函數(shù)的凹凸性

1、函數(shù)的凹凸性第一頁，共22頁。二、凹凸與拐點的定義二、凹凸與拐點的定義定義定義: 若曲線段向上（下）彎曲，若曲線段向上（下）彎曲，則稱之為則稱之為凹（凸）的。凹（凸）的。xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的上方。位于所張弦的上方。xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段（圖形上任意弧段（ ）位于所張弦的下方。位于所張弦的下方。ABC問題問題: 如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的凹凸性如何用準確的數(shù)學語言描述曲線的凹凸性?的中點的中點的中點的中點 第二頁，共22頁。二、曲線的凹凸性與拐點問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1

2、x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位 于所張弦的下方于所張弦的下方ABC221xx 221xx 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf )2(21xxf )2(21xxf )(1xf)(1xf)(2xf)(2xf第三頁，共22頁。定義定義 . 設函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點拐點 .圖形是凸

3、凸的 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲線的凹凸與拐點二、曲線的凹凸與拐點第四頁，共22頁。第五頁，共22頁。第六頁，共22頁。第七頁，共22頁。第八頁，共22頁。第九頁，共22頁。第十頁，共22頁。第十一頁，共22頁。第十二頁，共22頁。第十三頁，共22頁。第十四頁，共22頁。1、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的凹凸性。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的凹凸性。第十五頁，共22頁。2、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xy

4、alog xya1log )1( a)0 , 1( 第十六頁，共22頁。3、冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第十七頁，共22頁。6、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù) 由由 構成構成.2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).xey21 xey 21xxee,第十八頁，共22頁。xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正正切切奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),第十九頁，共22頁。xxxxeeeexxx chshth奇函

5、數(shù)奇函數(shù)有界有界雙曲正切雙曲正切定義域：定義域：) ,( 單調遞增單調遞增xxxxeeeexxx shchcoth雙曲余切雙曲余切奇函數(shù)奇函數(shù)定義域：定義域：) ,( xycoth xyth 第二十頁，共22頁。雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 第二十一頁，共22頁。例9 求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù).)(21)(xxeexf 解解則則令令),(21xxeey 0122 xxyee12 yyex(