電動力學復習

1、電動力學 復習山東大學物理學院 宗福建1第一章 復習山東大學物理學院 宗福建2 1.1 電荷和電場 1. 庫侖定律庫侖定律 2、定義電場強度電場強度E, F=QE 3、靜電場的散度和旋度、靜電場的散度和旋度山東大學物理學院 宗福建334QQrF 。r31()( )4( )( )( )0 xdVrxxEEE 00 x rx 1.2 電流和磁場電流和磁場 畢奧畢奧-薩伐爾（薩伐爾（Biot-Savart）定律）定律 磁場的散度和旋度磁場的散度和旋度山東大學物理學院 宗福建4( )40VdVJ(x) rB xBBJ003r 1.2 電流和磁場電流和磁場 電荷守恒定律電荷守恒定律 電流連續(xù)性方程電流連

2、續(xù)性方程 微分形式微分形式山東大學物理學院 宗福建50Jt VSddVJ dSdt 真空中的靜電、靜磁場真空中的靜電、靜磁場 電磁感應定律電磁感應定律山東大學物理學院 宗福建600/0 BEBJE 0t BE 位移電流假設位移電流假設山東大學物理學院 宗福建700000()00()0DDDttt BJBJJJJEEJBJ引入位移電流 1.3真空中的真空中的Maxwell方程組方程組山東大學物理學院 宗福建800tt BEEBJEB 00000lslsvsdldtdIdtQdQdvdId BESEBlSESBSJS 000ss山東大學物理學院 宗福建9 1.4 介質中的介質中的Maxwell方程

3、組方程組 1 1、介質的極化、介質的極化宏觀電偶極距分布用電極化強度電極化強度矢量P P描述，它等于物理小體積V 內的總電偶極距與V 之比，式中pi為第i個分子的電偶極距，求和符號表示對V內所有分子求和。 VipP山東大學物理學院 宗福建10 1 1、介質的極化、介質的極化引入電位移矢量電位移矢量D D,定義為 則，0DEPfD山東大學物理學院 宗福建11 1 1、介質的極化、介質的極化實驗指出，各種介質材料有不同的電磁性能，D D和E E的關系也有多種形式。對于一般各向同性線性介質，極化強度P P和E E之間有簡單的線性關系001erre PEDE山東大學物理學院 宗福建12 2 2、介質的

4、磁化、介質的磁化介質磁化后，出現宏觀磁偶極距分布，用磁化強度磁化強度M M表示，它定義為物理小體積V內的總磁偶極距與V之比， VimM山東大學物理學院 宗福建13 2 2、介質的磁化、介質的磁化引入磁場強度磁場強度H H，定義為則， ftBD0HMHJ山東大學物理學院 宗福建14 2 2、介質的磁化、介質的磁化實驗指出，對于各向同性非鐵磁物質，磁化強度M M和H之間有簡單的線性關系 01MrrM MHBH=山東大學物理學院 宗福建15 3、介質中的麥克斯韋方程組介質中的麥克斯韋方程組為 介質方程介質方程為：為：0tt BEDHJDBDEBHJE山東大學物理學院 宗福建16 積分形式：0lSlS

5、SSSVddddtddIddtdQIddQdV ElBSHlDSDSJSBS DEBHJE山東大學物理學院 宗福建17 4 4、法向分量的躍變、法向分量的躍變2121021()fnnPnnfPnnDDPPEEnnBB12山東大學物理學院 宗福建18 5 5、切向分量的躍變、切向分量的躍變212121012()/fttMttfMttttHHMMBBEE山東大學物理學院 宗福建19 矢量形式21212121()0()()()0nEEnHHn DDn BB 1.5 電磁場的能量和動量電磁場的能量和動量 能量守恒能量守恒的積分形式是 相應的微分形式為 電磁場能量密度和能流密度表示式山東大學物理學院 宗

6、福建20,dddVwdVdtSf v.wt Sf v221,11()2wSE BEB000 1.5 電磁場的能量和動量電磁場的能量和動量 動量守恒動量守恒的積分形式是 相應的微分形式為 電磁場動量密度和動量流密度表示式山東大學物理學院 宗福建21,ddTdVdVdtg f.Ttg f02221,1111()2cT gE BSEEBBEB 0000 1、直接給出庫侖定律的數學表達式，寫明其中各個符號的物理意義。并推導出真空中靜電場散度和旋度的公式 。 2、直接給出畢奧-薩伐爾定律的數學表達式，寫明其中各個符號的物理意義，并推導出真空中靜磁場散度和旋度的公式。 3、直接給出法拉第電磁感應定律的積分

7、形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義。山東大學物理學院 宗福建22 4、直接給出真空中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義。 5、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達式。 6、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達式。 7、設想存在孤立磁荷(磁單極子)，試改寫Maxwell方程組，以包括磁荷密度m m和磁流密度J Jm m的貢獻。 山東大學物理學院 宗福建23山東大學物理學院 宗福建248、直接給出介質電極化強度P的定義，并推導公式 9、直接給出介質磁化強度M的定義，并推導公式 10、直接

8、給出介質中麥可斯韋方程組的積分形式和微分形式，寫明其中各個符號的物理意義，并給出反映介質性質的介質方程。11、根據介質中麥可斯韋方程組，推導出介質界面上E、D、B、H的邊值關系。fDtDJH山東大學物理學院 宗福建2512、場和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的積分形式和微分形式，電磁場能量密度和能流密度表達式。13、場和電荷系統(tǒng)的動量守恒定律的積分形式和微分形式，動量密度和動量流密度表達式。 第2章 復習2.1 靜電場的標勢靜電場的標勢真空中Maxwell方程組中，靜電場的方程為：引入：則有：00EE20 E27山東大學物理學院 宗福建2.1 靜電場的標勢為自由電荷密度。 上式是靜電勢滿足的基本微分方

