隨機過程蒙特卡羅法的原理和應(yīng)用

1、隨機過程期末論文姓名：韓江平 學(xué)號：12015001107 專業(yè)：物理電子蒙特卡羅計算方法基本簡介：蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀(jì)四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。是指使用隨機數(shù)（或更常見的偽隨機數(shù)）來解決很多計算問題的方法?？捎糜诟鞣N非線性系統(tǒng)的分析與仿真，由于計算量大和需要產(chǎn)生大量隨機數(shù)，一般都會使用計算機進行大量模擬仿真?；舅枷耄寒?dāng)所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)是的

2、量時，通過某種"實驗"的方法，得到該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值。以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。1、工作過程蒙特卡羅方法的解題過程可以歸結(jié)為三個主要步驟:構(gòu)造或描述概率過程;實現(xiàn)從已知概率分布抽樣;建立各種估計量。(1)構(gòu)造或描述概率過程對于本身就具有隨機性質(zhì)的問題，如粒子輸運問題，主要是正確描述和模擬這個概率過程，對于本來不是隨機性質(zhì)的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機性質(zhì)的問

3、題。(2) 實現(xiàn)從已知概率分布抽樣 構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機變量(或隨機向量)，就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是(0，1)上的均勻分布(或稱矩形分布)。隨機數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機變量。隨機數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機數(shù)的問題，就是從這個分布的抽樣問題。在計算機上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學(xué)遞推公式產(chǎn)生。這

4、樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機數(shù)，或偽隨機數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機數(shù)，或隨機數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用。由已知分布隨機抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些方法都是借助于隨機序列來實現(xiàn)的，也就是說，都是以產(chǎn)生隨機數(shù)為前提的。由此可見，隨機數(shù)是我們實現(xiàn)蒙特卡羅模擬的基本工具。(3)建立各種估計量一般說來，構(gòu)造了概率模型并能從中抽樣后，即實現(xiàn)模擬實驗后，我們就要確定一個隨機變量，作為所要求的問題的解，我們稱它為無偏估計。建立各種估計量，相當(dāng)于對模擬實驗的結(jié)果進行考察和登記，從中得到問題的解2、 應(yīng)用領(lǐng)域蒙特

5、卡羅方法在金融工程學(xué)，宏觀經(jīng)濟學(xué)，生物醫(yī)學(xué)，計算物理學(xué)(如粒子輸運計算、量子熱力學(xué)計算、空氣動力學(xué)計算、核工程)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，隨著電子計算機的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)問題的日趨復(fù)雜，蒙特卡羅方法的應(yīng)用也越來越廣泛。它不僅較好地解決了多重積分計算、微分方程求解、積分方程求解、特征值計算和非線性方程組求解等高難度和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算問題，而且在統(tǒng)計物理、核物理、真空技術(shù)、系統(tǒng)科學(xué) 、信息科學(xué)、公用事業(yè)、地質(zhì)、醫(yī)學(xué)，可靠性及計算機科學(xué)等廣泛的領(lǐng)域都得到成功的應(yīng)用。3、 方法優(yōu)缺點蒙特卡羅法在具體的工作中主要由兩部分構(gòu)成：第一部分是需要產(chǎn)生某一概率分布的隨機變量。第二部分是用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計

6、出來，從而得到實際問題的數(shù)值解。優(yōu)點：1、能夠比較逼真的描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。2、 受幾何條件限制小。3、 收斂速度與問題的維度無關(guān)。4、 具有同時計算多個方案和多個未知數(shù)所求量的能力。5、 誤差容易確定。6、 程序結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)。缺點：1、收斂速度慢。2、 誤差具有概率性。3、 在粒子輸運過程中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。具體應(yīng)用 由于蒙特卡羅法是用于隨機輸入非線性系統(tǒng)性能的統(tǒng)計分析。因此是一種概率統(tǒng)計，接下來具體介紹一下我所了解的幾種蒙特卡羅法的具體應(yīng)用。1、 求解不規(guī)則圖形的面積在求解一些非線性方程在某一區(qū)間的積分的時候，也即求解該方程與坐標(biāo)軸所圍成的面積的時候，

7、往往無法求解，而蒙特卡羅法則可以很好地解決這個問題，此方法需要大量的產(chǎn)生隨機數(shù)。首先，用一個標(biāo)準(zhǔn)矩形將所求的不規(guī)則圖形包含住，假設(shè)矩形面積為A，離原點最遠點坐標(biāo)為(m，n)此時用計算機產(chǎn)生大量的隨機坐標(biāo)(s，t)，0<s<m,0<t<n。然后進行統(tǒng)計，得到所給坐標(biāo)中在不規(guī)則圖形內(nèi)的坐標(biāo)數(shù)量為，產(chǎn)生的總的坐標(biāo)數(shù)為。當(dāng)足夠大的時候，可以近似得到不規(guī)則圖形面積為A。2、復(fù)雜武器系統(tǒng)仿真分析：在復(fù)雜武器系統(tǒng)研制的后階段，需要進行以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型作為基礎(chǔ)進行系統(tǒng)性能分析。為了使結(jié)果具有可信度，需要在其中包含非線性影響和隨機作用，非線性影響包括有固有物理規(guī)律的非線性、金屬構(gòu)件的非線

