導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算考點(diǎn)全攻略

1、導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算考點(diǎn)全攻略綜觀近年來(lái)的高考試卷，導(dǎo)數(shù)是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題的重要工具. 為幫助同學(xué)們更好的掌握導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算，本文將導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算的重要考點(diǎn)和解題方法作以解析.【考點(diǎn)及要求】1.通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.2.通過(guò)函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1/x,y=的導(dǎo)數(shù).4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（

2、ax+b）的導(dǎo)數(shù).【考點(diǎn)歸納分析】考點(diǎn)1：.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念的考查重點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)概念求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和對(duì)導(dǎo)數(shù)概念與導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解，是較容易的題目.例1已知函數(shù)在=附近有意義且可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為，若=2，則等于（ ）A.2 B. C. D.審題要津：本題是導(dǎo)數(shù)概念題，注意自變量增量為.解：原式=，故選D.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)導(dǎo)數(shù)概念問(wèn)題，注意要準(zhǔn)確的從函數(shù)增量的式子中找出自變量的增量，緊扣函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)增量與自變量增量的比的極限值就是這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)解題，本題中自變量的增量為.策略指導(dǎo)用函數(shù)概念求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟是求函數(shù)的增量：，求平均變化率：，注意遇到分式要通分，遇到根式要分子有理化，

3、遇到指數(shù)數(shù)式要展開(kāi)，以便約分，取極限，得導(dǎo)數(shù)：，取極限時(shí)，注意觀察趨近于0時(shí)，函數(shù)平均變化率的趨近的函數(shù).求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可以先求出導(dǎo)函數(shù)，再將自變量值代入,也可以直接導(dǎo)數(shù)概念求解.要注意：（1）函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)，而導(dǎo)函數(shù)是針對(duì)定義域內(nèi)所有點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在=處的函數(shù)值，即=；（3）在解導(dǎo)數(shù)概念題時(shí)，要準(zhǔn)確把握題中的自變量增量，它可正可負(fù)，也可是個(gè)是個(gè)式子，需要函數(shù)增量中的后所加部分確定.考點(diǎn)2：幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查形式靈活，常常與數(shù)列、兩直線位置關(guān)系、參數(shù)問(wèn)題結(jié)合，考查曲線的切

4、線問(wèn)題，?？疾榈念}型為求曲線切線、已知曲線的切線求參數(shù)、或已知切線的斜率滿足某個(gè)條件求參數(shù)范圍，常出現(xiàn)在高考題的小題中或作為大題的第一小題，是較容易的送分題，若出現(xiàn)在大題的第二問(wèn)，難度比較大.例2（2009全國(guó)卷理）曲線=在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為（ ）A. B. =0 C.=0 D. =0審題要津：先求函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即切線斜率，再點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.解：=，曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率=，曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為,即 故選B.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)曲線切線問(wèn)題，注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，注意過(guò)某一點(diǎn)的切線與在某一點(diǎn)的切線的區(qū)別.例3求函數(shù)=過(guò)點(diǎn)P(1,)的切線方程.審題要津：先設(shè)出切點(diǎn)

5、坐標(biāo)，求出切線方程，再利用切點(diǎn)即在曲線上又在切線上，列出切點(diǎn)很坐標(biāo)的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程.解：設(shè)切點(diǎn)Q(,),求導(dǎo)得=，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在點(diǎn)Q(,)的切線斜率=， 曲線在點(diǎn)(1,3)的切線方程為：=，又點(diǎn)Q(,)既在切線上，又在函數(shù)圖像上，解得，或，切線方程為=0或=0.【點(diǎn)評(píng)】注意過(guò)某點(diǎn)的切線與在某點(diǎn)的切線的區(qū)別,要掌握過(guò)某點(diǎn)曲線的求法.策略指導(dǎo)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用問(wèn)題，常常以曲線的切線問(wèn)題形式考查，注意曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過(guò)某一點(diǎn)的切線不同，求在某點(diǎn)的切線，這一點(diǎn)就是切點(diǎn)，求出曲線這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，代入點(diǎn)斜式即得切線方程，而求過(guò)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即使這一點(diǎn)在曲線上，該點(diǎn)也不