9、程，稱為泊松（泊松（PoissonPoisson）方程方程。 給定邊界條件就可以確定電勢 的解。 20 E28山東大學物理學院 宗福建2.1 靜電場的標勢 可以驗證，電勢 是泊松（Poisson）方程 的一個特解。20 1()( )4dVr。xx29山東大學物理學院 宗福建山東大學物理學院 宗福建30標勢的邊值關系標勢的邊值關系122121nn 山東大學物理學院 宗福建31標勢的邊值關系 兩絕緣介質之間：兩絕緣介質之間： 即， 121212nn0山東大學物理學院 宗福建32標勢的邊值關系 兩導電介質之間：兩導電介質之間： 即， 121212nn12nnJJJE山東大學物理學院 宗福建33標勢的

10、邊值關系 金屬表面：金屬表面： 即， n 常數山東大學物理學院 宗福建34標勢的邊值關系 一邊是導電介質、一邊是絕緣介質：一邊是導電介質、一邊是絕緣介質： 即， 121220nn10nJ山東大學物理學院 宗福建352.2 2.2 唯一性定理唯一性定理1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內靜電場的唯一性可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內靜電場的唯一性可以均勻分區(qū)的區(qū)域V，即V可以分為若干個均勻區(qū)域 Vi ，每一個區(qū)域的介電常數為 i 。設V內有給定的電荷分布 （x）。電勢 在均勻區(qū)域 Vi 內滿足泊松方程在兩區(qū)域 Vi 和 Vj 的分界上滿足邊值關系 2/i ()()ijiijjnnsv123山東大學物理學院

11、宗福建362.2 2.2 唯一性定理唯一性定理唯一性定理：唯一性定理： 設區(qū)域V內給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢 | s 或 （2）電勢的法向導數 /n| s ，則V內的電場唯一確定。也就是說，在V內存在唯一的解，它在每個均勻區(qū)域內滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關系，并在V的邊界S上滿足該給定的或 /n值。山東大學物理學院 宗福建372.2 2.2 唯一性定理唯一性定理 2. 2. 有導體存在時的唯一性定理有導體存在時的唯一性定理 當有導體存在時，由實踐經驗我們知道，為了確定電場，所需條件有兩種類型：一類是給定每個導體上的電勢 i ，另一個是給定每個導體上的總電荷

12、 Qi 。 山東大學物理學院 宗福建382.2 2.2 唯一性定理唯一性定理 設在某區(qū)域V內有一些導體，我們把除去導體內部以后的區(qū)域稱為V ，因而V 的邊界包括界面S以及每個導體的表面 Si 。設V 內有給定電荷分布 ，S上給定|s 或 /n|s值。對上述第一種類型的問題，每個導體上的電勢i 亦給定，即給出了V 所有邊界上的或 /n 值，因而由上一小節(jié)證明了的唯一性定理可知，V 內的電場唯一地被確定。 山東大學物理學院 宗福建392.2 2.2 唯一性定理唯一性定理 對于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下： 設區(qū)域V內由一些導體，給定導體之外的電荷分布，給定各導體上的總電荷 Qi 以及V的邊

13、界S上的或 /n 值，則V內的電場唯一確定。 也就是說，存在唯一的解，它在導體以外滿足泊松方程 2/ 山東大學物理學院 宗福建402.2 2.2 唯一性定理唯一性定理 在第i個導體上滿足總電荷條件 （n為導體面的外法線）和等勢面條件 |s= i=常量 以及在V的邊界S上具有給定的|s 或 /n|s 值。 iiSQdSn2.3 電像法電像法 1、電像法的適用條件電像法的適用條件 我們設想，導體面上的感應電荷對空間中電場的影響用導體內部某個或某幾個假想電荷來代替。注意我們在作這種代換時并沒有改變空間中的電荷分布（在求解電場的區(qū)域，即導體外部空間中仍然是只有一個點電荷Q），因而并不影響泊松方程，問題

14、的關鍵在于能否滿足邊界條件。如果用這代換確實能夠滿足邊界條件，則我們所設想的假想電荷就可以用來代替導體面上的感應電荷分布，從而問題的解可以簡單地表示出來。2.3 電像法 思考題1： 無限大導體上部有一個電偶極矩為P的電偶極子。求電勢、電場分布。2.3 電像法 思考題2： 無限大導體的邊角處有點電荷。求電勢、電場分布。2.3 電像法 思考題2： 無限大導體的邊角處有點電荷。求電勢、電場分布。n12n象電荷數象電荷數2.3 電像法200RbaRQQa 2.3 電像法2.4 分離變量法 對一般情況，設泊松方程的解為： 則， 即： 泊松方程的解為拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解21( )400VxdV

15、r2.4 分離變量法 拉氏方程在球坐標系中的通解為 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 為任意常數，在具體問題中有邊界條件定出。Pnm（cos） 為締和勒讓德（Legendre）函數。 1.1,( , , )()(cos )cos()(cos )sinnmnmnmnnn mnmnmnmnnn mbRa RPmRdc RPmR 2.4 分離變量法分離變量法 若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，則電勢不依賴于方位角，這情形下通解通解為 Pn（cos）為勒讓德函數，an和bn由邊界條件確定。 1()(cos ),nnnnnnba RPR2.4 分離變量法 Pn（cos）為勒

