第八章-多元函數(shù)微分學(xué)課件

1、高數(shù)課件 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域 1.鄰域 設(shè) 是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù).與點(diǎn) 距離小于的點(diǎn) 的全體稱(chēng)為 的鄰域，記為 ，即也就是000(,)P xy000(,)P xy( , )P x y0P0(, )U P00(, )U PP PP22000(, )( , )()()U Px yxxyy2.區(qū)域 設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn).如果存在點(diǎn)P的某一鄰域 使 ， 則稱(chēng)P為E的內(nèi)點(diǎn)(圖8-1). 如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則 稱(chēng)E為開(kāi)集. 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬 P 于E的點(diǎn)，也

2、有不屬于E的點(diǎn)， E 則稱(chēng)P為E的邊界點(diǎn)（圖8-2）. 設(shè)D是開(kāi)集.如果對(duì)于D內(nèi)的 圖 8-1 任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起( )U P( )U PE 來(lái),而且該折線上的點(diǎn)都屬于D, P 則稱(chēng)開(kāi)集D是連通的. 連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域. E 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起,稱(chēng) 為閉區(qū)域. 圖 8-23.n維空間 設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù),我們稱(chēng)有序n元數(shù)組 的全體為n維空間,而每個(gè)有序n元數(shù)組 稱(chēng)為n維空間中的一個(gè)點(diǎn),數(shù) 稱(chēng)12( ,)nx xx12( ,)nx xxix為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo),n維空間記為 . n維空間中兩點(diǎn) 及 間的距離規(guī)定為n12( ,)nP x xx12(,)nQ y yy22211

3、22()()()nnPQyxyxyx二、多元函數(shù)概念 定義定義1 1 設(shè)設(shè)D D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集是平面上的一個(gè)點(diǎn)集. .如果對(duì)于如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)每個(gè)點(diǎn)P=(x,y)D,P=(x,y)D,變量變量z z按照一定法則總有確按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)定的值和它對(duì)應(yīng), ,則稱(chēng)則稱(chēng)z z是變量是變量x x、y y的的二元函數(shù)二元函數(shù)( (或點(diǎn)或點(diǎn)P P的函數(shù)的函數(shù)),),記為記為點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域,x、y稱(chēng)為自變量,z( ,)()zfx yzfP或也稱(chēng)為因變量,數(shù)集 稱(chēng)為該函數(shù)的值域. 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間內(nèi)的點(diǎn)集D.則可類(lèi)似的定義n元函數(shù) .當(dāng)n=1時(shí)，n元函數(shù)就是一元函數(shù).

4、當(dāng)n2時(shí)n元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù). .( , ),( , )z zf x yx yD12( ,)nuf x xx三、多元函數(shù)的極限 二元函數(shù) 當(dāng) , ,即 時(shí)的極限.這里 表示點(diǎn) 以任何方式趨于 ，也就是點(diǎn) 與點(diǎn) 間的距離趨于零，即 定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是D D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù)，使得，使得對(duì)于適合不等式對(duì)于適合不等式( , )zf x y0 xx0yy000( , )(,)P x yP xy0PP0P0P22000= ()

5、()0PPxxyy000(,)PxyPP的一切點(diǎn)的一切點(diǎn)P(x,y)DP(x,y)D，都有，都有成立，則稱(chēng)常成立，則稱(chēng)常A A為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)f(x,y)當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作或或 這里這里 . . 220000=()()PPxxyy( , )f x yA0 xx0yy0lim( , )xxf x yA( , )f x yA(0)0PP四、多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域在開(kāi)區(qū)域( (或閉區(qū)域或閉區(qū)域)D)D內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 是是D D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 . .如果如果則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)f(x,y

6、)在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). . 若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn) 不連續(xù)，則稱(chēng) 為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn). 函數(shù)0PD0000lim ( , )(,)xxyyf x yf xy0P222222,0( , )0,xyxyxyf x yxy=0000(,)P xy000(,)P xy000(,)P xy當(dāng)x0,y0時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn). 函數(shù)在圓周 上沒(méi)有定義，所以該圓周上各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，是一條曲線. 性質(zhì)性質(zhì)1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在有界閉區(qū)在有界閉區(qū)域域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上一定有最大值和上一定有最大值和最小值最小

