信號與系統(tǒng)復(fù)習(xí)

1、1.6 系統(tǒng)的特性和分類系統(tǒng)的特性和分類 系統(tǒng)的系統(tǒng)的基本作用基本作用是將輸入信號是將輸入信號(激勵激勵)經(jīng)過傳輸、變換或經(jīng)過傳輸、變換或處理后，在系統(tǒng)的輸出端得到滿足處理后，在系統(tǒng)的輸出端得到滿足要求的輸出信號要求的輸出信號(響應(yīng)響應(yīng))。這。這一過程可表示為一過程可表示為 f () y () 式中，式中，y()表示系統(tǒng)在激勵表示系統(tǒng)在激勵f()單獨(dú)單獨(dú)作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。作用時產(chǎn)生的響應(yīng)。1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì) 如果系統(tǒng)的激勵如果系統(tǒng)的激勵f()增大增大(為任意常數(shù)為任意常數(shù))倍，其響應(yīng)倍，其響應(yīng)y()也增大也增大倍，即：倍，即：)()()()(ayafyf則稱該系統(tǒng)具有齊次性。則稱該系統(tǒng)具有

2、齊次性。 1.6.1 線性特性線性特性 如果系統(tǒng)對于任意兩個激勵之和的響應(yīng)均等于每個激勵如果系統(tǒng)對于任意兩個激勵之和的響應(yīng)均等于每個激勵單獨(dú)作用單獨(dú)作用時所產(chǎn)生的響時所產(chǎn)生的響應(yīng)之和，即：應(yīng)之和，即：)()()(),(),()(),()(21212211yyffyfyf 則稱該系統(tǒng)具有則稱該系統(tǒng)具有疊加性疊加性。式中，。式中，f1()，f2()表示兩個表示兩個激勵激勵f1()、 f2()共同作用于系統(tǒng)。共同作用于系統(tǒng)。 如果系統(tǒng)如果系統(tǒng)同時具有齊次性和疊加性同時具有齊次性和疊加性， 就稱系就稱系統(tǒng)具有統(tǒng)具有線性特性線性特性。 即：即： )()()(),(),()(),()(2211221122

3、11yayafafayfyf線性系統(tǒng)疊加性（線性系統(tǒng)疊加性（a）和齊次性（）和齊次性（b），如圖：），如圖：線性系統(tǒng)的判斷1n系統(tǒng)線性的判斷可以使用可加性判斷接著齊系統(tǒng)線性的判斷可以使用可加性判斷接著齊次性判斷的次性判斷的兩步法兩步法，也可以使用線性性判斷，也可以使用線性性判斷的的一步法一步法。注意，。注意，只要違反了可加性或齊次只要違反了可加性或齊次性，就是非線性的性，就是非線性的。n使用上述判斷準(zhǔn)則，容易得出如下結(jié)論：使用上述判斷準(zhǔn)則，容易得出如下結(jié)論：1.1.平移、翻轉(zhuǎn)和尺度運(yùn)算都是線性的；平移、翻轉(zhuǎn)和尺度運(yùn)算都是線性的；2.2.乘常數(shù)或與輸入無關(guān)的變量，即恒增益或變增益乘常數(shù)或與輸入無

4、關(guān)的變量，即恒增益或變增益放大，是線性的；放大，是線性的；3.3.加常數(shù)或與輸入無關(guān)的變量，即固定電平或可變加常數(shù)或與輸入無關(guān)的變量，即固定電平或可變電平偏置，是非線性的；電平偏置，是非線性的；線性系統(tǒng)的判斷21.1.微分和積分運(yùn)算是線性的；微分和積分運(yùn)算是線性的；2.2.非正比例的即時映射都是非線性的；非正比例的即時映射都是非線性的；3.3.有零初始狀態(tài)的線性電路或線性微分方程都有零初始狀態(tài)的線性電路或線性微分方程都是線性的；是線性的；4.4.任何含非線性運(yùn)算的系統(tǒng)，如非線性的微分任何含非線性運(yùn)算的系統(tǒng)，如非線性的微分方程或電路，都是非線性的。方程或電路，都是非線性的。n注意，線性性的要求是