16、讓德函數0011222233332( )1(cos( )1( )(cos( )cos( )11( )(31)(cos( )(3cos ( ) 1)2211( )(53 )(cos( )(5cos ( )3cos( )221( )(1)2!lllllP xPxP xxPxxP xxPxxP xxxPxxxdP xxl dx思考題思考題 1、半徑為R0的介質球置于均勻外電場E0中（真空），求空間電勢和電場分布。取介質球球心處的電勢為零。 2、具有均勻外電場E0的均勻介質中有一個半徑為R0的空洞，求空間電勢和電場分布。 3、半徑為R0的導體球置于均勻外電場E0中（真空），求電勢和導體上的電荷面密度。

17、 4、在均勻外電場E0中置人帶均勻自由電荷 f 的介質球(電容率 0)，求空間各點的電勢和電場分布。取介質球球心處的電勢為零。 山東大學物理學院 宗福建522.6 電勢的多極展開電勢的多極展開 設 f（x x）為 x x 的任一函數，在 x點附近 f（x x）的展開式為 000021()()()!1()()( )!1( )( )( )( ).2!nnf xxxf xnf xxxf xnf xxf xxf x 山東大學物理學院 宗福建532.6 電勢的多極展開電勢的多極展開 211111( ).2!1111 :.2!rRRRRRRxxxx x11()frx-xx-xR x山東大學物理學院 宗福建

18、5420000(0)(1)(2)11111( )( )( ).42!1111( )( ) 44111( ) :.42!( )( )( ).VVVVdVRRRdVdVRRdVRxxxxxx xx x xxxx2.6 電勢的多極展開電勢的多極展開山東大學物理學院 宗福建550(0)(1)(2)( )( ) 3 ( ) 11111( ):.46( )( )( ).VVVQdVdVDdVxQDRRRppxx xx x xxxx2.6 電勢的多極展開電勢的多極展開山東大學物理學院 宗福建56(0)(1)(2)(0)0(1)0(2)0( )( )( )( ).11( )( )411( )( ) 4111(

19、 ):3 ( ) 46VVVxQQdVRdVRDDdVR ppxxxxxxx xxx x x2.6 2.6 電勢的多極展開電勢的多極展開 第三、四章 復習山東大學物理學院 宗福建58 根據矢量分析的定理（附錄.17式）, 若 則 B B 可表為另一矢量的旋度 A A 稱為磁場的矢勢磁場的矢勢。 0BBA第三章第三章 復習復習山東大學物理學院 宗福建59矢勢微分方程矢勢微分方程 把 B = A 代入 得矢勢A的微分方程 0() AJ0BJ山東大學物理學院 宗福建60矢勢微分方程矢勢微分方程 由矢量分析公式（附錄.25式）， 若取A滿足規(guī)范條件 A = 0 ，得矢勢A的微分方程 ,又稱矢勢矢勢A的

20、泊松方程的泊松方程。20(0) AJA2()() AAA山東大學物理學院 宗福建61矢勢微分方程矢勢微分方程 對比靜電勢的解，可得矢勢A的泊松方程式 特解 式中x是源點，x是場點，r為由x 到x的距離。20(0) AJA0( )( )4xdVrJAx山東大學物理學院 宗福建62矢勢的邊值關系 在兩介質分解面上磁場的邊值關系為 磁場邊值關系可以化為矢勢A A的邊值關系。對于非鐵磁介質，矢勢的邊值關系為 2121()()0nHHn BB212121()011() nAAnAA21212111()AAnAA山東大學物理學院 宗福建63矢勢的多級展開矢勢的多級展開 給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場矢勢為

21、 0( )( )4xdVrAJ x山東大學物理學院 宗福建64矢勢的多級展開矢勢的多級展開 如果電流分布于小區(qū)域V內，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A(x)作多級展開。取區(qū)域內某點O為坐標原點，把1/r的展開式得 011111 :.2!1111( )( ) :.42!rRRRxdVRRRxx xAJ xxx x山東大學物理學院 宗福建65矢勢的多級展開矢勢的多級展開 展開式的第一項為(0)0( )( )04xdVRAJ x山東大學物理學院 宗福建66矢勢的多級展開矢勢的多級展開 展開式的第二項為1( )2dVmxJ x(1)003144RR mRAm在一般情況下磁場不能用標勢描述，而需

22、在一般情況下磁場不能用標勢描述，而需要矢勢描述。矢勢描述雖然是普遍的，但要矢勢描述。矢勢描述雖然是普遍的，但解矢勢解矢勢A的邊值問題比較復雜，因此，我們的邊值問題比較復雜，因此，我們考慮在某些條件下是否仍然存在著引入標考慮在某些條件下是否仍然存在著引入標勢的可能性。勢的可能性。 1 1、磁標勢的引入磁標勢的引入 , 0 Ll dH在解決實際問題時，我不考慮整個空在解決實際問題時，我不考慮整個空間中的磁場，而只求某個區(qū)域的磁場。間中的磁場，而只求某個區(qū)域的磁場。如果所有回路都沒有鏈環(huán)著電流，則如果所有回路都沒有鏈環(huán)著電流，則因而在這個區(qū)域內可以引入標勢。因而在這個區(qū)域內可以引入標勢。例如一個圈，

