指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法

1、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法例題例5-3-7 解不等式：解 (1)原不等式可化為x2-2x-12(指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性)x2-2x-30 (x+1)(x-3)0所以原不等式的解為-1x3。(2)原不等式可化為注 函數(shù)的單調(diào)性是解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的重要依據(jù)。例5-3-8 解不等式logx+1(x2-x-2)1。解 法一 原不等式同解于所以原不等式的解為x3。法二 原不等式同解于logx+1(x2-x-2)logx+1(x+1)所以原不等式的解為x3。注 解這類對數(shù)不等式，要注意真數(shù)為正數(shù)，并須對底數(shù)的分類討論。解 原不等式可化為22x-62x-160令2x=t(t0)，則得t2-6t-160

2、(t+2)(t-8)0 -2t8又t0，故0t8即02x8，解得x3。注 解這類指數(shù)不等式，常常需要通過變量代換把它變?yōu)檎讲坏仁絹斫狻＝?原不等式可化為解得t-2或0t1，即注 解不同底的對數(shù)不等式，應(yīng)先化為同底對數(shù)的不等式，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。這時也常常用到換元法。例5-3-11 設(shè)a0且a1，解不等式解 原不等式可化為令logax=t，則得當0a1時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有4-t21-2t t2-2t-30 (t+1)(t-3)0t-1，或t3當a1時，則有4-t21-2t t2-2t-30 (t+1)(t-3)0 -1t3注 解既含指數(shù)又含對數(shù)的不等式的基本

3、思想是“化同底，求單一”，即把不同底的指數(shù)或?qū)?shù)化為同底的，再通過函數(shù)的單調(diào)性將復合情形轉(zhuǎn)化為只含指數(shù)或?qū)?shù)的單一情形求解。例5-3-12 設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R內(nèi)的函數(shù)，對任意x，yR，有f(x+y)=f(x)f(y)；并且當x0時，f(x)1，f(1)=a。解關(guān)于x的不等式f(x2+x-4)a2。分析 由題設(shè)條件容易聯(lián)想到f(x)是指數(shù)型函數(shù)，又a2=f(1)f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)f(2)。于是，問題歸結(jié)為先確定f(x)的單調(diào)性，再解一個二次不等式。=0，否則，對任意xR，有f(x)=f(x-x0)+x0)=f(x-x0)f(x0)=0與已知矛盾，所以對任意xR，有f(x)0。現(xiàn)設(shè)x，yR，且y=x+(0)。則f(y)-f(x)=f(x+)-f(x)=f(x)f()-f(x)=f(x)f()-10(0，f()1)。故f(x)在R內(nèi)是增函數(shù)。于是原不等式同解于x2+