7、值. . 在D上至少有一點(diǎn) 及一點(diǎn) ，使得 為最大值而 為最小值，即對(duì)于一切PD，有221sin1zxy221xy1P2P1()f P2()f P 性質(zhì)性質(zhì)2(2(介值定理介值定理) ) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元上的多元函數(shù)，如果在函數(shù)，如果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在在D D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。 如果是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個(gè)數(shù)，則在D上至少有一點(diǎn)Q，使得f(Q)=. *性質(zhì)性質(zhì)3(3(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 在有界閉區(qū)域上在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必

8、定在的多元連續(xù)函數(shù)必定在D D上一致連續(xù)上一致連續(xù). . 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于D上的21()( )()f Pf Pf P任意二點(diǎn) ，只要當(dāng) 時(shí)，都有成立. 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. . 由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn) 處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值，即12()()f Pf P0P00lim( )()PPf Pf P12,P P12P P第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某的某一鄰域內(nèi)

9、有定義，當(dāng)一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y y固定在固定在 而而x x固定在固定在 處處有增量有增量x x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果如果 （1 1）存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處對(duì)處對(duì)x x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ，記作，記作( , )zf x y00(,)xy0y0 x0000(,)(,)f xx yf xy00000(,)(,)limxf xx yf xyx ( , )zf x y00(,)xy例如，極限(1)可以表示為 (2)類(lèi)似地,函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 對(duì)對(duì)y y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)定義為數(shù)定義為 0000000,0,()xx xxx xx xy yy yy yz

10、fzfx yxx或0000000(,)(,)(,)limxxf xx yf xyfxyx ( , )zf x y00(,)xy (3)記作記作 如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱(chēng)為函數(shù) 對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作00000(+)(,)limyf xyyf xyy ，0000000,0,()yx xyx xx xy yy yy yzfzfx yyy或( , )zf x y( , )zf x y 類(lèi)似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 求 時(shí)只要把y暫時(shí)看作常量對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)只要把暫x時(shí)看作常量對(duì)y求導(dǎo)數(shù).,(

11、 ,)xxzfzfx yxx或,( ,)yyzfzfx yyy或fxfy 圖 8-6xyz0 x0yO0MxTyT0(, )zf xy0( ,)zf x y二、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi) 都是x,y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱(chēng)它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的 不同下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y ( , ),( , )xyzzfx yfx yxy( , )( , )xyfx yfx y、222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxx

12、yxx y 二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義. 設(shè) 為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn),過(guò) 作平面 ，截此曲面得一曲線，此曲線在平面 上的方程為 ,則導(dǎo)數(shù) ，即偏導(dǎo)數(shù) ,就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)x軸的斜率(見(jiàn)圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是曲面被平面 所截得的曲線在點(diǎn) 處的切線 對(duì)y軸的斜率.00(,)xy00000(,(,)Mxyf xy0M0yy0yy0( ,)zf x y00( ,)df x yxxdx00(,)xfxy0M0 xM T00(,)yfxy0 xx0M0 xM T其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以

13、上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 及及 在在D D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. .222( , ),( , )xxxyzzzzfx yfx yxxxyxx y 222( , ),( , )yxyyzzzzfx yfx yxyy xyyy 2zy x 2zx y 第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率.上

14、面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分. 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) 為這鄰域內(nèi)的任意一(, )( , )( , )xf xx yf x yfx yx( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yy(,)P xx yy點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的全增的全增量量 (1)(1)可表示為可表示為(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )zf xx

15、yyf x y (,)( , )zf xx yyf x y ( )zA xB yo 其中其中A A、B B不依賴(lài)于不依賴(lài)于xx、yy而僅與而僅與x,yx,y有關(guān)，有關(guān)， ，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)可微分，而可微分，而 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)全微分，記作全微分，記作dz,dz,即即 (2) (2) 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱(chēng)這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分的條件. 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z