23、如果我們挖去線圈所圍著的一個殼形例如一個圈，如果我們挖去線圈所圍著的一個殼形區(qū)域之后，則剩下的空間區(qū)域之后，則剩下的空間V中任一閉合回路都不鏈中任一閉合回路都不鏈環(huán)著電流（如圖）。因此，在除去這個殼形區(qū)域之環(huán)著電流（如圖）。因此，在除去這個殼形區(qū)域之后，在空間中就可以引入磁標勢來描述磁場后，在空間中就可以引入磁標勢來描述磁場.在在J=0區(qū)域內，區(qū)域內， 所滿足的微分方程所滿足的微分方程0/ mH 0 H靜電場微分方程靜電場微分方程0/ )( pfE 0 EmH 用磁標勢法時，用磁標勢法時，H和電場中的和電場中的E相對應。相對應。 由此，可以由此，可以引入磁標勢引入磁標勢 m，使，使磁標勢的邊值

24、關系2121()()0nHHn BB2121fttnnHHBB磁標勢的邊值關系2121fttnnHHBB112212mmmmHH臨界溫度：臨界溫度：圖示是圖示是汞樣品的電阻隨溫汞樣品的電阻隨溫度變化關系。我們度變化關系。我們可以看到當溫度可以看到當溫度4.2K以下時，電阻以下時，電阻突然下降為零。這突然下降為零。這種電阻率為零的性種電阻率為零的性質稱為超導電性。質稱為超導電性。開始出現超導電性開始出現超導電性的溫度稱為臨界溫的溫度稱為臨界溫度度Tc，不同材料有，不同材料有不同的臨界溫度不同的臨界溫度Tc。 T/KT/K 4.004.00 4.204.20 4.304.30 4.404.40 4

25、.104.10 0.150.15 0.100.10 0.050.05 R R/ / （1）超導電性超導電性當物體處于超導當物體處于超導狀態(tài)時，若加上狀態(tài)時，若加上磁場，當磁場強磁場，當磁場強度增大到某一臨度增大到某一臨界值界值Hc時，超導時，超導性被破壞，超導性被破壞，超導體由超導態(tài)轉變體由超導態(tài)轉變?yōu)檎B(tài)。為正常態(tài)。Hc與與溫度有關。溫度有關。 T Tc c HHc c T T HH0 0 正常相正常相 超導相超導相 201)0()(ccTTHTH（2）臨界磁場臨界磁場當材料處于超導狀態(tài)時，當材料處于超導狀態(tài)時，隨著進入超導體內部深隨著進入超導體內部深度的增加磁場迅速衰減，度的增加磁場迅速

26、衰減，磁場主要存在于導體表磁場主要存在于導體表面的薄層內。對宏觀超面的薄層內。對宏觀超導體，可把這個厚度看導體，可把這個厚度看成是零。近似認為超導成是零。近似認為超導體內部的磁感應強度體內部的磁感應強度B0。（3）邁斯納效應邁斯納效應（ Meissner ）超導體具有完全抗磁超導體具有完全抗磁性稱之為性稱之為理想邁斯納理想邁斯納態(tài)態(tài)不能理想化的狀態(tài)稱不能理想化的狀態(tài)稱為為一般邁斯納態(tài)一般邁斯納態(tài)。（3）邁斯納效應（）邁斯納效應（ Meissner ）1. 如果物理初始處于超如果物理初始處于超導狀態(tài)，當外加磁場時，導狀態(tài)，當外加磁場時，只要磁場不超過臨界值只要磁場不超過臨界值Hc，磁場，磁場B不

27、能進入超不能進入超導體內。導體內。2. 若把正常態(tài)物體放若把正常態(tài)物體放入磁場內，當溫度下入磁場內，當溫度下降使物體轉變?yōu)槌瑢Ы凳刮矬w轉變?yōu)槌瑢w時，磁場體時，磁場B被排出超被排出超導體外。導體外。超導體的抗磁性與超導體所經過的歷史無關超導體的抗磁性與超導體所經過的歷史無關超導體內的電流超過某個臨界值，超導體內的電流超過某個臨界值，超導體變成正常態(tài)。對應于：超過超導體變成正常態(tài)。對應于：超過這個臨界值的電流產生超過臨界值這個臨界值的電流產生超過臨界值的磁場。的磁場。（4）臨界電流臨界電流第一類超導體第一類超導體：元素超導體多屬于此。存在一個臨界磁：元素超導體多屬于此。存在一個臨界磁場。場。第二

28、類超導體第二類超導體：合金和化合物多屬于此。存在兩個臨界：合金和化合物多屬于此。存在兩個臨界磁場。在小臨界值以下，磁場完全被排出。在兩臨界值磁場。在小臨界值以下，磁場完全被排出。在兩臨界值之間，磁場以量子化磁通線的形式進入樣品中，使之處之間，磁場以量子化磁通線的形式進入樣品中，使之處于正常態(tài)和超導態(tài)的混合態(tài)，每一條磁通線穿過的線長于正常態(tài)和超導態(tài)的混合態(tài)，每一條磁通線穿過的線長區(qū)域處于正常態(tài)，其余區(qū)域處于超導態(tài)。每一條磁通線區(qū)域處于正常態(tài)，其余區(qū)域處于超導態(tài)。每一條磁通線的磁通量為一個磁通量子。磁通線整條產生與湮滅。隨的磁通量為一個磁通量子。磁通線整條產生與湮滅。隨外磁場增大，穿過樣品內部的磁

