正方形的性質(zhì)與判定（二）

1、第一章 特殊平行四邊形3.正方形的性質(zhì)與判定（二）一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生的知識基礎(chǔ)：學(xué)生之前已經(jīng)借助折紙、畫圖、測量、證明等活動探索過平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)和判定，還在第一課時學(xué)習(xí)了正方形的性質(zhì)，本節(jié)課主要是對正方形的判定進(jìn)行推理證明，而前面的探索過程和方法為本節(jié)課的推理證明提供了鋪墊，為學(xué)生提供了相應(yīng)的定理證明思路。八年級時學(xué)生還學(xué)習(xí)了“三角形中位線定理”，這些都為本節(jié)課探究“中點四邊形”做了鋪墊，學(xué)生已經(jīng)具備了探究該命題的基本技能。學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，并初步體會了獲得猜想后還應(yīng)予以證明的意義，感受到了合情推理與演繹推理的相

2、互依賴和相互補充的辨證關(guān)系，并且學(xué)生具有了一定的推理證明的能力。同時在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教材基于學(xué)生對特殊平行四邊形和三角形中位線定理的認(rèn)識的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：掌握正方形判定定理、理解中點四邊形形狀取決于原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關(guān)系，但這僅僅是這堂課外顯的近期目標(biāo)。本課內(nèi)容從屬于“圖形與幾何”中的“圖形的性質(zhì)”，因而務(wù)必服務(wù)于演繹推理教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)：“讓學(xué)生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)猜想證明的過程，體會證明的必要性，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想，發(fā)展空間觀念”，同時也

3、應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：知識與技能：1.掌握正方形的判定定理，并能綜合運用特殊四邊形的性質(zhì)和判定解決問題。2.發(fā)現(xiàn)決定中點四邊形形狀的因素，熟練運用特殊四邊形的判定及性質(zhì)對中點四邊形進(jìn)行判斷，并能對自己的猜想進(jìn)行證明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生演繹推理的能力。3.使學(xué)生進(jìn)一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。過程與方法：1.經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，掌握正方形的判定定理，發(fā)現(xiàn)決定中點四邊形形狀的因素，并能綜合運用特殊四邊形的性質(zhì)和判定解決問題。2.通過凸四邊形的中點四邊形的探求過程，以及引申至凹四邊形的中點四邊形的探求過程，引導(dǎo)學(xué)生體會

4、證明過程中所運用的由一般到特殊再到一般的歸納、類比、轉(zhuǎn)化的思想方法等，培養(yǎng)積極探索、勇于創(chuàng)新的精神，以及推陳出新的創(chuàng)新能力。情感與態(tài)度：通過師生互動、合作交流以及多媒體軟件的使用，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，并使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中蘊涵的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性、積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情景引入；第二環(huán)節(jié)：運用鞏固；第三環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論，分組驗證；第四環(huán)節(jié)：學(xué)以致用；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：情景引入活動內(nèi)容：問題：將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣 剪才能剪出一個正方形？（學(xué)生動手折疊、思

5、考、剪切）活動目的：因為正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，把折痕作對角線，這時只需剪一個等腰直角三角形，打開即是正方形，因此只要保證剪口線與折痕成45角即可?；顒拥淖⒁馐马棧翰糠謱W(xué)生在動手操作時，會剪出菱形，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一個正方形，可以在矩形的基礎(chǔ)上強化邊的條件得到，也可以在菱形的基礎(chǔ)上強化角的條件得到，而折痕是正方形的對角線，所以本環(huán)節(jié)要從對角線的角度考慮，即對角線要垂直相等且平分，學(xué)生很自然的會想到需要剪一個等腰直角三角形，因此只要保證剪口線與折痕成45角即可，本節(jié)課的第一個教學(xué)難點迎刃而解。本環(huán)節(jié)中教師可以鼓勵操作快的學(xué)生幫助

6、有困難的學(xué)生，請同學(xué)到講臺前講解自己的做法和判斷依據(jù)，順勢引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出正方形的判定定理：1. 對角線相等的菱形是正方形。2. 對角線垂直的矩形是正方形。3. 有一個角是直角的菱形是正方形。教師可以課件展示下面的框架圖，復(fù)習(xí)鞏固平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系。此框架圖給出了正方形的判別條件，先判定一個四邊形是平行四邊形，再判定這個平行四邊形是矩形，然后再判定這個矩形是菱形；或者先判定一個四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形。由于判定平行四邊形、矩形、菱形的方法各異，所給出的條件不一樣，所以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件相應(yīng)可作變化，在應(yīng)用時要仔細(xì)辨別后才可以作出判斷。第二環(huán)節(jié)：運