5、很嚴(yán)格的，甚至有非零初始注意，線性性的要求是很嚴(yán)格的，甚至有非零初始狀態(tài)的線性電路，或者有非零初始狀態(tài)的線性常微狀態(tài)的線性電路，或者有非零初始狀態(tài)的線性常微分方程都不是上述意義下的線性系統(tǒng)。分方程都不是上述意義下的線性系統(tǒng)。例例 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。均勻特性均勻特性疊加特性疊加特性滿足均勻特性和疊加特性，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。滿足均勻特性和疊加特性，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。解解:不滿足均勻特性，該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。不滿足均勻特性，該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。解解:滿足均勻特性和，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。滿足均勻特性和，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。解解: 均勻特性均勻特性疊加特性疊加特性2、動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件、動態(tài)

6、系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵f(.)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。完全響應(yīng)完全響應(yīng)為為y()=yx()+yf()零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)為為零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)為為 )(0)0()(tfxTtyf，0)(),0()(tfxTtyx（1） 可分解性可分解性： 響應(yīng)響應(yīng)y()可以分解為零輸入響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)yx()和零狀和零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng)yf()之和，之和， 即即 y()=yx()+yf() （2） 零輸入線性零輸入線性, 即零輸入響應(yīng)即零輸入響應(yīng) yx() 與初始狀態(tài)與初始狀態(tài) x(0-) 或或 x(0) 之間滿足線性特性。之間滿足線性特性。（3

7、） 零狀態(tài)線性零狀態(tài)線性，即零狀態(tài)響應(yīng)，即零狀態(tài)響應(yīng)yf()與激勵與激勵f()之間滿足線性之間滿足線性特性。特性。 當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足下列當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足下列3個條件時為線性系統(tǒng)個條件時為線性系統(tǒng)例例1.6-1 在下列系統(tǒng)中，f(t)為激勵，y(t)為響應(yīng)，x(0-)為初始狀態(tài)，試判定它們是否為線性系統(tǒng)。 (1) y(t)=x(0-)f(t)(2) y(t)=x(0-)2+f(t)(3) y(t)=2x(0-)+3|f(t)|(4) y(t)=af(t)+b 解解: (1) 系統(tǒng)不滿足分解性；系統(tǒng)不滿足分解性； (2) 系統(tǒng)的系統(tǒng)的yx(t)=x(0-)2, yf(t)=f(t) , y(t)= y

8、x(t)+yf(t)滿足可分解性；滿足可分解性； 但但yx(t)=x(0-)2不滿足零輸入線性；不滿足零輸入線性； (3) 系統(tǒng)滿足可分解性；系統(tǒng)滿足可分解性；但系統(tǒng)的但系統(tǒng)的yf(t)=3|f(t)|, 不滿足零狀態(tài)線性不滿足零狀態(tài)線性 故這三個系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。故這三個系統(tǒng)都不是線性系統(tǒng)。 (4)考慮到令考慮到令f(t)=0時，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)時，系統(tǒng)響應(yīng)為常數(shù)b,若把它看成是由若把它看成是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)時，初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)時，即：即：yx(t)=b,yf(t)=af(t)系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的，系統(tǒng)仍是滿足線性系統(tǒng)條件的，故系統(tǒng)故系統(tǒng)(4)是線性系統(tǒng)。是線性系統(tǒng)。

9、1.6.2 時不變特性時不變特性 滿足時不變特性的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)滿足時不變特性的系統(tǒng)，稱為時不變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。否則稱為時變系統(tǒng)。 若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時間，即若少時間，即若f(t)-yf(t)則有：則有：f(t-td)-yf(t-td) 系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性。系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時不變性。因此，結(jié)構(gòu)組成和元件參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為因此，結(jié)構(gòu)組成和元件參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，稱為時不時不變系統(tǒng)變系統(tǒng)圖圖 1.6-1 系統(tǒng)的時不變特性系統(tǒng)的時不變特性 時不變系統(tǒng)的判斷11.1