29、通線逐漸增多，正常相外磁場增大，穿過樣品內部的磁通線逐漸增多，正常相區(qū)域逐漸擴大。在上臨界值以上，無表面超導相的樣品區(qū)域逐漸擴大。在上臨界值以上，無表面超導相的樣品整個轉變?yōu)檎B(tài)。此類超導具有較高的臨界溫度、臨整個轉變?yōu)檎B(tài)。此類超導具有較高的臨界溫度、臨界磁場、通過較大的超導電流，故應用價值相應較大。界磁場、通過較大的超導電流，故應用價值相應較大。（5）第一類和第二類超導體）第一類和第二類超導體實驗發(fā)現，第一類復連通超導體，如超實驗發(fā)現，第一類復連通超導體，如超導環(huán)、空心超導圓柱體，單連通和復連導環(huán)、空心超導圓柱體，單連通和復連通的第二類超導體，磁通量只能是基本通的第二類超導體，磁通量只

30、能是基本值值 0=h/2e=2.0710-15Wb的整數倍的整數倍。 0稱為磁通量子，稱為磁通量子，h為普朗克常數，為普朗克常數，e為電為電子電荷的值。子電荷的值。（6）磁通量子化磁通量子化第四章 復習 1. 電磁場波動方程電磁場波動方程 (真空中真空中) 令 得 002222222211010cctct EEBB上一講復習 此即為波動方程。此即為波動方程。由其解可知電磁場具有波動性，電磁場的能量可以從一點轉移到另一點。即脫離電荷、電流而獨立存在的自由電磁場總是以波動形式運動著。在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁波，如無線電波、光波、X射線和射線等）都以速度C傳播，C就是最基本的物理

31、常量之一，即光速。222222221010ctctEEBB上一講復習 2. 時諧電磁波時諧電磁波 研究時諧情形下的麥氏方程組諧情形下的麥氏方程組。在一定頻率下，有 D = E , B = H , 消去共同因子 eit 后得 00ii EHHEEH( , )( )( , )( )( , )( )( , )( )i ti ti ti tx tx ex tx ex tx ex tx eEEBBDDHH上一講復習 2. 時諧電磁波時諧電磁波 在 0 的時諧電磁波情形下這組方程不是獨立的。取第一式的散度，由于 （ E ） = 0 ，因而 H = 0 ，即得第四式。同樣，由的二式可導出第三式。因此，在一定

32、頻率下，只有第一、第二式是獨立的，其他兩式可由以上兩式導出。 上一講復習 2. 時諧電磁波時諧電磁波 亥姆霍茲（亥姆霍茲（Helmholtz)Helmholtz)方程方程220()0kkiik EEEBEE上一講復習 2. 時諧電磁波時諧電磁波 亥姆霍茲（亥姆霍茲（Helmholtz)Helmholtz)方程方程 類似地，亦可以把麥質方程組在一定頻率下化為 220()0kkiikBBBEBB上一講復習 3. 平面電磁波平面電磁波 任意傳播方向的平面電磁波 在一般坐標系下平面電磁波的表示式是 式中k k是沿電磁波傳播方向的一個矢量，其量值為 |k k| = （）1/2 。在特殊坐標系下，當 k

33、k 的方向取為x軸時，有 k k x x = k x ()0( , )itte k xEEx上一講復習 3. 平面電磁波平面電磁波 E E、B B和k k是三個各互相正交的矢量。E E和B B同相，振幅比為 在真空中，平面電磁波的電場與磁場比值為 1vEB001c EB上一講復習 3. 平面電磁波平面電磁波 概括平面波的特性平面波的特性如下： （1）電磁波為橫波，E E和B B都與傳播方向垂直，TEM波波； （2）E E和B B互相垂直，E EB B沿波矢k k方向； （3）E E和B B同相，振幅比為 。上一講復習 4. 電磁波的能量和能流電磁波的能量和能流w和S S都是隨時間迅速脈動的量，

34、實際上我們只需要用到它們的時間平均值。220020112211Re(*)22wEBESEHn上一講復習 5. 反射和折射定律反射和折射定律 時諧情形下的麥克斯韋方程組的積分形式應用到邊界上,并考錄到在絕緣介質界面上， = 0 , = 0。 在一定頻率情形下，麥氏方程組不是完全獨立的，由第一、二式可導出其他兩式。與此相應，邊值關系也不是完全獨立的。因此，在討論時諧電磁波時，介質界面上的邊值關系只需考慮以下兩式：2121()0()0nEEnHH上一講復習 5. 反射和折射定律反射和折射定律 兩邊同時進行頻譜分析，得必然有： 即，入射、反射和折射光的頻率相等入射、反射和折射光的頻率相等。()( )0

35、0( )0()itititeeeEEEk x-k x-k x-nn上一講復習 5. 反射和折射定律反射和折射定律 由于 x 和 y 是任意的，它們的系數應各自相等， 取入射波矢在 xz 平面上，有 ky = 0，由上式 ky 和 ky“ 亦為零。 因此，入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上入射波矢、反射波矢和折射波矢都在同一平面上。xxxyyykkkkkk上一講復習 5. 反射和折射定律反射和折射定律 這就是我們熟知的反射定律和折射定律反射定律和折射定律 對電磁波來說， = 1/()1/2，因此：n21為介質2相對與介質1的折射率。 12sinsinvv2212121 1sinsinvn

36、v 上一講復習 6. 6. 振幅關系振幅關系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式 （1）E E垂直入射面 利用反射定律和折射定律得 1212112coscossin()sin()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 上一講復習 6. 6. 振幅關系振幅關系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式 （2）E E平行入射面 利用反射定律和折射定律得()()2cossinsin()cos()EtgEtgEE上一講復習 6. 6. 振幅關系振幅關系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式 在 + = 90的特殊情況

