26.1二次函數(shù)及其圖象

1、二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？1 、一般式：、一般式：2、 頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：3、 交點(diǎn)式：交點(diǎn)式：y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k (a0) +k (a0) y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) (a0) (a0)解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此所求二次函數(shù)是：因此所求二次函數(shù)是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5例例1 1：已知一

2、個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（：已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1,101,10）（1,41,4）（）（2,72,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式？）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式？解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為 y=a(xy=a(x1)1)2 2-3-3例例2 2：已知拋物線的頂點(diǎn)為（：已知拋物線的頂點(diǎn)為（1 1，3 3），與），與y y軸軸交點(diǎn)為（交點(diǎn)為（0 0，5 5）求拋物線的解析式？）求拋物線的解析式？由條件得：由條件得：點(diǎn)點(diǎn)( 0,-5 )在拋物線上在拋物線上a-3=-5, 得得a=-2故所求的拋物線解析式為；故所求的拋物線解析式為；即：即：y=2x2-4x5 y=y=2(x2(x1)2-

3、31)2-3解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1）例例3、 已知拋物線與已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0）并經(jīng)過點(diǎn)并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？yox由條件得：由條件得：點(diǎn)點(diǎn)M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上所以：所以：a(0+1)(0-1)=1得得 ： a=-1故所求的拋物線為故所求的拋物線為 y=- (x1)(x-1)即：即：y=-x2+1思考：思考： 用一般式怎么解？用一般式怎么解？1 1、已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為、已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為_2、已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（、已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)

4、（h, k），通常設(shè)），通常設(shè)拋物線解析式為拋物線解析式為_3、已知拋物線與、已知拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)、(x2,0),通常設(shè)解析式為通常設(shè)解析式為_y=ax2+bx+c (a0)y=a(x-h)2+k (a0)y=a(x-x1)(x-x2) (a0)1、根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。、根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。(1)、圖象經(jīng)過、圖象經(jīng)過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點(diǎn)；三點(diǎn)；(2)、圖象的頂點(diǎn)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)， 且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)(3，1) ；(3)、圖象經(jīng)過、圖象經(jīng)過(-1，0)， (3，0) ，（，（0, 3）。）。1.根據(jù)下列條

5、件，求二次函數(shù)的解析式：根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1,-2)，且通過點(diǎn)且通過點(diǎn)(1,10). 已知拋物線經(jīng)過已知拋物線經(jīng)過 (2,0),(0,-2), (-2,3)三點(diǎn)三點(diǎn).已知拋物線與已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和和1，且通過點(diǎn)，且通過點(diǎn)(2,8).3、二次函數(shù)、二次函數(shù)y= ax2+bx+c的對(duì)稱軸的對(duì)稱軸為為x=3，最小值為，最小值為2，且過點(diǎn)，且過點(diǎn)（0，1），求此函數(shù)的解析式。），求此函數(shù)的解析式。4、拋物線的對(duì)稱軸是、拋物線的對(duì)稱軸是x=2，且過，且過點(diǎn)（點(diǎn)（4，4）、（）、（1，2），求），求此拋物線

6、的解析式。此拋物線的解析式。 5 5、已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線、已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x x1 1，圖象上最低點(diǎn)，圖象上最低點(diǎn)P P的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為-8-8，圖象經(jīng)過點(diǎn)，圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2(-2，10)10)，求這，求這個(gè)函數(shù)的解析式個(gè)函數(shù)的解析式 3、已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6），求此二次函數(shù)的解析式。），求此二次函數(shù)的解析式。又又圖象經(jīng)過點(diǎn)（圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-6）-6=a (3-1)2+2 得得a=-2故所求二次函數(shù)的解析式為：故所求二次函數(shù)的解析式為：y=