10、.平移是時不變的、但翻轉(zhuǎn)和尺度運(yùn)算都是時變的，因?yàn)槠揭剖菚r不變的、但翻轉(zhuǎn)和尺度運(yùn)算都是時變的，因?yàn)閷τ诜D(zhuǎn)而言，輸入延遲時，輸出延遲，對于尺度而言，對于翻轉(zhuǎn)而言，輸入延遲時，輸出延遲，對于尺度而言，輸入延遲時，輸出延遲；輸入延遲時，輸出延遲；2.2.乘或加常數(shù)，即直流偏置或固定增益放大，是時不變的，乘或加常數(shù)，即直流偏置或固定增益放大，是時不變的，而乘或加與輸入無關(guān)的變量，即交流偏置或時變增益放而乘或加與輸入無關(guān)的變量，即交流偏置或時變增益放大，是時變的，因?yàn)閷笳叨?，所乘或加的與輸入無大，是時變的，因?yàn)閷笳叨?，所乘或加的與輸入無關(guān)的變量并不隨輸入的延遲而延遲；關(guān)的變量并不隨輸入的延遲而

11、延遲；3.3.微分和下限為的積分運(yùn)算是時不變的微分和下限為的積分運(yùn)算是時不變的4.4.所有即時映射都是時不變的；所有即時映射都是時不變的；5.5.有零初始狀態(tài)的常參數(shù)電路或常系數(shù)微分方程才是時不有零初始狀態(tài)的常參數(shù)電路或常系數(shù)微分方程才是時不變的，而具有非零初始狀態(tài)的電路或微分方程是時變的，變的，而具有非零初始狀態(tài)的電路或微分方程是時變的，因?yàn)槌跏紶顟B(tài)定義于零時刻，它不會隨著輸入的延遲而因?yàn)槌跏紶顟B(tài)定義于零時刻，它不會隨著輸入的延遲而延遲到另一時刻；同樣地，變系數(shù)微分方程中的變系數(shù)延遲到另一時刻；同樣地，變系數(shù)微分方程中的變系數(shù)的時間變量并沒有因輸入的延遲而延遲。的時間變量并沒有因輸入的延遲而

12、延遲。 例例 1.6-2 試判斷以下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)。試判斷以下系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)。 (1) yf(t)=acosf(t) t0 (2) yf(t)=f(2t) t0 輸入輸出方程中輸入輸出方程中f(t)和和yf(t)分別表示系統(tǒng)的激勵和零狀分別表示系統(tǒng)的激勵和零狀態(tài)響應(yīng)，態(tài)響應(yīng)，a為常數(shù)。為常數(shù)。 解解 ： (1) 已知設(shè) )()()(cos)(cos)()()()(cos)()(1111dffdfdfttytyttfatfatyttftftfatytfdtt 則其零狀態(tài)響應(yīng) 故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。 (2) 直觀上看直觀上看，任何輸入信號在時間上的延遲都會受到時，任何輸入信號在時間上的

13、延遲都會受到時間尺度改變的間尺度改變的影響。影響。 所以，所以， 這樣的系統(tǒng)是時變的。這樣的系統(tǒng)是時變的。 設(shè)設(shè) )()(1dttftfdtt 相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 )()()22()(2)()2()2()(111dffdddfdfttytyttfttfttyttftfty圖 1.6-2 例1.6-2圖 直觀判斷：直觀判斷：若f(.)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有翻轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。1.6.3 因果性因果性 零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)，就稱該系統(tǒng)為零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)，就稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；否則，為非因果系統(tǒng)。因果系統(tǒng)；否則，為非因果系統(tǒng)。 即對因果系統(tǒng)