37、下，E E平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射光變?yōu)榇怪比肷涿嫫竦耐耆窆猓@時光學中的布儒斯特（布儒斯特（BrewsterBrewster）定律）定律，這情形下的入射角為布儒斯特角布儒斯特角。 ()()2cos sinsin()cos()EtgEtgEE上一講復習 6. 6. 振幅關系振幅關系 菲涅耳（菲涅耳（FresnelFresnel）公式）公式 菲涅耳公式同時也給出入射波、反射波和折射波的相位關系。在E E垂直入射的情形，因為當2 1時 ，因此E /E為負數，即反射波電場于入射波電場反相，這現象稱為反射過程中的半波損失反射過程中的半波損失。 1212112coscossin()s

38、in()coscos2cos2cos sinsin()coscosEEEE 上一講復習 7. 7. 全反射全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E E垂直入射面情形， 2221222212221cossin,cossinsincosiinEeEinntg上一講復習 7. 7. 全反射全反射 可以求出反射波和折射波的振幅和相位。例如在E E平行入射面情形， 22221212222121cossincossiniEnineEnin上一講復習一導體內的自由電荷分布導體內的自由電荷分布 上式表示當導體某處有電荷密度出現時，就有電流從該處向外流出。從物理上看這是很明顯的。因為假如某區(qū)域有電荷

39、積聚的話，電荷之間相互排斥，必然引起向外發(fā)散的電流。由于電荷外流，每一體元內的電荷密度減小。的變化率由電荷守恒定律確定:t J =上一講復習一導體內的自由電荷分布解此方程得由上式，電荷密度隨時間指數衰減，衰減的特征時間（值減小到0/e 的時間）為 0( )ttte J =上一講復習一導體內的自由電荷分布 良導體條件良導體條件: : 只要電磁波的頻率滿足 1，因而k2的實部可以忽略 22kikii上一講復習四、四、趨膚效應和穿透深度趨膚效應和穿透深度波幅降至原值1/e的傳播距離稱為穿透深度穿透深度。由上式 ()02zizteeEE12上一講復習五、導體表面上的反射五、導體表面上的反射反射系數R定

40、義為反射能流與入射能流值比。由上式得 20202021121 2211ERE 由上式可見，電導率愈高，則反射系數愈接近于1。 上一講復習 1、只要電磁波頻率不太高，一般金屬導體都可以看作良導體。良導體內部沒有自由電荷分布，電荷只能分布于導體表面上。 2、導體中電磁波的表示式為 波矢量k k的實部描述波的傳播的相位關系，虛部描述波幅的衰減。稱為相位常數，稱為衰減常數。 ()0( , )itx tee x xEE上一講復習 3、對于高頻電磁波，電磁場以及和它相互作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內，這種現象稱為趨膚效應。 4、對于微波或無線電波，反射系數接近于1，只有很小一部分電磁能量透入導體內部

41、而被吸收掉，絕大部分能量被反射出去。因此，在微波或無線電波情形下，往往可以把金屬近似地看作理想導體，其反射系數接近于1。 4.4 波導管、諧振腔 二、二、理想導體邊界條件理想導體邊界條件 理想導體界面邊界條件可以形象地表述為，理想導體界面邊界條件可以形象地表述為，在導體表面上，電場線與界面正交，磁感應線與界面相切。我們可以應用這個規(guī)則來分析邊值問題中的電磁波圖像。 0nEnH0n Dn B4.4 波導管、諧振腔 二、理想導體邊界條件二、理想導體邊界條件 在邊界面上，若取x，y 軸在切面上，z 軸沿法線方向，由于該處E Ex = E Ey = 0，因此方程 E E = 0 在靠近邊界上為 Ez/

42、z = 0 ，即 0nEn4.4 波導管、諧振腔 三、諧振腔三、諧振腔 對每一組（m，n，p）值，由兩個獨立的波模。諧振頻率mnp稱為諧振腔的本征頻率諧振腔的本征頻率。 222123()()()mnpmnpLLL4.4 波導管、諧振腔 三、諧振腔三、諧振腔 若m，n，p中有兩個為零，則場強E E = 0。若L1 L2 L3，則最低頻率的諧振波模為（1，1，0），其諧振腔頻率為 相應的電磁波波長為 11022121112fLL1102212211LL4.4 波導管、諧振腔 五、矩形波導中的電磁波五、矩形波導中的電磁波 2 2、結果分析及物理意義、結果分析及物理意義 橫磁波橫磁波 橫電波橫電波 對

43、一定的（m，n），如果選取適當的A1,A2,使Hz = 0，則該波模的A1/A2 = kx/ky 就完全確定，對Hz = 0的波模， Ez 0 。通常選波模為Hz = 0的波，稱橫磁波（TM）。 4.4 波導管、諧振腔 五、矩形波導中的電磁波五、矩形波導中的電磁波 2 2、結果分析及物理意義、結果分析及物理意義因此，在波導內傳播的波模有如下特點；電場E E和磁場H H不能同時為橫波。4.4 波導管、諧振腔 六、六、截止頻率截止頻率 若激發(fā)頻率降低到k b，則TE10波有最低截止頻率若管內為真空，此最低截止頻率為c/2a，相應的截止波長為 ,101122Ca,102Ca第五、六章第五、六章 復習