7、用鞏固活動內(nèi)容：活動目的：通過例2，復(fù)習(xí)鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定定理，讓學(xué)生嘗試綜合運用特殊四邊形的性質(zhì)和判定解決問題?；顒拥淖⒁馐马棧捍谁h(huán)節(jié)采用合作學(xué)習(xí)的策略，鼓勵學(xué)生多層面、多角度地思考正方形判定的運用，目的在于加深學(xué)生對判定本身的理解和掌握，同時也豐富了交流的內(nèi)容，激發(fā)了交流的氣氛，使新舊知識融會貫通，達(dá)到同學(xué)間的溝通、互補、共同提高的目的，教師應(yīng)對學(xué)生的合理講解給予肯定和鼓勵。而且整個過程也使學(xué)生重新回顧了證明的步驟，為進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力奠定了基礎(chǔ)。第三環(huán)節(jié)：猜想結(jié)論，分組驗證FECABCGHFEDABCGHFEDAB活動內(nèi)容1：圖1-8-1 圖1-8-

8、2 圖1-8-3問題：1.如圖，在ABC中，EF為ABC的中位線，若BEF=30，則A= . 若EF=8cm, 則AC= .2.在AC的下方找一點D,做CD和AD的中點G、H,問EF和GH有怎樣的關(guān)系？EH和FG呢？3.四邊形EFGH的形狀有什么特征？活動目的：通過問題串，復(fù)習(xí)三角形中位線性質(zhì)定理和命題“依次連接任意四邊形各邊的中點可以得到一個平行四邊形”?；顒拥淖⒁馐马棧航處熢谔釂枙r選擇平時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生，由于是前面已經(jīng)學(xué)過的知識，學(xué)生們回答得很流暢，這種低起點的問題，也增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。此外，課件的運用，直觀形象，也分解了難點?；顒觾?nèi)容2：問題：如果四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾?/p>

9、四邊形，中點四邊形EFGH會有怎樣的變化呢？活動目的：在一個開放的情景中，引導(dǎo)學(xué)生體會由一般到特殊的歸納、類比、轉(zhuǎn)化的思想方法，同時培養(yǎng)學(xué)生的積極探索、勇于創(chuàng)新的精神?；顒拥淖⒁馐马棧河械膶W(xué)生猜測還是平行四邊形，有的學(xué)生猜測是正方形，有的學(xué)生猜測是矩形，有的學(xué)生猜測是菱形，甚至有的學(xué)生猜測是梯形。經(jīng)過師生的共同探討，達(dá)成一致的結(jié)論：一定是平行四邊形，而非梯形。于是老師順勢提出問題“會不會是特殊的平行四邊形呢？從結(jié)論來探索有一些困難，那么我們可以換一種角度思考：四邊形ABCD可以為哪些特殊的四邊形？”學(xué)生的回答多種多樣，原四邊形可以為平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至還有學(xué)生回答為梯

10、形和直角梯形。于是老師請學(xué)生選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，從而順利進(jìn)入下一環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)的設(shè)置引發(fā)了學(xué)生對特殊四邊形的中點四邊形的思考，學(xué)生們暢所欲言，互相補充完善，氣氛熱烈，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，同時也是對之前所學(xué)的特殊四邊形進(jìn)行回顧。老師在這一環(huán)節(jié)中，對學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心?；顒觾?nèi)容3：學(xué)生以數(shù)學(xué)小組的形式，在眾多的特殊四邊形（平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，并驗證結(jié)論的正確性?；顒幽康模河蓪W(xué)生非常熟悉的、常見的特殊四邊形得到結(jié)論，為后

11、面的知識形成作好鋪墊，并把學(xué)習(xí)的主動權(quán)讓給學(xué)生，目的在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人；同時讓學(xué)生再一次體會由一般到特殊的歸納思想、類比、轉(zhuǎn)化的思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)生的合作交流和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。活動的注意事項：學(xué)生結(jié)合前面學(xué)過的各種特殊四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，人人參與、積極進(jìn)行探究和交流，通過類比和轉(zhuǎn)化共歸納出以下幾種情況。各小組派代表展示自己小組的猜想和驗證，講解中小組之間互相補充、互相競爭，氣氛熱烈,使驗證的過程更加嚴(yán)謹(jǐn)。把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給了學(xué)生，真正體現(xiàn)了學(xué)生的自主性，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。ABCDEFGHABCDEFGH圖1-8-4 圖1-8-5

12、 圖1-8-6 圖1-8-7圖1-8-8 圖1-8-9 圖1-8-10得出結(jié)論：平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；矩形的中點四邊形是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的中點四邊形是正方形；等腰梯形的中點四邊形是菱形；直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；梯形的中點四邊形是平行四邊形。在這一環(huán)節(jié)中，老師走入學(xué)生中適時地進(jìn)行指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，提高學(xué)生的概括能力。對學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生進(jìn)行個別指導(dǎo)，對學(xué)習(xí)能力較強的學(xué)生鼓勵他們研究第2個甚至更多個圖形，使以上7個圖形的結(jié)論能夠順利得出，并對學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵。學(xué)生們展示完自己的結(jié)論后，老師利用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生們觀察中點四邊