6、一定是是切點(diǎn)，常設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，再利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，列出關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)使問(wèn)題得到解決.對(duì)過(guò)某點(diǎn)的切線條數(shù)問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)的很坐標(biāo)的過(guò)該點(diǎn)的切線方程有若干個(gè)解的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)研究切線方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解，要注意切線斜率不存在的情況.考點(diǎn)3：基本初等函數(shù)的求導(dǎo)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)考查形式靈活多樣，常與函數(shù)的圖像性質(zhì)、不等式等結(jié)合，小題常?？疾楹瘮?shù)的切線、單調(diào)性、極值、最值等問(wèn)題，是容易題，大題?？疾楹瘮?shù)的圖像性質(zhì)及不等式證明，是難度較大的題目.例4（2009湖北理14）已知函數(shù)則的值為.審題要津：本題關(guān)鍵在于

7、求，故先求導(dǎo)數(shù)，再求出.【解析】因?yàn)樗怨省军c(diǎn)評(píng)】注意函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù).策略指導(dǎo)要熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在解由基本初等函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，要分清函數(shù)由那些基本初等函數(shù)構(gòu)成及這些函數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解.考點(diǎn)4：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景靈活多樣，常與函數(shù)的切線、變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、生產(chǎn)問(wèn)題的邊際成本、生活生產(chǎn)中的最優(yōu)化問(wèn)題、某個(gè)實(shí)際變化過(guò)程中變化率問(wèn)題相結(jié)合，常以應(yīng)用題形式或函數(shù)導(dǎo)問(wèn)題形式考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景和利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題，考查重點(diǎn)為函數(shù)切線問(wèn)題，可以為小題也可為解答題，是小題為簡(jiǎn)單題目，是解答題常為中檔以上難度題目.例

8、5（2009湖北理9）設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)，若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑A.成正比，比例系數(shù)為C B. 成正比，比例系數(shù)為2CC.成反比，比例系數(shù)為C D. 成反比，比例系數(shù)為2C審題要津：求出球的表面積的導(dǎo)數(shù)，觀察其與球半徑的關(guān)系.【解析】由題意可知球的體積為=，則=，由此可得=，而球的表面積為=，=，故選D【點(diǎn)評(píng)】注意利用題中條件球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)即球體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù).策略指導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景有以下幾類(lèi)：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)切線的斜率，若函數(shù)是變速運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)式，則函數(shù)在某一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)就是這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，若函數(shù)是成本關(guān)于產(chǎn)量的

9、函數(shù)式，則在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是邊際成本，對(duì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際問(wèn)題要正確理解問(wèn)題的實(shí)際背景，準(zhǔn)確找出表示實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程的函數(shù)解析式，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式及相關(guān)知識(shí)求解.考點(diǎn)5：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算考查形式靈活多樣，常與函數(shù)的切線、函數(shù)的圖像性質(zhì)、不等式、數(shù)列、方程解得個(gè)數(shù)問(wèn)題等內(nèi)容結(jié)合，既考查利用導(dǎo)數(shù)求解決曲線的切線問(wèn)題，又考查如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的極值與最值問(wèn)題、單調(diào)性及圖像以及參數(shù)范圍問(wèn)題，既有小題，也有大題，小題是容易題，大題是較難的題目.例6（2009福建卷理）若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是_.審題要津：本題是函數(shù)存在斜率為0的切線問(wèn)題，先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)為0

10、恒有解問(wèn)題，通過(guò)參變分離求出參數(shù)范圍.解析：由題知函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，又因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，所以=0恒有解，即=（）恒有解， 0，實(shí)數(shù)取值范圍是（，0）.點(diǎn)評(píng)：對(duì)含參數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，注意函數(shù)的定義域.策略指導(dǎo)對(duì)由基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，首先要分清構(gòu)成函數(shù)的基本初等函數(shù)及其運(yùn)算關(guān)系，其次正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意（1）四則運(yùn)算法則：若、的導(dǎo)數(shù)都存在，則=，=，=；（2）注意運(yùn)用四則運(yùn)算法則層次和順序.考點(diǎn)6：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，常與函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式證明、切線、方程等內(nèi)容結(jié)合，考查函

11、數(shù)的圖像、單調(diào)性、切線、極值與最值以及與之相關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題，以小題形式考查是中檔題目，以大題形式考查有較大的難度.例7（2009安徽理9）已知函數(shù)在R上滿足=，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（A） （B） （C） （D）審題要津：先求，因是復(fù)合函數(shù)，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則等式兩邊求導(dǎo)，再將=1代入，即可求出，代入點(diǎn)斜式即可求得切線方程.解：令=1得，=，即=，解得=1，對(duì)=兩邊同求導(dǎo)得，=，將=1代入上式得，=，即=，解得=2，在點(diǎn)處的切線方程為=，即，故選A.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)含有復(fù)合函數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，要正確運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo).策略指導(dǎo)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則=對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要注意以下幾個(gè)問(wèn)題（1）