44、復習 山東大學物理學院 宗福建126第五章 電磁輻射 5.1 訊變電磁場的矢勢和標勢訊變電磁場的矢勢和標勢00tt BBEEEBJ 00022022222202111(0)tctctct BAAEAAJA返回山東大學物理學院 宗福建127第五章 電磁輻射 5.1 訊變電磁場的矢勢和標勢訊變電磁場的矢勢和標勢 達郎貝爾方程達郎貝爾方程 推遲勢解推遲勢解22022222202111(0)ctctct AAJA00(,)1( , )4(,)( , )4rtctdVrrtcx tdVrJAxxx返回上一頁山東大學物理學院 宗福建128第五章 電磁輻射5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場諧變勢的多極展

45、開及電偶極輻射場 1. 計算輻射場的一般公式計算輻射場的一般公式 當交變電流分布給定時,計算輻射場的基礎是推遲勢公式若電流J是一定頻率的交變電流,有則0(,)( , )4rtcx tdVrJAx( , )( )i tteJ xJ x()000( )( , )4( )( )44ritcirikrci ti tetdVreedV edV errJ xA xJ xJ x返回上一頁山東大學物理學院 宗福建129第五章 電磁輻射 5.1 諧變勢的多極展開及電偶極輻射場諧變勢的多極展開及電偶極輻射場 1. 計算輻射場的一般公式計算輻射場的一般公式 因子eikr是推遲作用因子,它表示電磁波傳至場點時有相位滯

46、后kr。 0( , )( )( )( )4i tikrteedVkrcA xA xJ xA x返回上一頁山東大學物理學院 宗福建130第五章 電磁輻射2. 2. 矢勢的展開式矢勢的展開式 選坐標原點在電荷分布區(qū)域內，則|x|的數量級為l。以R表示由原點到場點x x的距（R =|x x|），r為由原點x x 到x x的距離。有, n n為沿R R方向的單位矢量。,rRxn返回上一頁山東大學物理學院 宗福建131第五章 電磁輻射 2. 2. 矢勢的展開式矢勢的展開式 把A對小參數x/R 和x/展開在計算遠場時，只保留1/R的最低次項，而對x/的展開則保留各級項。我們會看到，展開式中各項對應于各級電

47、磁多極輻射。 ()0()( )4ikxexdVR RAnJ xn x0( )()(1.)4ikRexikdVRAJ xn x返回上一頁山東大學物理學院 宗福建132第五章 電磁輻射 3.3.電偶極輻射電偶極輻射 研究展開式的第一項00( )()44ikRikReexdVRRApJ x0301,44ikRikRikeeRc R BApp nn20()4ikRiceckc REBB np nn返回山東大學物理學院 宗福建133第五章 電磁輻射1、對靜電場，為什么能引入標勢 ，并推導出的泊松方程。給出的解析解。2、給出靜磁場矢勢A的物理意義，由矢勢A可以確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A，

48、試證明對矢勢A可加輔助條件：A的散度為0，并推導出矢勢A滿足的微分方程。給出A的解析解。3、根據麥可斯韋方程組，推導滿足洛倫茲規(guī)范的達郎貝爾方程。給出A和的推遲勢解。利用電荷守恒定律，驗證A和的推遲勢滿足洛倫茲條件。4、推遲勢的物理意義？返回山東大學物理學院 宗福建134第六章 狹義相對論相對論的實驗基礎相對論的實驗基礎：在總結新的實驗事實之后，愛因斯坦（Einstein）提出了兩條相對論兩條相對論的基本假設的基本假設： （1）相對性原理相對性原理 所有慣性參考系都是等價的。物理規(guī)律對于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學現象，還是電磁現象，或其他現象，都無法覺察出所處參考系

49、的任何“絕對運動”。相對性原理是被大量事實所精確檢驗過的物理學基本原理。（2）光速不變原理光速不變原理 真空中的光速相對于任何慣性系沿任意方向恒為c，并與光源運動無關。返回山東大學物理學院 宗福建135第六章 狹義相對論 洛倫茲變換洛倫茲變換：22222222221111xvtxvtxxvvccyyyyzzzzvvtxtxccttvvcc返回上一頁山東大學物理學院 宗福建136第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ： 1 1、洛倫茲變換下、洛倫茲變換下間隔不變性間隔不變性 S2=c2t2-x2-y2-z2=c2t2-r2 事件P相對與事件O的時空關系可作如下的絕對分類： （1）

50、類光間隔 s2=0， （2）類時間隔 s20，（a）絕對未來，即P在O的上半光錐內；（b）絕對過去，即P在O的下半光錐內； （3）類空間隔s20，P與O絕對異地。 返回山東大學物理學院 宗福建137第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ：類時間隔，絕對未來類光間隔類空間隔類時間隔，絕對過去返回上一頁山東大學物理學院 宗福建138第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ： 2. 2. 因果律和相互作用的最大傳播速度因果律和相互作用的最大傳播速度 若事件P在O上半光錐內（包括錐面），則對任何慣性系P保持在O得上半光錐內，即P為O的絕對未來。這種間隔的特點是P與O可用光

51、波或低于光速的作用相聯系。因此，如果不存在超光速的相互作用，這樣O與P的先后次序在各參考系中相同，因而因果關系是絕對的。返回上一頁山東大學物理學院 宗福建139第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ： 3. 3. 同時相對性同時相對性 具有類空間隔的兩事件，由于不可能發(fā)生因果關系，其事件次序的先后或者同時，都沒有絕對意義，因不同參考系而不同。 在不同地點同時發(fā)生的兩事件不可能有因果關系，因此同時概念必然是相對的。 若兩事件對同時，即t2 =t1，則一般而言，t2 t1，即對不同時。返回上一頁山東大學物理學院 宗福建140第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ：4