16、=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)22()()xy A xB y dzA xB y (x,y)(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 必定存在，且函數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)(x,y)的全微的全微分為分為 (3)(3) 證 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分.于是對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn) ，(2)式總成立.特別當(dāng) 時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí) ，所以(2)式成為zxzyzzdzxyxy (,)P xx yyx 0y 上式兩邊各除以 ，再令 而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且等于A.同樣可證 =B.所以三式

17、成立.證畢.(, )( , )()f xx yf x yAxx x0 x 0(, )( , )limxf xx yf x yAx zxzy 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 如果如果z=f(x,y)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 在在(x,y)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. . 證 因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點(diǎn) 為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量zzxy、(,)xx yy(,)( , )zf xx yyf x y (,)( ,)f x

18、x yyf x yy在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù) 的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到 又依假設(shè)， 在點(diǎn) 連續(xù)，所以上式可寫(xiě)為(,)( ,)f xx yyf x yy( ,)( , )f x yyf x y( ,)f x yy(,)( ,)f xx yyf x yy11(,)01xfxx yyx()( , )xfx y( , )x y (4)其中 為x、y的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， . 同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫(xiě)為 (5)其中 為y的函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， . 由(4)、(5)兩式可見(jiàn)，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為(,)( ,)f xx yyf x

19、 yy1( , )xfx yxx 10,0 xy 102( ,)( , )( , )yf x yyf x yfx yyy 20y 20 容易看出它就是隨著 即 而趨于零的. 這就證明了z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的.12( , )( , )xyzfx yxfx yyxy 1212xy 0,0 xy 0第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) 及及 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t t可導(dǎo)，函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)(u,v)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

20、符合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù) 在在t t可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： (1)(1) 證 設(shè)t獲得增量t，這時(shí) 、 的對(duì)應(yīng)增量為u 、v,由此，函數(shù)z=f(u,v)( )ut( )vt( ),( )zfttdzz duz dudtu dtv dt( )ut( )vt相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當(dāng) 時(shí)， . 將上式兩邊各除以t，得因?yàn)楫?dāng) ，時(shí) ， ，12zzzuvuvuv 0,0uv 120,012zzuzvuvtutvttt 0t 0,0uv udutdt ，所以 這就證明符合函數(shù) 在

21、點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計(jì)算.證畢. 全微分形式不變?nèi)⒎中问讲蛔?設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分vdvtdt0limxzz duz dvtu dtv dt( ),( )zftt如果u、v又是x、y的函數(shù) 、 且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 的全微分為zzdzdudvuv( , )ux y( , )vx y( , ),( , )zfx yx yzzdzdxdyxy其中 及 發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的 及 帶如上式，得zxzyzxzxzyzuzvzuzvdzdxdyuxv xuyv y zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzz

22、dudvuv由此可見(jiàn)，無(wú)論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情況 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則方程，則方程 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來(lái)年許具的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來(lái)年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) , ,它滿(mǎn)足條件它滿(mǎn)足條件 ，并有，并有 （1 1）( , )F x y00(,)P xy00(,)0F xy00(,)0yF xy00(,)

23、0F xy00(,)xy( )yf x00()yf xxyFdydxF 公式推導(dǎo)： 將方程 所確定的函數(shù) 代入，得恒等式其左端可以看作是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的00(,)0F xy( )yf x( ,( )0F x f x0FF dyxy dxyF00(,)0yF xy00(,)xy一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得 如果 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得0yF xyFdydxF ( , )F x y22xxyyFFd ydydxxFyFdx 隱函數(shù)存在定理可以判定由方

24、程所確定的二元函數(shù) 的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，22xxyyxxxyyyyxxyyyF FF FF FF FFFFF2232xxyxyxyyyxyF FF F FF FF( , , )0F x y z ( , )zf x y( , , )0F x y z 000( ,)P x y z且且 ，則方程，則方程 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)數(shù) ，它滿(mǎn)足條件，它滿(mǎn)足條件 ，并，并有有 (2