8、性和自身結(jié)構(gòu)的非線性；而隨機作用包含噪聲、傳感器測量誤差、隨機輸入和隨機初始條件。而由于此系統(tǒng)的非線性，使用理論的分析方法是不適用的，所以就需要利用蒙特卡羅法來進行非線性系統(tǒng)的仿真：利用給出的非線性模型，施加不同的隨機選擇初始條件和變量，進行大量的計算機仿真，來得到仿真結(jié)果的集合。蒙特卡羅法在用于對系統(tǒng)的性能估計上是很方便的，但是在研究設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響上，由于需要消耗大量的計算機時間，蒙特卡羅法并不方便。在此應(yīng)用中，需要確定系統(tǒng)對有限數(shù)量的初始條件和隨機噪聲輸入函數(shù)的響應(yīng)。因此，蒙特卡羅分析所要求的信息包括系統(tǒng)的模型、初始條件統(tǒng)計和隨機輸入統(tǒng)計量。1、系統(tǒng)模型蒙特卡羅法所依據(jù)的系統(tǒng)模型

9、由狀態(tài)方程形式給出X(t)=f(X,t)+G(t)W(t)假定系統(tǒng)狀態(tài)變量為正態(tài)分布，給定初始狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差為EX(0)=m0E(X(0)-m0)(X(0)-m0)T=P01、 N次獨立模擬計算所謂N次獨立模擬計算指的是以下過程：（1） 按照給定的統(tǒng)計值m0，產(chǎn)生用隨機數(shù)作為初始的隨機狀態(tài)矢量X（0）。（2） 根據(jù)給定隨機輸入的均值b（t）及譜密度矩陣Q（t）來產(chǎn)生偽隨機數(shù)，作為隨機輸入噪聲。（3） 對狀態(tài)方程進行數(shù)值積分，從t=0到系統(tǒng)的終端時刻t=tF為止。蒙特卡羅法的原理由下圖說明3、 狀態(tài)矢量的均值和協(xié)方差估值的計算進行N次獨立模擬計算之后，得到一組狀態(tài)軌跡，記為：X(1)t，

10、X(1),W(1)(T)X(2)t，X(2),W(2)(T).X(N)t，X(N),W(N)(T) 應(yīng)用總體平均的方法求出狀態(tài)矢量X（t）的均值和協(xié)方差的估值如下：4、 估計值的精度評定 作為參數(shù)，需要指出近似值的精度才行，應(yīng)該指出，估值和也是隨機變量，當(dāng)樣本容量足夠大時，近似得到E()=mE()=()=/ 換句話說，對于大的N值，樣本平均值服從正態(tài)分布N(m，/)，樣本均方差服從正態(tài)分布N(m，/),因此有P(|-m|/)=0.6827P(|-m|2/)=0.9545P(|-m|3/)=0.9973將上式稍加變化，對于大N值，可用估值近似代替式中真值，得到P(-/m+/)=0.6827P(-

11、2/m+2/)=0.9545P(-3/m+3/)=0。9973由此得到了狀態(tài)變量均值m的區(qū)間估計，也就是給出了樣本平均值的精確度，這可以敘述如下：區(qū)間-2/,+2/能包含狀態(tài)變量均值m的概率是0.9545，稱該區(qū)間為均值估值置信概率為0.9545的置信區(qū)間，其他兩個式子可作類似解釋。 類似的，對均方根估值有P(-/+/)=0.6827P(-2/+2/)=0.9545P(-3/+3/)=0.9973通常，N>25才可近似作為大樣本，采用上述的參數(shù)估計方法。以上為在復(fù)雜武器系統(tǒng)后期進行非線性系統(tǒng)的模擬仿真，通過蒙特卡羅法來得到系統(tǒng)性能的分析，來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面。3、蒙特卡羅法模擬光子和

12、電子(Na(Tl)晶體對光子響應(yīng)函數(shù)計算光子和電子的耦合輸運) 確定Na(Tl)晶體對光子的響應(yīng)函數(shù)是光子光譜學(xué)中的一個重要問題，為了把實驗測得的多能光子脈沖高度譜分解成單色光子脈沖高度譜，需要把Na(Tl)晶體對光子的響應(yīng)函數(shù)進行刻度。 由于光子和探測器內(nèi)物質(zhì)發(fā)生反應(yīng)后，產(chǎn)生次級光子和電子，而電子和正電子在運輸過程中又會產(chǎn)生光子，這種光子和電子耦合運輸過程是非常復(fù)雜的，用一般數(shù)值方法難以解決，蒙特卡羅法能夠在較少近似的情況下，真實的模擬這種復(fù)雜的物理過程，因而該方法成為計算此類問題的有效工具。蒙特卡羅法模擬光子和電子的步驟使用蒙特卡羅法模擬初始光子及其所有次級光子和電子的軌道，計算相應(yīng)函數(shù)，