52、. 4. 運動尺度的縮短運動尺度的縮短5. 5. 運動時鐘的延緩運動時鐘的延緩2021vllc221tvct 返回上一頁山東大學物理學院 宗福建141第六章 狹義相對論 6.2 相對論時空觀相對論時空觀 ：6. 6. 速度變換公式速度變換公式2222222222222211,11111,111yzxxyzxxxyzxxyzxxxuuuccuuuuuucccuuuccuuuuuuccc 返回上一頁山東大學物理學院 宗福建142第六章 狹義相對論 6.3 相相對論理論四維的形式對論理論四維的形式沿沿x x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為2200010000100

53、01,1xixyyzzictiictvcvc其中返回山東大學物理學院 宗福建143第六章 狹義相對論 6.3 相對論理論四維的形式相對論理論四維的形式逆變換矩陣為逆變換矩陣為220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中返回上一頁山東大學物理學院 宗福建144第六章 狹義相對論 6.3 相對論理論四維的形式相對論理論四維的形式 四維標量四維標量 例如間隔 為洛倫茲標量。 固有時 也是洛倫茲標量。 2dsdx dx d返回上一頁山東大學物理學院 宗福建145第六章 狹義相對論 6.3 相對論理論四維的形式相對論理論四維的形式四維速度矢量四維速度矢量因為所以四維速度的分

54、量是dxUd221,1udtduc123( ,)( ,)uUu u u icicv返回上一頁山東大學物理學院 宗福建146第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 四維電流密度矢量四維電流密度矢量 電荷守恒定律電荷守恒定律 用四維形式表示為四維形式表示為0( ,)JUic J0tJ0Jx返回山東大學物理學院 宗福建147第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 四維勢矢量四維勢矢量洛倫茲規(guī)范條件可以用四維形式表示為洛倫茲規(guī)范條件可以用四維形式表示為( ,)iAc A0Ax返回上一頁山東大學物理學院 宗福建148第六章 狹義相對論

55、6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 達郎貝爾方程22022222202111(0)ctctct AAAJ返回上一頁山東大學物理學院 宗福建149第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 四維形式的達郎貝爾方程可以表示為四維形式的達郎貝爾方程可以表示為0222(0)1AJAxxxct 2其中：返回上一頁山東大學物理學院 宗福建150第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 引入一個反對稱四維張量 電磁場構成一個四維張量四維張量電磁場張量電磁場張量 AAFxx3213122131230000iBBEciBBEcFiB

56、BEciiiEEEccc返回上一頁山東大學物理學院 宗福建151第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 用電磁場張量可以把麥克斯韋方程組寫為明顯的協變形式。方程組中的一對方程 可以合寫為可以合寫為0000t EEBJ0FxJ返回上一頁山東大學物理學院 宗福建152第六章 狹義相對論6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 另一對方程可以合寫為可以合寫為0t BBE0FFFxxx返回上一頁山東大學物理學院 宗福建153第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 導出電磁場的變換關系電磁場的變換關系 11112232232

57、3323322()()()()BBEEvEEvBBBEcEEvBvBBEc返回上一頁山東大學物理學院 宗福建154第六章 狹義相對論 6.4 電動力學的相對論不變性電動力學的相對論不變性 導出電磁場的逆變換關系電磁場的逆變換關系 111122322323323322()()()()BBEEvEEvBBBEcEEvBvBBEc返回上一頁山東大學物理學院 宗福建155第六章 狹義相對論 6.5 相對論力學方程 利用四維速度矢量 可以定義四維動量矢量四維動量矢量 這四維矢量的空間分量和時間分量是 ( ,)dxdxUicddtv0pm U200040222211mm cimpic mcccp返回山東大

58、學物理學院 宗福建156第六章 狹義相對論四維矢量p 稱為動量-能量四維矢量，或簡稱四維動量。由p p可構成不變量可構成不變量在物體靜止系內，p p=0，W=m0c2因而不變量為 m0c2。因此 0( ,)ipm UWc p222Wp pcp不變量22224222400Wp cm cWp cm c返回上一頁山東大學物理學院 宗福建157第六章 狹義相對論 物體的靜止質量m0和靜止能量W0的關系,稱為質質能關系式能關系式。 靜止能量的存在是相對論最重要的推論之一。它指出靜止粒子內部仍然存在著運動。一定質量的粒子具有一定的內部運動能量。反過來，帶有一定內部運動能量的粒子就表現出有一定的慣性質量。

59、200Wm c返回上一頁山東大學物理學院 宗福建158第六章 狹義相對論引入則， 用這種表示方法時，動量形式上和非相對論的公式一樣 ，但現在m不是一個不變量，而是一個隨運動增大的量。m可以看作一種等效質量，稱為“運動質量”，而不變量m0稱為靜止質量。022,1mmvc2mvWmcp返回上一頁山東大學物理學院 宗福建159第六章 狹義相對論 動量和能量構成四維矢量p。如果用固有時d量度動量-能量變化率，則 是一個四維矢量。因此，如果外界對物體的作用力可以用一個四維力矢量四維力矢量K K描述，則力學基本方程可寫為協變性式 ddp(,)didcpKKK v返回上一頁山東大學物理學院 宗福建160第六章 狹義相對論若定義力為 則相對論力學方程可以寫為 ， 第一式表示力F F 等于動量變化率，第二式表示F F 所作的功率等于能量的變化率，兩式形式上和非相對論力學方程一致。