25、)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于 將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 000000(,)0,(,)0 xF xyzF xyz( , , )0F x y z 000(,)x y z( , )zf x y000(,)zf x y,yxzzFFzzxFyF ( , ,( , )0F x y f x y法則得因?yàn)?連續(xù)，且 ，所以存在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi) ，于是得0,0 xzyzzzFFFFxyzF000(,)0zF xyz000(,)xyz0zF ,yxzzFFzzxFyF 二、方程組的情況 考慮方程組 (5)在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)

26、二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來(lái)斷定方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v 隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3 3 設(shè)設(shè) 以及以及 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 、 ，且，且 偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 ( (或稱(chēng)雅可比或稱(chēng)雅可比(Jacobi)(Jacobi)行列式行列式) )：( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v0000(,)P xy u v0000(,)0F x

27、y u v0000(,)0G xy u v(,)( , )FFF GuvJGGu vuv在點(diǎn)在點(diǎn) 不等于零，則方程組不等于零，則方程組 、 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ， ，它們滿(mǎn)足條件，它們滿(mǎn)足條件 ， ，并有，并有0000(,)P xy u v0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v0000(,)xy u v( , )uu x y( , )vv x y000(,)uu xy000(,)vv xy1(,)( , )xvxvuvuvFFGGuF GFFxJx uGG (6

28、)1(,)( , )uxuxuvuvFFGGuF GFFxJu xGG 1(,)( , )yvyvuvuvFFGGuF GFFyJy vGG 下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo). 由于1( ,)( , )uyuyuvuvFFGGuF GFFyJu yGG , , ( , ), ( , )0F x y u x y v x y, , ( , ), ( , )0G x y u x y v x y將恒等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于 的線性方程組，由假設(shè)可知在點(diǎn) 的一個(gè)鄰域，系數(shù)行列式00 xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx,uvxx0000(,)P xy u v0uvuvFFJG

29、G從而可解出 ，得 同理，可得 ,uvxx1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GxJx vxJu x 1( ,)1( ,),( , )( , )uF GvF GyJy vyJu y 第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程 (1)這里假定(1)式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo). 在曲線上取對(duì)應(yīng)與 的一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)于 的鄰近一點(diǎn) .根據(jù)解析幾何，曲線的割線 的方程是 ( ),( ),( )xtytzt0tt000(,)M xyz0ttt000(,)M xx yy zzMM000 xxyyzzxyz當(dāng) 沿著趨于 ，時(shí)割線 的極限位置

30、就是曲線在點(diǎn) 處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得 令 (這t0)， 通過(guò)對(duì)上式取極限，即得 圖 8-7 曲線在點(diǎn) 處的切線方程MMMMTMzMMMM000 xxyyzzxyztttzxyMTM O 這里當(dāng)要假定 都不能為零. 切線的方向向量稱(chēng)為曲線的切向量.向量就是曲線通過(guò)在點(diǎn) 處的一個(gè)切向量. 點(diǎn)通過(guò) 而與切線垂直的平面稱(chēng)為曲線在000000( )( )( )xxyyzztttz000( )( )( )ttt、000( ),( ),( )TtttMM點(diǎn) 處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn) 而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為zM000(,)M xyz000000( )()( )()( )

31、()0txxtyytzz二、曲面的切平面與法線 我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形. 設(shè)曲面由方程(9)給出， 是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.在曲線上，通過(guò)點(diǎn)M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為z( , , )0F x y z 000(,)M xyz( , , )F x y z程為 (10) 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) 且 ， ， 不全為 零，則由(2)式可得這 曲線的切線方程為 圖 8-8 ( ),( ),( )xtytztzzxyOMTn0tt000(,)M xyz0( )t0( )t0( )t000000( )