13、能量沉積譜和探測效率。1、 光子的模擬步驟（1） 光子由源出發(fā)，入射到探測器，由于從源各向同性，發(fā)射的光子擊中探測器的數(shù)量不多，為提高抽樣效率，在絕對坐標(biāo)系下，以r=(0,0,)為球心，以R=為半徑，做一個包含探測器的輔助球，首先確定擊中該球的光子，然后再從中選取擊中探測器的光子。（2） 光子輸運，確定碰撞點的位置，對于初始光子，使用首次限制碰撞技巧，限制其在探測器內(nèi)與原子核首次發(fā)生作用，同時引入權(quán)重糾偏因子 其中u（E）、LI分別為光子沿其運動方向經(jīng)過的第i個介質(zhì)區(qū)域 的衰減系數(shù)和輸運距離。對于初始光子的非首次碰撞及次級光子，采用一般方法輸運，如光子逃出系統(tǒng)，其歷史結(jié)束，否側(cè)發(fā)生碰撞。 （3

14、）如光子在探測器內(nèi)與原子核發(fā)生作用，確定作用類型。 （4）如發(fā)生光電效應(yīng)，將K層的電子結(jié)合能EK 累加到沉積能量記錄單元中去確定光電子的能量和運動方向轉(zhuǎn)向電子模擬。 （5）如發(fā)生康普頓散射，確定光子散射后的能量和運動方向，存儲起來，計算康普頓電子的能量和運動方向，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （6）如發(fā)生對生成，分別計算電子、正電子的能量和運動方向，轉(zhuǎn)向電子模擬。 （7）如發(fā)生三產(chǎn)生作用，確定反沖電子的能量，將其累加到沉積能量記錄單元中，轉(zhuǎn)向步驟6。二、電子、正電子的模擬（1）用散射關(guān)系式計算能量為E0的電子或正電子的射程，以及軔致光子的數(shù)目n，如果n不是整數(shù)，用隨機抽樣方法確定軔致光子的個數(shù)K，即：K=n

15、+1 當(dāng)§n-nK=n 其他·表示取整，如果K1，在電子射程中，均勻抽取K個軔致光子產(chǎn)生時該電子所走的軌跡長度，從小到大排列好。（2） 對于正電子，計算飛行湮沒的概率P，并以概率P發(fā)生飛行湮沒，同時確定發(fā)生飛行湮沒時的能量EP。（3） 如果電子或正電子的能量小于某一確定值，引入射程截斷，對其進行直線處理，即，計算電子射程及其到達區(qū)域邊界的距離，并判別電子在該區(qū)域內(nèi)死亡或者逃脫，如果電子射程小于到達邊界距離，則電子死亡，否則逃脫，逃脫時，根據(jù)能量射程關(guān)系式計算出電子逃出該區(qū)域時的能量，進入新區(qū)域，重復(fù)該過程，直到電子離開探測器。對于正電子，在探測器死亡時，發(fā)生湮沒，產(chǎn)生兩個光

16、子，存儲起來，轉(zhuǎn)向步驟7。（4） 如果電子或正電子能量大于E*進行多次散射，假設(shè)第n次散射后的能量為En，第n+1次散射的能量為En+1=K·En。利用射程關(guān)系式計算出輸運長度L=LN-LN+1。其中Ln為En時的的射程。如果L大于電子到區(qū)域邊界的距離，則電子離開區(qū)域。計算離開時的能量，進入新的區(qū)域或者離開探測器，否側(cè)，進入n+1的狀態(tài)，轉(zhuǎn)向3。（5） 對于任何情況的電子（直線處理或多次散射），均依照電子所走過的軌跡長度總和確定是否有軔致光子產(chǎn)生，如有，確定軔致光子能量，位置和運動方向，存儲起來。在沒有軔致光子的產(chǎn)生情況下，沉積能量不考慮軔致光子能量這一部分。（6） 對于正電子，在多次散射中及可能發(fā)生飛行湮沒的情況下，當(dāng)電子能量Ep時。發(fā)生飛行湮沒，正電子消失，產(chǎn)生兩個光子，將他們存儲起來。（7） 在電子和正電子模擬結(jié)束后，將存儲的光子取出，轉(zhuǎn)向光子的模擬，存儲的全部次級光子模擬結(jié)束，一個由源發(fā)出的光子的全部歷史結(jié)束，根據(jù)其沉積總能量記錄對能量沉積譜的貢獻。 由整個光子、電子的模擬步驟來看，兩種粒子的耦合輸運問題模擬很復(fù)雜，模擬過程