“等時圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用

1、圖2“等時圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用（此文章已發(fā)表于考試雜志）前段時間在網(wǎng)上發(fā)了一個帖子“等時圓規(guī)律有哪些應(yīng)用"，居然有同志認(rèn)為是“等勢圓”吧。而在物理教學(xué)中，借助各種模型，把抽象問題具體化，把復(fù)雜問題簡單化，能使得物理問題便于理解和接受。基于此我對“等時圓”規(guī)律和應(yīng)用闡述如下：一、何謂“等時圓”如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）,用ti、t2、t3依次表示各，t環(huán)到達(dá)d所用的時間,則（）<t2<t3>

2、;t2>t3>t1>t2=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示,設(shè)圓半徑為R,由牛頓第二定律得，mgcosma再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長度L2Rcos1設(shè)下滑時間為t,則L'at22由以上三式得，t2R可見下滑時間與細(xì)桿傾角無關(guān)，所以.gD正確。由此題我們可以得出一個結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點的時間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點由靜止開始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點所用的時間相等。象這樣的豎直圓我們簡稱為“等時圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子:、“等時

3、圓”的應(yīng)用1、可直接觀察出的“等時圓”例1:如圖3,通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。例2:如圖4,位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M直，與豎直墻相切于點A,豎直墻上另一點B與M勺連線和水平面的夾角為600,C是圓環(huán)軌道白圓心，D是圓環(huán)上與Mg得很近的一點（DMI小于CM。已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M嵐；c球由C點

4、自由下落到M嵐；d球從D點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到 M直。則：（A、a球最先到達(dá)M點、b球最先到達(dá)M點C c球最先到達(dá)M點、d球最先到達(dá)M點解析:設(shè)圓軌道半徑為R,“等時圓”理論，ta= 4R=2 R ,g . gt b> t a;爐故自由落體運動tc= J空；而d球滾下是一個單擺模型,g擺長為4 2g,所以C正確。CA、B處于等時圓周上，且 P點處于等時圓的最低點時,2、運用等效、類比自建“等時圓”例3:如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為h,B點離地高度為H,現(xiàn)在要在地面上尋找一點巳使彳導(dǎo)從A、B兩點分另向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間

5、相等，求O、P兩點之間的距離OP。解析：由“等時圓”特征可知，當(dāng)即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時等時圓的半徑為:-hR01PH一2所以O(shè)pr2(h)2JH(Hh)例4:如圖7,AB是一傾角為。的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立管道（假使光滑），使原料從p處以最短的時間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大解析：借助“等時圓”，可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切,如圖所示，C為切點，。為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點處的時間與沿其他弦到達(dá)“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時間最短，需

6、沿著PC建立管道。由幾彳S關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于。三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為小小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時間還等不等解析：bd的長為2Rcos。，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos0-gsin0,4Rcosgsinggtan?？梢妕與。有關(guān)。cO,其下端都固定于底部2、如圖9,圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板a。b。300、450、600。若有三個圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（Aa處小孩最先到O點B、b處小孩最先到O點Cc處小孩最先到。點D、a、c處小孩同時到。點解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c