32、( )( )xxyyzzttt 引入向量 則表示(10)在點(diǎn)M處的切向量 z000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz0000000(,)( )(,)( )xyF xy ztF xy zt000(,)( )0zF xy zt0( ),( ),( )Tttt與向量n垂直.因?yàn)榍€(10)是曲面上通過(guò)點(diǎn)M的任意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)M的切線都與同一個(gè)向量n垂直，所以曲面上通過(guò)點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱(chēng)為曲面在點(diǎn)M的切平面.這切平面的方程是 (12) 通過(guò)點(diǎn) 而垂直于切平面(12)的直線稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線.法線方程是z00000000(,)

33、()(,)()xyF xyzxxF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz000(,)M xyz 垂直于曲面上切平面的向量稱(chēng)為曲面的法向量.向量就是曲面在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量.z000000000000()()()(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xyzF xyzF xyz000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyz第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點(diǎn)P引射線.設(shè)x軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè) 為 上的另一點(diǎn)(圖8-9)且 .我們考慮函數(shù)

34、的增量 與 兩點(diǎn)間的距離 的比值 .當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱(chēng)這極ll(,)P xx yyl( )PU P(,)( , )f xx yyf x yPP、22()()xy PlP 限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿 方向 的方向?qū)?shù)，記 作 ，即 圖 8-9lyOxyPxPlfl0(,)( , )limff xx yyf x yl 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P(x,y)P(x,y)是可微是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有在且有其中其中 為為x x軸到方向軸到方向 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角. . 證

35、證 根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為cossinffflxyl(,)( , )( )fff xx yyf x yxyoxy 兩邊各除以 ，得到所以 (,)( , )f xx yyf x y( )fxfyoxy ( )cossinffoxy這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為0(,)( , )limf xx yyf x ycossinffxycossinffflxy 對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來(lái)說(shuō)，它在空間一點(diǎn)P(x,y,z)沿著 (設(shè)方向 的方向?yàn)?的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中 ， 同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向

36、 的方向?qū)?shù)ll、 、0(,)( , , )limff xx yy zzf x y zl222()()()xyz cos ,x cos,cos .yz l為coscoscosfffflxyz二、梯度 在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(x,y)D，都可以定出一個(gè)向量這向量稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記作 ，即ffijxygrad ( , )f x ygrad ( , )fff x yijxy 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 由梯度的定義可知，梯度的模為

37、一般來(lái)說(shuō)二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個(gè)曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為22grad ( , )fff x yxy 這條曲線 在xOy面 的投影是一條平面曲 線 (圖8-10)，它 在xOy平面直角坐標(biāo) 系中的方程為 圖 8-10( , )zf x yzcyOxgrad ( , )f x y1( , )f x yc( , )f x yc2( , )f x yc*LL*L( , )f x yc對(duì)于曲線 上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱(chēng)平面曲線 為函數(shù)z=f(x,y)的等高線. 由于等高線f(x,y)=c上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線斜率為所以梯度*L

38、11xyxyfdyffdxf *Lffijxy為等高線上點(diǎn)P處的法向量.因此我們可得梯度與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度方向與過(guò)點(diǎn)P的等高線f(x,y)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向. 對(duì)于三元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)每一點(diǎn) ，都可定出一個(gè)向量( , , )P x y zG這向量稱(chēng)為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度，將它記作 ，即 如果我們引進(jìn)曲面fffijkxyzgrad

39、 ( , , )f x y zgrad ( , )ffff x yijkxyz( , , )f x y zc為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P的等量面f(x,y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn)

40、的點(diǎn) ：如果都適合不等式：如果都適合不等式則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有有極大值極大值 ；如；如果都適合不等式果都適合不等式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y00( , )(,)f x yf xy00(,)xy00(,)f xy則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) 有有極小值極小值 . .極大極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為為極值點(diǎn)極值點(diǎn). . 以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n 元函數(shù).設(shè)n元函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)有異于 的任何點(diǎn) 都不適合不等式 00( , )(,)f x yf xy

41、00(,)xy00(,)f xy( )uf P0P0PP則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 有極大值(極小值) . 定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) 處有極處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 證證 不妨設(shè) 在點(diǎn) 處有極大值.依極大值的定義，在 的某鄰00( )()( ( )()f Pf Pf Pf P( )f P0P0()f P( , )zf x y00(,)xy00(,)xy0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy( , )zf x y00(,)xy00(,)xy域內(nèi)異于 的點(diǎn) 都適合不等式特殊地，該鄰域