13、形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學(xué)們歸納的結(jié)論的正確性，給予學(xué)生直觀的感受?；顒觾?nèi)容4：問題：1.矩形和等腰梯形是形狀不同的四邊形，為什么中點四邊形都由平行四邊形變化為菱形？2.平行四邊形變化為菱形需要增加什么條件？3.你是從什么角度考慮的？4.你從哪兒得到的啟發(fā)？5.你能用你的發(fā)現(xiàn)解釋其它的圖形變化嗎？例如：原四邊形為菱形，其中點四邊形為矩形？活動目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步深入思考，前2個問題的設(shè)置幫助學(xué)生回憶特殊四邊形的性質(zhì)與判定定理，第3、4個問題幫助學(xué)生揭示變化的原因：矩形和等腰梯形的對角線有相同的性質(zhì)“對角線相等”，而且其它中點四邊形的變換也和原四邊形的對角

14、線有關(guān)系。有了前4問的鋪設(shè)，第5個問題可以通過類比的思想解決；同時讓學(xué)生體會由一般到特殊再到一般的歸納思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力?；顒拥淖⒁馐马棧哼@一環(huán)節(jié)緊緊圍繞“中點四邊形”再次提出問題串，是對上一活動的拓展。通過問題串的解答，使學(xué)生對決定中點四邊形形狀的因素更加明了。教師引導(dǎo)學(xué)生對研究的問題歸納總結(jié)。概括出規(guī)律：決定中點四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系。（1） 若對角線相等，則中點四邊形EFGH為菱形；（2） 若對角線互相垂直，則中點四邊形EFGH為矩形；（3） 若對角線既相等，又垂直，則中點四邊形EFGH為正方形；（4） 若對角線既不相

15、等，又不垂直，則中點四邊形EFGH為平行四邊形。BCDAHGFE圖1-8-11 圖1-8-12 圖1-8-13 圖1-8-14這里讓學(xué)生通過歸納，學(xué)會把知識整理成一個系統(tǒng)，也就是我們常要求的：教學(xué)過程貴在讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生真正地“會學(xué)”，既學(xué)法指導(dǎo)。這里正是滲透了這種思想。老師再次利用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生們觀察中點四邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學(xué)們歸納的結(jié)論的正確性，給予學(xué)生們直觀的感受。第四環(huán)節(jié)：學(xué)以致用活動內(nèi)容：（圖形發(fā)散練習(xí)）利用幾何畫板，拖動A點使四邊形ABCD的圖形變化進(jìn)行研究。圖1-8-15 圖1-8-16 圖1-8-17 圖1-8-18活動

16、目的：用動畫的形式讓同學(xué)們觀察四邊形的不斷變化過程中，中點四邊形的變化情況，體會變化中存在的不變的幾何關(guān)系：圖中幾何圖形的位置關(guān)系處在相互依存的狀態(tài)之中，靜態(tài)圖形只是動態(tài)圖形在變化過程中的某一瞬間，意在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，提高學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)新意識。在題目的設(shè)置上，采用逐步遞進(jìn)的策略，其中圖1-8-15是ABCD為凸四邊形，圖1-8-16是AB、 AD在同一線段上，圖1-8-17是ABCD為凹四邊形，圖1-8-18是ABCD為扭曲四邊形?；顒拥淖⒁馐马棧豪脦缀萎嫲逖菔荆瑢W(xué)生們表現(xiàn)出了極大的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生們暢所欲言，互相補充完善，課堂氣氛異常活躍。經(jīng)過師生共同探索，得到結(jié)論：當(dāng)ABC

17、D是上面的圖形時，四邊形EFGH仍為平行四邊形。特別是圖1-8-18，學(xué)生理解有困難，老師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，即四邊形EFGH可以看作四邊形ADBC的邊AD、BC的中點和對角線AB、CD的中點的四邊形，這樣就解決了問題。老師在這一環(huán)節(jié)中，對學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生進(jìn)行個別指導(dǎo)，對學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動內(nèi)容：1本節(jié)課重點學(xué)習(xí)了什么知識，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？2通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？在今后的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該怎么做？活動目的：培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，使學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，總結(jié)研究數(shù)學(xué)問題的一般方法。活動的注意事項：學(xué)生們暢所欲言自己的收獲，比如：有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我掌握了正方形的判定定理，知道了中點四邊形的形狀與原四邊形對角線有關(guān)；有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我了解了類比、轉(zhuǎn)化和歸納概括的數(shù)學(xué)思想，我要把這些運用到平日的學(xué)習(xí)和生活中；還有的學(xué)生說：通過這節(jié)課我發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，我更加喜歡數(shù)學(xué)了；老師對學(xué)生的回答給予充分的肯定和鼓勵。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)必做：1.習(xí)題1.8（1、3）2.用所學(xué)中點四邊形的知識，設(shè)計一個基本圖形，然后在方格紙內(nèi)通過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計。選做：習(xí)題1.8（5）四、教學(xué)設(shè)計反思1.要創(chuàng)造性的使用教材在新教材中，課本只是一個載體，因此，本節(jié)課教