi)容：【實驗方案】1、利用求逆函數(shù)的方法生成指數(shù)分布隨機變量；2、(a)利用獨立同分布的指數(shù)分布序列模擬強度為1的Poisson過程；(b)利用均勻分布的順序統(tǒng)計量模擬強度為1的Poisson過程【實驗過程】(實驗步驟、記錄、數(shù)據(jù)、分析)1 .利用求逆函數(shù)的方法生成指數(shù)分布隨機變量；12v1.0可編輯可修改步驟一：我們知道一個

3、指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是：;A)=(0；£o：其中人>0是分布的一個參數(shù)，常被稱為率參數(shù)(rateparameter)即每單位時間發(fā)生該事件的次數(shù)。指數(shù)分布的區(qū)間是0,8)。如果一個隨機變量X呈指數(shù)分布，則可以寫作：XExponential(入)。累積分布函數(shù)：累積分布函數(shù)可以寫成：門一廣版>0,3=10：x<0：所以在x0時該分布函數(shù)的逆變換為：步驟二：生成均勻分布在0,1上的隨機數(shù)Matlab里生成0,1上的均勻隨機數(shù)的語句是：rand(1,1);rand(n,m)。步驟三：生成服從參數(shù)為lambda的指數(shù)分布的隨機數(shù)生成有連續(xù)分布函數(shù)隨機數(shù)的一般方法是用反函數(shù)

4、法。設(shè)G(y)=l-1(y),如果u(1).,u(n)是服從(0,1)上均勻分布的隨機數(shù)，那么G(u(1),.,22v1.0可編輯可修改G(u(n)就是分布函數(shù)為F(x)的隨機數(shù)。例：生成一組參數(shù)為1的服從指數(shù)分布的隨機數(shù)lambda=1;x=rand(1,10);y=-(log(1-x)/lambda結(jié)果為：y=,對于如何驗證這組隨機量是否滿足參數(shù)為1的指數(shù)分布，2 ,(a)利用獨立同分布的指數(shù)分布序列模擬強度為1的Poisson過程；我們知道計數(shù)過程N(t),t0是參數(shù)為的Poisson過程，如果每次事件發(fā)生的時間間隔為XX2，相互獨立，且服從同一參數(shù)為的指數(shù)分布。因此只需產(chǎn)生n個同指數(shù)分

5、布的隨機數(shù)，將其作為Xi，X2，,即可模擬Poisson過程。假設(shè)我們要產(chǎn)生20個服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機數(shù)，則可用以下編程實現(xiàn)：lambda=1;n=20;X=0-log(rand(1,n)./lambda;冉禾J用MATLAB的cumsum®數(shù)與stairs函數(shù)，便可得出一條滿足參數(shù)為1的Poisson分布的樣本路徑。stairs(cumsum(X),0:n);如圖：33v1.0可編輯可修改參數(shù)為1的樂isson的一條樣本蹈徑02681D1214(b)利用均勻分布的順序統(tǒng)計量模擬強度為1的Poisson過程首先引入定理1.設(shè)N(t),t0是計數(shù)過程，Tn為第n個事件與第n-1

6、個事件的時間問隔，Tn，n1獨立同分布且分布函數(shù)為F(x)，若F(0)=0,且對任意的0<s<t,都有P(is|N(t)1)*t0則N(t),t0為泊松過程。定理2.設(shè)N(t),t0為躍度為1的計數(shù)過程，滿足t0,N(t)P(t),且在N(t)=n條件下，1,n的條件概率密度為f(S1,Sn)-n!X,0S1Snt則N(t),t0為泊松過程。t利用以上理論便可進行計算機模擬：1 .選定t>0,產(chǎn)生服從參數(shù)為t的泊松分布的隨機數(shù)n:2 .假定n>0,獨立的產(chǎn)生n個在服從0,t上的均勻分布的隨機數(shù)，將這n個數(shù)按從小到大的順序排列的01nt;3 .我們可以在用i作為過程的第i

7、個點發(fā)生時間而得到過程在0,t上的一條44v1.0可編輯可修改軌道。利用MATLA蝙程實現(xiàn)：lambda=1;tmax=20;npoints=poissrnd(lambda*tmax);if(npoints>0)arrt=0;sort(rand(npoints,1)*tmax);elsearrt=0;endstairs(arrt,0:npoints);我們可得到：【實驗結(jié)論】（結(jié)果）利用不同發(fā)布模擬出了poisson發(fā)布過程的軌道，畫出圖形?！緦嶒炐〗Y(jié)】（收獲體會）通過本次實驗學(xué)習(xí)了如何利用編程實現(xiàn)對possion過程樣本軌道的模擬。掌握了生成隨機變量的方法，深入了解poisson過程的性質(zhì)。三、指導(dǎo)教師評語及成績：55v1.0可編輯可修改評語評語等級優(yōu)良中及格/、及格1.實驗報告按時完成，字跡清楚，文字?jǐn)⑹隽鲿?，邏輯性?.實驗方案設(shè)計合理3.實驗過程（實驗步驟詳細(xì)，記錄完整，數(shù)據(jù)合理,分析透徹）4實驗結(jié)論正確.成績：指導(dǎo)教師簽名：批閱日期：附錄1:源程序1.lambda=1;n=20;X=0-log(rand(1,n)./lambda;stairs(cumsum(X),0:n);2.lambda=1;tmax=20;npoints=p