42、內(nèi)取 而 的點(diǎn)，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù) 在 處取得極大值，因而必有 ( , )x y00(,)xy00( , )(,)f x yf xy0yy0 xx000( ,)(,)f x yf xy0( ,)f x y0 xx00(,)0 xfxy類(lèi)似地可證 如果三元函數(shù) 在點(diǎn) 具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn) 具有極值的必要條件為 定理定理2(2(充分條件充分條件) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在00(,)0yfxy( , , )uf x y z000(,)xyz000(,)xyz000000000(,)0,(,)0,(,)0 xyzfxyzfxyzfxyz( , )zf x y點(diǎn)點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有的某鄰域內(nèi)

43、連續(xù)且具有 一階及二階一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 ， ，令，令則則 在在 處是否取得極值的條件如處是否取得極值的條件如下：下： (1) (1) 時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)具有極值，且當(dāng) 時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng) 時(shí)有極小值；時(shí)有極小值； (2) (2) 時(shí)沒(méi)有極值；時(shí)沒(méi)有極值； (3) (3) 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC( , )f x y00(,)xy20ACB0A0A20ACB20ACB有極值，還需另作討論有極值，還需另作討論. . 二階連

44、續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 的極值的求法敘述如下： 第一步 解方程組求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn). 第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn) ，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 和 . 第三步 定出 的符號(hào)，按定理2的( , )zf x y( , )0,( , )0 xyfx yfx y00(,)xyAB、C2ACB結(jié)論判定 是否是極值、是極大值還是極小值.0( ,)f x y二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 上面所討論的極值問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無(wú)其他條件，所以有時(shí)候稱(chēng)為無(wú)條件極值.但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問(wèn)題. 例如，求表面積為 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問(wèn)題.設(shè)長(zhǎng)方

45、體的三棱的長(zhǎng)為 還必須滿(mǎn)足附加條件 .象這種對(duì)自變量有附加條件的極值稱(chēng)為條件極值.2a, ,x y z22()xyyzxza 對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，可以把條件極值化為無(wú)條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問(wèn)題，可由條件 ，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入 中，于是問(wèn)題就化為求222()axyzxyVxyz22()xyyzxza2222()xyaxyVxy的無(wú)條件極值. 但在很多情形下，將條件極值化為無(wú)條件極值并不這樣簡(jiǎn)單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問(wèn)題化到無(wú)條件極值的問(wèn)題. 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其

46、中 為某一常數(shù).求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，( , )zf x y( , )0 x y( , )( , )( , )F x yf x yx y并使之為零，然后與方程 聯(lián)立起來(lái)：由這方程組解出 及 ，則其中 就是函數(shù) 在附加條件 下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo). ( , )0 x y( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y( , )f x y( , )0 x y, x y, x y第八章結(jié)束第八章結(jié)束總習(xí)題總習(xí)題 八八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個(gè)正 確的填入下列空格內(nèi)： （1） 在點(diǎn) 可微分是 在該點(diǎn)連續(xù)的 充分 條件. 在點(diǎn)連

47、續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 必要 條件. （2） 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在是 在該點(diǎn)可微分的 必要 ( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)f x y( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)f x y條件. 在點(diǎn) 可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 及 存在的 充分 條件. （3） 的偏導(dǎo)數(shù) 及 在點(diǎn) 存在且連續(xù)是 在該點(diǎn)可微分的 充分 條件. （4）函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階( ,)zf x y( ,)x yzxzy( ,)zf x yzxzy( ,)x y( ,)f x y( ,)zf x y2zx y 2zy

48、x 混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的 充分 條件.2.求函數(shù) 的定義 域，并求 .3.證明極限 不存在.120lim( ,)xyf x y2224( ,)ln(1)xyf x yxy22400limxyxyxy4.設(shè)求 及 .5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：2222222,0( ,)0,0 x yxyxyf x yxy( ,)xfx y( ,)yfx y2(1)ln()zxy(2)yzx6.求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的全增量和全微分.7.設(shè) 證明： 在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分. 2222223/222,0()( , )0,0 x yxyxyf x yxy 0.03y2,1,0.01,xyx22x