14、，當(dāng)即對因果系統(tǒng)，當(dāng)tt0, f(t) =0時，有時，有tt0, yf(t)=0. 因此，系統(tǒng)在任一時刻的響應(yīng)只與該時刻以及該時刻以因此，系統(tǒng)在任一時刻的響應(yīng)只與該時刻以及該時刻以前前的激勵有關(guān)，而與該時刻以的激勵有關(guān)，而與該時刻以后后的激勵無關(guān)。的激勵無關(guān)。如下系統(tǒng)為因果系統(tǒng)：如下系統(tǒng)為因果系統(tǒng)：) 1(3)(tftyf因果系統(tǒng)的判斷1.1.向右平移（即延遲）是因果的向右平移（即延遲）是因果的，而向左平移（即超前）、翻轉(zhuǎn)（即時間倒轉(zhuǎn)）和尺度運(yùn)算都是非因果的，因?yàn)槌昂蜁r間倒轉(zhuǎn)都會使將來發(fā)生的事情先于現(xiàn)在出現(xiàn)；2.2.乘法和加法運(yùn)算是因果的乘法和加法運(yùn)算是因果的；3.微分是非因果的，因?yàn)樗c將

15、來時刻的信號值有關(guān)；下限為的積分運(yùn)算是因果的，因?yàn)樗c將來時刻的下限為的積分運(yùn)算是因果的，因?yàn)樗c將來時刻的信號值無關(guān)信號值無關(guān)；4.4.所有即時映射都是因果的所有即時映射都是因果的；5.5.電路和描述實(shí)際物理系統(tǒng)的微分方程都是因果的，電路和描述實(shí)際物理系統(tǒng)的微分方程都是因果的，因?yàn)樗鼈兌际俏锢砜蓪?shí)現(xiàn)的。因?yàn)樗鼈兌际俏锢砜蓪?shí)現(xiàn)的。例例 1.6-3 對于以下系統(tǒng)：對于以下系統(tǒng)： kifffifkytdftcftybtafty)()() 1()()()()( 由于任一時刻的零狀態(tài)響應(yīng)均與該時刻以后的輸入無關(guān)，由于任一時刻的零狀態(tài)響應(yīng)均與該時刻以后的輸入無關(guān)， 因此都是因果系統(tǒng)。因此都是因果系統(tǒng)。

16、而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：（1）yf(t)=2f(t+1) 因?yàn)?，令t=1時，有yf(1)=2f(2)（2）yf(t)=f(2t)因?yàn)?，若f(t)=0,tt0,有yf(t)=f(2t)=0,t0時，當(dāng)前時刻時，當(dāng)前時刻t的系統(tǒng)輸出值取決于將來時刻的系統(tǒng)輸出值取決于將來時刻2t的輸入值；函數(shù)值域沒有變化，即是穩(wěn)定的。的輸入值；函數(shù)值域沒有變化，即是穩(wěn)定的。( )(2 )y tft tyatyatfatfa2211221122tytftftf2222 c)系統(tǒng) 該系統(tǒng)是線性、時變、非因果、穩(wěn)定的線性、時變、非因果、穩(wěn)定的。原因： 在在t0時，當(dāng)前時刻時，當(dāng)前時刻t的系統(tǒng)輸出值取決于將來時刻的系統(tǒng)輸出

17、值取決于將來時刻2t的的輸入值；函數(shù)值域沒有變化，即是穩(wěn)定的。輸入值；函數(shù)值域沒有變化，即是穩(wěn)定的。( )(2 )y tft tyatyatfatfa2211221122tytftftf2222 e)該系統(tǒng)是線性、時不變、因果、穩(wěn)定的線性、時不變、因果、穩(wěn)定的。f)該系統(tǒng)是線性、時變、非因果、不穩(wěn)定的線性、時變、非因果、不穩(wěn)定的。原因是： 在t0時，t時刻的輸出值取決于它的將來時段(t,0中的輸入值 ；當(dāng)激勵信號f(t)=u(t)有界時，輸出響應(yīng)y(t)=tu(t)卻無界。 00000( )tttttty tf x dxf xdxf x dxf x dxy tf x dxf x dx系統(tǒng)：對幾個“不定”的情況，有如下說明：1.1.變量乘或加另一有界信號時變量乘或加另一有界信號時，變量