7、-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x解：解：二次函數(shù)的最大值是二次函數(shù)的最大值是2 2拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2 2 又又拋物線的頂點(diǎn)在直線拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1y=x+1上上當(dāng)當(dāng)y=2y=2時(shí)，時(shí)，x=1x=1。 故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 1 ， 2 2）所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+2+2 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過且過(2,8),求這個(gè)函數(shù)的解析式。求這個(gè)函數(shù)的解析式。 拋物線拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過經(jīng)過(0，0)與與（12，0），）， 最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是最

8、高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，求這條拋物線的解析式求這條拋物線的解析式9.9.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-y=-x x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同, ,頂點(diǎn)在直線頂點(diǎn)在直線x=1x=1上上, ,且頂點(diǎn)到且頂點(diǎn)到x x軸的距離為軸的距離為5,5,請(qǐng)寫出滿足此請(qǐng)寫出滿足此條件的拋物線的解析式條件的拋物線的解析式. .解解: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同 a=1a=1或或-1-1 又又 頂點(diǎn)在直線頂點(diǎn)在直線x=1x=1上上, ,且頂點(diǎn)

9、到且頂點(diǎn)到x x軸的距離為軸的距離為5,5, 頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式為所以其解析式為: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 展開成一般式即可展開成一般式即可. . 6、 已知：拋物線已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示：示：（1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)）當(dāng)x取何值時(shí)，取何值

10、時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次）將拋物線作怎樣的一次平移平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線并寫出此時(shí)拋物線的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 6、 已知：拋物線已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所的圖象如圖所示：示：（1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)）當(dāng)x取何值時(shí)，取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次）將拋物線作怎樣的一次平移平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線并寫出此時(shí)拋物線的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 3、 已知：拋物線已知：

11、拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)）當(dāng)x取何值時(shí)，取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次）將拋物線作怎樣的一次平移平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線并寫出此時(shí)拋物線的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 3、 已知：拋物線已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)）當(dāng)x取何值時(shí)，取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次）將拋物線作怎樣的一次平移平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有才能使它

12、與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線并寫出此時(shí)拋物線的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5 3、 已知：拋物線已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)）當(dāng)x取何值時(shí)，取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次）將拋物線作怎樣的一次平移平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線并寫出此時(shí)拋物線的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.54 4 圖象頂點(diǎn)是圖象頂點(diǎn)是M(1,16)M(1,16)且與且與x x軸交于兩點(diǎn)，已知軸交于兩點(diǎn)，已知兩交點(diǎn)相距兩交點(diǎn)相距

13、8 8個(gè)單位個(gè)單位. .解：設(shè)拋物線與解：設(shè)拋物線與x x軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A A、點(diǎn)、點(diǎn)B B 頂點(diǎn)頂點(diǎn)M M坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（1,161,16）, ,對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為x=1,x=1,又交點(diǎn)又交點(diǎn)A A、B B關(guān)于直線關(guān)于直線x=1x=1對(duì)對(duì)稱稱,AB=8,AB=8A(-3,0)A(-3,0)、B(5,0)B(5,0)此函數(shù)解析式可設(shè)為此函數(shù)解析式可設(shè)為 y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+16+16 或或y=a(x+3)(x-5)y=a(x+3)(x-5)xyo116AB- 35xyo解：解：A(1A(1，0)0)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸為x=2x=2拋物線與拋物線與x x軸另一個(gè)交點(diǎn)軸另一個(gè)交點(diǎn)C C應(yīng)為（應(yīng)為（3 3，0 0）設(shè)其解析式為設(shè)其解析式為y=a(x-1)(x-3)y=a(x-1)(x-3)將將B（0，-3）代入上式）代入上式-3=a(0-1)(0-3)-3=a(0-1)(0-3)a=-1a=-1y= -(x-1)(x-3)=-xy= -(x-1)(x-3)=-x2 2+4x-3+4x-31AB -3C325、已知拋物線過兩點(diǎn)A(1,0),B(0,-3)且對(duì)稱軸是直線x=2,求這個(gè)拋物線的解析