49、yzxy( ,)f x y8.設(shè) ，而 都是可微函數(shù)，求 .9.設(shè) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求 .10.設(shè) ，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求 . ,uvwdudt( ),( )xtytyux( , ,)zf u v w,zzz( , ,),yzf u x yuxe2zx y 11.設(shè) 試求 和 .12.求螺旋線在點(diǎn) 處的切線及法平面方程.13.在曲面 上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面 ，并寫(xiě)出這法線的方程.cos ,sin ,.uuxev yev zuvzxzycos ,sin,xayazb( ,0,0)azxy290 xyz14.設(shè)x軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角為 ，求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿方向 的方向?qū)?/p>

50、數(shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角 ，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù) 在橢球面上點(diǎn) 處沿外法線方向的方向?qū)?shù).l22( ,)f x yxxyyl222uxyz2221xyzabc0000(,)Mxyz16.求平面 和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點(diǎn).17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點(diǎn)，并求此最小體積.221xy1345xyz2221xyzabc解：解：求定義域 需滿(mǎn)足即 需滿(mǎn)足( , )x y222224010ln(1)0 xyxyxy( , )x y22222401011xyxyxy( , )x yD而 是

51、D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).2224( , )ln(1)xyf x yxy222( , ) 40,01Dx yxyxy1,0212012lim( , ),032ln4xyf x yf解：解： 設(shè)當(dāng) 時(shí)， 沿 的方向趨近于零顯然，該極限隨k的 不同而改變.0 x y22242420000limlimxxyyxykxxyxk x12ykx242400lim(1)1xykxkkxk解：解：當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,(, )( , )( , )limxxf xx yf x yfx yx 220 xy0 xf 220 xyxyxyxyxxyxxfxx2222220)()(lim2222222220()(

52、)()lim()()xxxyxyxy xxyxxyxyx 2222222222220()()()()lim()()xxxxxxyxyy xyxxxxyxy 2223)(2yxxy同理同理當(dāng)當(dāng) , ,顯然顯然 . .當(dāng)當(dāng) , ,220 xy220 xy0yf 222222)()(yxyxxfy解：解：21xZxy22yxyZy22)(1yxZxx222()xyyxyZZxy222222)(22)(22)(2yxyxyxyyyxZyy解：解：1yxZyxxxZyyln2) 1(yxxxyyZ11lnyyxyyxZZxyxx2)(lnxxZyyy解：解：全增量) 1 , 2()03. 1 ,01.

53、2(ffZ3203. 101. 203. 101. 2222222322222)()()2()(yxyxyyxxxyyxyZx2222322222)()()2()(yxxyxyxxyyyxxZy22210 010 030 03xxyxyydzZ.Z.證明: 顯然 時(shí), 有(0 0)0f，, 022( ,)( ,)x yx yxy22222332222221 ()04()()x yxyxyxy21212241)(41yx處處連連續(xù)續(xù)在在)0 , 0(),(yxf000lim)0 , 0()0 ,0(lim00 xxfxfxx又又0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf同理：同理：(0,0)即即在

54、在處處，偏偏導(dǎo)導(dǎo)存存在在yfxfZyx)0 , 0()0 , 0(而而0)0 , 0()0 ,0(fyxf232222)(yxyx222002200)(limlimyxyxyxZyxyx又又：若令若令 沿沿 方向趨近于方向趨近于0 xkyy22242222220000limlim()(1)xxyy k xxykxxykx 則則222(1)kk解解: xydudxdyuudtdtdt)( ln)( 1txxtyxyy解解: vwvwzvwZZZZ uwuwzuwZZZZuuvzuvZZZZ 解解: yuxuxZufffefxx2( )yyyyuuuuyxuxyZe ffxefefxefx y u

55、yxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2解解: cos ,sinyuxev yevxyarctgvyxu),ln(2122ZZuZvxuxvx222222()1 ( )yxxvuyxyx 2222yxuyvyxxueuuvv)sincos(uevvvuyZ)sincos(同同理理：解解: sin ,cos ,xayaZb 0)0 , 0 ,(對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的而而點(diǎn)點(diǎn) a, 0baT 0byaZax切切線線方方程程為為0bZay法法平平面面方方程程為為：解解: 00000(,), 1Zxyxyzyxn設(shè)設(shè)曲曲面面上上這這點(diǎn)點(diǎn)為為113100 xy由由題題意意得得：33, 1000Zxy13

56、3113) 3 , 1, 3(Zyx法法線線方方程程為為：這這點(diǎn)點(diǎn)為為解解: cossinlfffxysin)2(cos)2(xyyx)4cos(2sincos11），（fl即即：24時(shí)，有最大值時(shí)，有最大值（1）當(dāng)（1）當(dāng)245時(shí)時(shí)，有有最最小小值值（2 2）當(dāng)當(dāng)時(shí)，值為0時(shí)，值為04 47 7（3）當(dāng)（3）當(dāng)解解: ( , , )(coscoscos )x y zxyzuuuun)cos2cos2cos2000zyx)2,2,2(),(,1222222222czbyaxFFFnczbyaxFzyx則則令令 )2,2,2(202020),(000czbyaxnzyx則則42042042020

57、4204204202022cosczbyaxaxczbyaxax4204204202042042042020cos,cosczbyaxazczbyaxay 420420420220220220),(222000czbyaxczbyaxnuzyx解解: 221xy由由題題意意得得，就就是是要要在在的的條條件件下下有有最最小小值值使使)431 (5yxZ得得：令令0)1 ()431 (522fffyxyxfyx由由010245023522yxyx 最短點(diǎn)最短點(diǎn)與面與面為為xoyZyx)1235,53,54(123553,54,2425解解: 000000000222(,)222()()()()()

58、()0 xyzxyzxxyyzzabc設(shè)設(shè)切切點(diǎn)點(diǎn), ,則則切切平平面面方方程程為為), 0 , 0);0 , 0);0 , 0 ,0)()()(020202020020020zcybxazzazyybyxxax（：則與三點(diǎn)坐標(biāo)軸交點(diǎn)為則與三點(diǎn)坐標(biāo)軸交點(diǎn)為即即 2220001,6a b cUx y z即為最小值即為最小值則有則有, ,設(shè)設(shè)令令0)1 (61000202020000222ffffczbyaxzyxcbafzyx 102161021610181220220220202200022220220002222022000222czbyaxczzyxcbabyyzxcbaaxxzycba

59、abccbaabcczbyax3),3,3,3(343,3,3,3000極值為極值為所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為解得：解得：習(xí)習(xí) 題題 8-18-11.已知函數(shù) 試 求 .2.試證函數(shù) 滿(mǎn)足關(guān)系式.3.以知函數(shù) ，試求 .22( , )tanxf x yxyxyy(,)f tx ty(,)( , )( , )( , )( , )F xy uvF x uF x vF y uF y v( , )lnlnF x yxy( , , )wu vf u v wuw(,)f xy xy xy4.求下列各函數(shù)的定義域：2(1)ln(21)zyx11(2)zxyxy(3)zxy22(4)ln()1xzyxxy5.求下列各極

60、限：222222221(5)(0)zRxyzxyzrRr22(6)arccoszzxy22011(1)limxyxyxy2210ln()(2)limyxyxexy6.證明下列極限不存在：20sin()(5)limxyxyy2210ln()(2)limyxyxexy0024(3)limxyxyxy222222001 cos()(6)lim()x yxyxyxy e00(1)limxyxyxy2222200(2)lim()xyx yx yxy7.函數(shù) 在何處是間斷的？8.證明 .2222yxzyx2210lim0 xyxyxy例例1 1 圓柱體的體積 和它的底半徑 、高 之間具有關(guān)系這里，當(dāng) 、